कुछ "तेज" कोने के साथ रेखांकन खींचना?

Question

प्लेन पर सीधे किनारों के साथ एक प्लेनर ग्राफ के एम्बेडिंग के लिए, एक वर्टेक्स को एक तेज शीर्ष के रूप में परिभाषित करें यदि इसके चारों ओर दो लगातार किनारों के बीच अधिकतम कोण 180 से अधिक है। या दूसरे शब्दों में, यदि वहां से गुजरने वाली रेखा मौजूद है एम्बेडिंग में वर्टेक्स ऐसा है कि उस किनारे पर सभी किनारों की घटना लाइन के एक तरफ झूठ है, फिर वर्टेक्स "तेज" है अन्यथा यह नहीं है। इसके अलावा, हम केवल कम से कम 3 डिग्री वाले कोने के बारे में चिंता करते हैं।

मैं कुछ तीखे सिरों के साथ प्लानर रेखांकन बनाना चाहता हूं। क्या किसी ने पहले इस तरह के चित्र का अध्ययन किया है?

विशेष रूप से, मैं प्लानर ग्राफ़ को अधिकतम डिग्री 3 के साथ खींचना चाहता हूं, ताकि एम्बेडिंग में डिग्री 3 के तेज कोने की संख्या और कोने के निर्देशांक बिट्स की बहुपद संख्या के साथ नीचे लिखे जा सकें।$O(\log n)$

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Google विद्वान पर कुछ समय बिताने के बाद मैं यहां क्या कर सकता हूं:

एक शीर्ष की तीक्ष्णता का मेरा माप कोणीय संकल्प नामक पहले से ही अध्ययन की गई अवधारणा से संबंधित है । विकिपीडिया से:

ग्राफ के ड्राइंग का कोणीय संकल्प ड्राइंग के एक सामान्य शीर्ष पर मिलने वाले किसी भी दो किनारों द्वारा गठित सबसे तेज कोण को संदर्भित करता है।

इस प्रकार डिग्री 3 कोणों के चारों ओर कोणीय संकल्प साथ एक प्लानर ड्राइंग मेरे उद्देश्य के लिए अच्छा होगा।$\pi/2$

ड्राइंग में डिग्री साथ एक शीर्ष के लिए , इसके चारों ओर कोणीय संकल्प अधिकतम पर हो सकता है ।$d$$2\pi/d$

$d$$\alpha^d$$d=3$

Comments

निश्चित नहीं इसका क्या मतलब। यदि आप किसी भी नियमित उत्तल बहुभुज को खींचते हैं, तो उसके चारों ओर अधिकतम कोण 180 से अधिक है। और बड़े n के साथ एक नियमित उत्तल बहुभुज "तेज" से बहुत दूर है।

— सुरेश वेंकट

मैं एक शीर्ष की संपत्ति के रूप में तीक्ष्णता को परिभाषित कर रहा हूं, न कि पूरी ड्राइंग। इसलिए अगर एक शीर्ष रेखा के लिए, एक सीधी रेखा को इस तरह खींचा जा सकता है कि उस किनारे पर सभी किनारों की घटना सीधी रेखा के एक तरफ होती है, तो शीर्ष पंक्ति "तेज" है अन्यथा यह नहीं है। हम्म, हो सकता है कि मुझे यह मूल प्रश्न में लिखना चाहिए।

— विनायक पाठक

@ विनायक: 1 और 2 डिग्री के साथ कोने के बारे में क्या?

— मार्जियो डी बियासी

उन्हें नजरअंदाज किया जा सकता है।

— विनायक पाठक

यदि कोणीय संकल्प है जो आप चाहते हैं, तो इसका मतलब है कि क्योंकि आसन्न किनारों के बीच न्यूनतम कोण को देख रहा है। जो आपने पहले परिभाषित किया था, वह काफी अलग है।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

$\Theta(n)$

दूसरी ओर, यदि आपको उच्च स्तर की कनेक्टिविटी की आवश्यकता होती है, तो आप कई तेज चक्कर लगाने से बच सकते हैं। विशेष रूप से, यदि आपके पास 3-जुड़ा हुआ प्लानर ग्राफ है, तो इसे खींचा जा सकता है (जैसे कि स्टीनिट्ज़ प्रमेय का उपयोग करके एक पॉलीहेड्रल प्रतिनिधित्व खोजने और फिर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण बनाने के लिए) इस तरह से कि सभी चेहरे उत्तल हों, जो केवल कारण बनता है बाहरी चेहरा तेज होना। लेकिन प्रत्येक 3-कनेक्टेड प्लानर ग्राफ को इस तरह से एम्बेड किया जा सकता है कि बाहरी चेहरे पर अधिकतम पांच कोने (सबसे खराब स्थिति एक डोडेकेर्रॉन) है, इसलिए आप हर 3-कनेक्टेड प्लानर ग्राफ (3-नियमित या नहीं) को आकर्षित कर सकते हैं सबसे तेज पांच चक्कर।