SC के अंदर एक अच्छी समस्या की तलाश है लेकिन पहले दो स्तरों में नहीं

Question

जटिलता चिड़ियाघर के बारे में ज्यादा नहीं है $\mathsf{SC}$ । मैं एक अच्छा रहा हूँ † समस्या में पदानुक्रम, यानी एक समस्या के उच्च स्तर में है कि लेकिन नहीं जाना जाता है in$^\dagger$$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^{O(1)} n)$$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2n)$ ।

एक साइड सवाल के रूप में, क्या कोई ज्ञात कारण है कि उच्च स्तर के पदानुक्रमों में अच्छी समस्याओं का उदाहरण ढूंढना ( , , ,$\mathsf{AC}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{SC}$$\mathsf{PH}$ , आदि) है। पहले स्तरों की तुलना में अधिक कठिन?

$\dagger$ हालांकि अच्छा नहीं एक गणितीय शब्द है मुझे लगता है कि हम सहजता से समझते हैं कि इसका क्या मतलब है, उदाहरण के लिए NTMs के लिए समस्या को स्वीकार करना एक कृत्रिम समस्या है जो लोग इसमें एक तरफ दिलचस्पी नहीं रखते हैं, क्योंकि यह लिए पूर्ण है , जबकि रंग समस्या पहले / लिए पूर्ण होने के लिए ज्ञात होने से पहले दिलचस्प थी और यह अभी भी उस जटिलता वर्ग से अलग है जो इससे संबंधित है।$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Comments

(1) "NTMs के लिए समस्या को स्वीकार करना एक कृत्रिम समस्या नहीं है कि लोग इसमें कोई दिलचस्पी नहीं रखते हैं क्योंकि यह एनपी के लिए पूर्ण होने से अलग है": लगता है कि आपके पास यहां "अत्यधिक" नहीं है।

— त्सुकोशी इतो

(२) "एक पक्षीय प्रश्न के रूप में, क्या कोई ज्ञात कारण है कि उच्च स्तर की पदानुक्रमों (AC, NC, SC, PH, आदि) में अच्छी समस्याओं के उदाहरण खोजना पहले स्तरों की तुलना में अधिक कठिन है?" "निचले स्तर सरल होने की वजह से गहरे कारण हैं और इसलिए उनमें कई अच्छे उदाहरण हैं"?

— त्सुकोशी इतो

@ Tsuyoshi, धन्यवाद, मैंने अतिरिक्त नहीं हटाया। 2 के बारे में, हाँ, मुझे पदानुक्रम के निम्न स्तर में गिरने वाली अच्छी समस्याओं के लिए एक गहरे कारण की आवश्यकता है। मैं के बीच एक बड़ा अंतर पारिभाषिक नहीं दिख और कहते हैं कि डी टी मैं हूँ ई एस पी एक सी ई ( एन हे ( 1 ) , lg 4 एन ) ।$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2 n)$$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^4 n)$

— Kaveh

निश्चित ही परिभाषा समान है। अंतर यह है कि लॉग ^ 2 लॉग ^ 4 की तुलना में सरल है। यही तर्क यह पूछने के लिए लागू होता है कि क्यों कई और एल्गोरिदम हैं जो समय ओ (एन ^ 2) में चलते हैं जो समय ओ (एन ^ 4) में चलते हैं।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी, मुझे यकीन नहीं है कि आपका क्या मतलब है lg 2 की तुलना में सरल । यह प्रश्न P पर भी लागू होता है । $\lg^4$$\lg^2$$\mathsf{P}$

— केवह

Answer 1

मैं में एक प्राकृतिक समस्या के लिए कोई सुझाव नहीं है , लेकिन मैं अपनी तरफ प्रश्न के लिए एक सुझाव है, क्यों इस तरह के एक खोजने समस्या कठिन लगती है। मुझे लगता है कि लोक-विचार के साथ ऐसा करने के लिए कुछ है जो लोग केवल वास्तव में समझ सकते हैं (या शायद केवल रुचि रखते हैं? या दोनों?) गणित जो कुछ मात्रात्मक विकल्प गहरा है। उदाहरण के लिए, सीमा की परिभाषा दो मात्रात्मक गहरी है (सभी एप्सिलॉन के लिए एक डेल्टा मौजूद है ...); "की परिभाषा एल ∈ एन $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)}, \log^4 n)$$L \in \mathsf{NP}$"दो परिमाणकों (वहां मौजूद एक मशीन ऐसी है कि सभी आदानों ... के लिए), और बयान है" "तीन परिमाणकों गहरा है।$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

साथ के संबंध , यह कुछ हद तक इस तथ्य है कि कर रहे हैं प्राकृतिक समस्याओं के बहुत सारे हैं कि द्वारा वहन किया जाता है एन पी -Complete, कई प्राकृतिक समस्याओं कर रहे हैं Σ 2 पी -Complete, और केवल कुछ ही जाना जाता है प्राकृतिक समस्याओं कर रहे हैं Σ 3 P- पूर्ण ( Schaefer और Umans द्वारा संग्रह देखें )। P H के उच्च स्तरों के लिए पूर्ण रूप से ज्ञात होने वाली सबसे प्राकृतिक समस्याएँ तर्क से ही आती हैं, जो कम आश्चर्य की बात है क्योंकि किसी दिए गए तर्क के भीतर अक्सर " k " की धारणा $\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{\Sigma_2 P}$$\mathsf{\Sigma_3 P}$$\mathsf{PH}$$k$-मान मात्रात्मक विकल्प, "या कम से कम कुछ प्राकृतिक तरीके से इसे अनुकरण करने के लिए। ये शायद" NTMs के लिए समस्याओं को स्वीकार करने "के रूप में एक ही श्रेणी में आते हैं, जिसे आपने इस प्रश्न के लिए" अच्छा नहीं "घोषित किया है।

यह भी ध्यान देने योग्य बात हो सकती है कि संगणनीयता की दुनिया में वही काम होता है, जो शायद यह बताता है कि इसे वैकल्पिक मात्रा की समझ के साथ अधिक करना है और प्रति से जटिलता के साथ कम है। प्राकृतिक समस्याओं के बहुत सारे अपूर्ण (हॉल्टिंग समस्या के बराबर) के रूप में जाने जाते हैं, और कई प्राकृतिक समस्याओं को अंकगणितीय पदानुक्रम के दूसरे और तीसरे स्तर के लिए पूरा होने के लिए जाना जाता है। लेकिन जैसा कि आप अंकगणित पदानुक्रम के उच्च स्तर पर जाते हैं कम और कम प्राकृतिक समस्याओं को उन स्तरों के लिए पूरा किया जाता है। मैं नहीं यकीन है कि मैं के लिए एक प्राकृतिक समस्या पूरा के बारे में पता कर रहा हूँ Σ 0 4 , और मैं एक प्राकृतिक समस्या पूरी की के लिए कभी नहीं सुना है Σ 0 $\mathsf{\Sigma^0_1}$$\mathsf{\Sigma^0_4}$$\mathsf{\Sigma^0_5}$ (हालांकि शायद वहाँ है)।

Polylogarithmic space सीमा के संबंध में, मुझे लगता है कि एक समान तर्क लागू होता है, लेकिन इससे भी अधिक। चूंकि , यहां तक कि समस्याओं कि "के" पहले कुछ "के स्तर में हैं एन एल पदानुक्रम" में वास्तव में सभी कर रहे हैं एन एल पदानुक्रम गिर ( ), जो लॉग-स्क्वॉयर स्पेस में समाहित है।$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL} \subseteq \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$

Comments

यह बहुत दिलचस्प जवाब है।

— सुरेश वेंकट

धन्यवाद यहोशू, यह वास्तव में एक अच्छा अवलोकन है। यह एक महामारी विज्ञान के दृष्टिकोण का सुझाव देता है: जो मनुष्य को स्वाभाविक दिखता है वह सीमित मात्रा में जटिलता का है।

— केवह