प्रत्यक्ष उत्पाद प्रमेयों के भिन्न रूप

Question

एक सीधा उत्पाद प्रमेय, अनौपचारिक रूप से, का कहना है कि कंप्यूटिंग एक समारोह के उदाहरण कंप्यूटिंग तुलना में कठिन है एक बार।$k$$f$$f$

ठेठ प्रत्यक्ष उत्पाद प्रमेयों (जैसे, याओ का XOR लेम्मा) पर नज़र औसत दर-मामला जटिलता , और लोगों का तर्क है (बहुत मोटे तौर पर) है कि आकार के सर्किट से नहीं की जा सकती संभावना के साथ की तुलना में बेहतर , फिर की प्रतियां द्वारा नहीं की जा सकती आकार के सर्किट संभावना के साथ की तुलना में बेहतर ।$f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

मैं विभिन्न प्रकार के प्रत्यक्ष उत्पाद प्रमेयों की तलाश कर रहा हूं (यदि वे ज्ञात हैं)। विशेष रूप से:

(1) कहो कि हम त्रुटि की संभावना को ठीक करते हैं और इसके बजाय की प्रतियों की गणना करने के लिए आवश्यक सर्किट के ते आकार में रुचि रखते हैं ? क्या कोई ऐसा परिणाम है जो कहता है कि यदि को से बेहतर प्रायिकता वाले आकार परिपथों द्वारा गणना नहीं की जा सकती है , तो की प्रतियों को से कम आकार के सर्किट उपयोग से से बेहतर परिकल्पना के साथ गणना नहीं की जा सकती है। ?$p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(२) सबसे खराब स्थिति के संबंध में क्या जाना जाता है? उदाहरण के लिए, अगर आकार के सर्किट (0 त्रुटि के साथ) अभिकलन नहीं किया जा सकता , हम कंप्यूटिंग की जटिलता के बारे में क्या कह सकते हैं की प्रतियां (0 त्रुटि के साथ)?$f$$s$$k$$f$

किसी भी संदर्भ की सराहना की जाएगी।

Answer 1

(1): इस प्रश्न का अध्ययन रोनेन शाल्टिल द्वारा "टावर्ड्स द स्ट्रॉन्ग डायरेक्ट प्रॉडक्ट थ्योरी सिद्ध करने वाले" में किया गया था, और यह पता चला कि ऐसा अनुमान गलत है: उदाहरण के लिए, यह हो सकता है कि को प्रोबाइट गणना की जा सकती है आकार से छोटी के साथ है, और केवल अतिरिक्त संभावना बड़े पैमाने पर आकार की आवश्यकता है । ऐसे मामलों में, जब इंस्टेंसेस पर गणना की जाती है , तो सर्किट अधिकतर इंस्टेंस पर को से छोटे आकार के साथ हल कर सकता है , और केवल कुछ ही इंस्टेंस पर साइज आवश्यकता होगी ।$f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

(2): सबसे खराब स्थिति जटिलता के लिए एक प्रत्यक्ष उत्पाद प्रमेय सूत्र और मोनोटोन सर्किट के लिए जाना जाता है, लेकिन वास्तव में सामान्य सर्किट के लिए गलत माना जाता है। एक आसान उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो इसके इनपुट को वेक्टर के रूप में देखता है और इसे कुछ निश्चित बूलियन मैट्रिक्स द्वारा गुणा करता है । फिर, कंप्यूटिंग समारोह आकार की आवश्यकता हो सकती , लेकिन यह कंप्यूटिंग पर उदाहरणों बहुत तेजी से किया जा सकता है एक आव्यूह गुणन कलन विधि का उपयोग। आप इनगो वेगनर की पुस्तक "बूलियन फंक्शंस की जटिलता" में इस विषय पर गहन चर्चा कर सकते हैं - अध्याय 10.2 यहां देखें:$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ ।

Comments

मैंने वेगेनर की पुस्तक के अध्याय 10.2 (संदर्भ के लिए धन्यवाद!) पर एक नज़र डाली, जिससे पता चलता है कि एक प्रत्यक्ष-योग परिणाम सामान्य रूप से पकड़ नहीं सकता है। लेकिन क्या कुछ विशिष्ट लिए जाना जाता है (शायद उन में सर्किट जटिलता से कम है )? (मैं अभी भी सबसे खराब स्थिति में दिलचस्पी रखता हूं, और मनमाने सर्किट के लिए।)$f$$2^n$

— user686

यदि कोई कमजोर परिणाम ज्ञात हो तो मुझे भी दिलचस्पी होगी, उदाहरण के लिए, कि कंप्यूटिंग की की प्रतियों के लिए आकार ...$k$$f$$s+O(k)$

— user686

सर्किट की जटिलता वाले कार्यों के लिए - मैट्रिक्स गुणन के साथ उदाहरण के ऊपर देखें। कमजोर परिणाम के रूप में आप का उल्लेख - इस तरह के एक परिणाम मामूली बात है, के बाद से गणना करने के लिए की प्रतियां , आप कम से कम जोड़ने की जरूरत है सर्किट कंप्यूटिंग के लिए उत्पादन तारों एक उदाहरण पर। $2^n$$k$$f$$k$$f$

— या मीर

Answer 2

बस या इसके उत्तर को पूरक करने के लिए, (1) के स्वाद के सवालों [k प्रतियां पर अच्छी तरह से करने के लिए एक संसाधन की कितनी आवश्यकता है] का अध्ययन किया गया था, और संबंधित प्रमेयों को "प्रत्यक्ष योग प्रमेय" कहा जाता है। प्रत्यक्ष उत्पाद प्रमेयों के साथ, प्रत्यक्ष योग प्रमेय सेटअप के आधार पर पकड़ या नहीं रख सकते हैं।