एक वर्ग को ओवरलैप करने वाले मोटे क्षेत्रों की संख्या की गिनती

Question

चलो $S$एक इकाई वर्ग हो। के कार्य के रूप में$\beta$, की अधिकतम संख्या क्या है $\beta$कम से कम 1 के व्यास के साथ जोड़ीदार-असंतुष्ट क्षेत्रों को काटें जो अंतर कर सकते हैं$S$?

नीचे, हम एक आंकड़ा दिखाते हैं जो इसके लिए है $\beta=1$अधिकतम संख्या 7. किस बारे में है $\beta = 2, 3, \ldots, n$?

विमान में क्षेत्रों के लिए वसा की परिभाषा को याद करें । एक क्षेत्र दिया$R$चलो, मंडली $C_1$ त्रिज्या का $r_1$ में निहित सबसे बड़ा सर्कल हो $R$, और चलो सर्कल $C_2$ त्रिज्या का $r_2$ सबसे छोटा वृत्त हो जिसमें सम्‍मिलित हो $R$। मोटापा की$R$ द्वारा दिया गया है $\frac{r_2}{r_1}$, और हम कहते हैं कि $R$ है $\beta$-फैट, के लिए $\beta = \frac{r_2}{r_1}$।

उदाहरण के लिए, यदि $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$, फिर क्षेत्र इकाई मंडलियां हैं, और व्यास में कम से कम 1 के साथ 7 सर्कल हैं जो ओवरलैप कर सकते हैं $S$एक दूसरे को ओवरलैप किए बिना। नीचे दिए गए आंकड़े में, हमने एक इकाई वर्ग और 7 इकाई हलकों को दर्शाया है जो वर्ग को ओवरलैप करते हैं।

Comments

स्थिति "कम से कम जितनी बड़ी हो $S$"भ्रामक है, और यदि आप क्षेत्रों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिज्या का एक चक्र $1$ जितना बड़ा नहीं है $S$। इसके अलावा, के लिए$r_2 = r_1 = 1$ मामला, आप डाल सकते हैं $7$ मंडलियां (बीच में एक) $S$), क्या मैं बेवकूफ़ हूँ?

— यिक्सिन काओ

"मोटी" की आपकी परिभाषा "वसा" की मानक परिभाषाओं में से एक है। मुझे लगता है कि आपका मतलब है " कम से कम 1 के व्यास के साथ घने पतले क्षेत्रों की अधिकतम संख्या जो कि एस को काट सकती है", क्योंकि अन्यथा कोई ऊपरी सीमा नहीं है। छोटे हलकों की मोटाई 1. है

— जेफε

@ J @ am E हां, यह वही है जो मैं कहने की कोशिश कर रहा हूं। मैं स्पष्ट करने के लिए प्रश्न को संपादित करूंगा।

— जो

@YixinCao मैंने एक आंकड़ा प्रदान किया जो चीजों को स्पष्ट रूप से स्पष्ट करना चाहिए।

— जो

@ जो मेरे चित्र से पता चलता है, सात घेरे संभव हैं। बिंदु है: दो वृत्त (लगभग) दो विपरीत बिंदुओं पर स्पर्शरेखा। मेरी ड्राइंग हमेशा खराब है, लेकिन मुझे आशा है कि ग्राफ मददगार है।

— यिक्सिन काओ

Answer 1

मुझे लगता है कि अधिक से अधिक जोड़ीदार वसा वाले क्षेत्रों को नापसंद करता है जो वर्ग को ओवरलैप करते हैं, सर्कल पैकिंग से दृढ़ता से संबंधित होना चाहिए।

किसी क्षेत्र के लिए सबसे खराब स्थिति "बॉल एंड चेन" जैसी होती है। नीचे मैंने ऐसे क्षेत्र को दर्शाया है$\beta=2$ व्यास 1 के साथ

।

और ये इकाई वर्ग की दूरी 1 के भीतर पैक कर सकते हैं, जाहिर है कि मैंने उन्हें चित्रित किया है।

ध्यान दें कि वास्तविक गेंद और श्रृंखला क्षेत्र हरे क्षेत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, और बाहरी सर्कल इस तथ्य को चित्रित करने के लिए एक मार्गदर्शक है कि इन क्षेत्रों में मोटापा है 2. वास्तव में, क्षेत्र का श्रृंखला हिस्सा, अनुमति देने के लिए "मोड़" कर सकता है अधिक क्षेत्रों को पैक किया जाना है।