क्वांटम अभिकलन - QM के अनुवर्ती

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मैंने अभी नील्सन-चुआंग पुस्तक से सामान्य रूप से क्वांटम कम्प्यूटेशन के बारे में सीखना (स्वतंत्र) शुरू किया है।

मैं पूछना चाहता था कि क्या कोई मुझे क्वांटम यांत्रिकी के माप पोस्ट के साथ जाने में मदद करने के लिए समय खोजने की कोशिश कर सकता है। मेरा मतलब है, मैं पोस्ट-आउट पर सवाल उठाने की कोशिश नहीं कर रहा हूं; इसकी मैं कैसे माप के बाद सिस्टम की स्थिति के मूल्य के बाहर आता है नहीं मिलता है सिर्फ इतना है कि $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ ।

भले ही इसका सिर्फ यही कहना है कि यह कहावत है, मुझे यह बहुत अजीब लगता है कि यह अभिव्यक्ति क्यों है। मुझे नहीं पता कि मैं यहां जो पूछता हूं वह समझ में आता है, लेकिन यह कुछ ऐसा साबित हो रहा है, जो किसी कारण से मुझे किसी और से ब्लॉक करने के लिए लगता है,

quantum-computing quantum-information

— आकाश कुमार
स्रोत

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अभिव्यक्ति आपने लिखी हैं,

M_{m} / \sqrt{< ψ | M_{m}^{+} M_{m} | ψ >}

$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ , एक राज्य नहीं है। मुझे लगता है आप जोड़ने के लिए मतलब है

| ψ >

$|\psi>$ उसके बाद?

— रॉबिन कोठारी

हाँ य़ह सही हैं। मुझे जोड़ने का मतलब

| ψ >

$|\psi>$ उसके बाद

— आकाश कुमार

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यदि आप गलतियों को देखते हैं तो कृपया अपने प्रश्न को संपादित करें।

— जुल्का सुमेला

7

मुझे नहीं पता कि यह "स्पष्टीकरण" है, लेकिन उम्मीद है कि यह एक उपयोगी "विवरण" है।

आम तौर पर प्रक्षेप्य माप से अधिक, एक हमेशा एक ऑपरेटर को मापता है । (एक प्रोजेक्टर इस का एक विशेष मामला है।) तो "ऑपरेटर को मापने" का क्या मतलब है?

ठीक है, ऑपरेटरों को अक्सर 'अवलोकन' भौतिक मात्रा के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में सबसे महत्वपूर्ण है, ऊर्जा; लेकिन कोई भी (कभी-कभी अप्रत्यक्ष रूप से) अन्य मात्राओं को माप सकता है, जैसे कि कोणीय गति, चुंबकीय क्षेत्र के z -compenders, आदि। जो मापा जा रहा है वह हमेशा वास्तविक-मूल्यवान परिणाम देता है --- सिद्धांत रूप में, कुछ निश्चित परिणाम (जैसे एक इलेक्ट्रॉन है) 'स्पिन +1/2' राज्य में 'स्पिन 21/2' के विपरीत, या पहले उत्साहित ऊर्जा स्तर के रूप में एक हाइड्रोजन परमाणु, आदि में जमीन-राज्य के विपरीत), प्रत्येक प्राथमिक परिणाम संभव है। कुछ संभावना के साथ महसूस किया है।

हम माप के वास्तविक-मूल्यवान परिणामों में से प्रत्येक को एक उप-स्थान पर निर्दिष्ट करते हैं। जिस तरह से हम ऐसा करते हैं वह एक हर्मिटियन ऑपरेटर का वर्णन करता है --- अर्थात एक ऑपरेटर जो एक वास्तविक eigenvalue को अलग-अलग उप-स्थानों में जोड़ता है, जिसमें सब हिल्स्टन स्थान तक के उप-योग हैं। एक प्रोजेक्टर एक ऐसा ऑपरेटर है, जहां वास्तविक मान 0 और 1 हैं; यानी यह वर्णन करते हुए कि एक वेक्टर एक निर्दिष्ट उप-वर्ग (1 का मान लेने वाला), या उसके ओर्थोकम्प्लीट (0 के मान को उत्पन्न करने वाला) से संबंधित है। ये Hermitian ऑपरेटरों हैं observables , और eigenspaces जिसके लिए उन नमूदार एक "निश्चित" महत्व है कर रहे हैं।

लेकिन उन वैक्टरों के बारे में क्या है जो ईजीनवेक्टर नहीं हैं, और इन वेधशालाओं के लिए "निश्चित" मान नहीं हैं? यहाँ विवरण का गैर-व्याख्यात्मक हिस्सा है: हम उन्हें एक eigenspaces में प्रोजेक्ट करते हैं, एक अच्छी तरह से परिभाषित मूल्य के साथ एक eigenvector प्राप्त करने के लिए। हम कौन सा प्रक्षेपण लागू करते हैं यह यादृच्छिक पर निर्धारित होता है। संभावना वितरण परिचित बॉर्न नियम द्वारा दिया गया है:

\underset{| ψ ⟩}{Pr} (E = c) = ⟨ ψ | Π_{c} | ψ ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$

जहां एक 'अवलोकनीय मात्रा' E के c -igenspace पर प्रोजेक्टर है (एक हर्मिटियन ऑपरेटर )। मापी गई स्थिति राज्य का कुछ प्रक्षेपण है । अवलोकन योग्य A के कुछ ईगेंसस्पेस पर rangle । और इसलिए अगर पूर्व-माप स्थिति है, पोस्ट-माप स्थिति है, और 'वास्तविक परिणाम' मापा जाता है ( यानी पूर्व-माप राज्य जिस पर वास्तव में अनुमान लगाया गया था), हमारे पास आनुपातिकता परिणाम है $\Pi_c$ $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$ $|\psi\rangle$ $| \psi_0 \rangle$ $| \psi_1 \rangle$ $\Pi_c$

| ψ_{1} ⟩ \propto Π_{c} | ψ_{0} ⟩

$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$

केवल वर्णित नियम द्वारा। यही कारण है कि आपके सूत्र में प्रोजेक्टर है।

सामान्य तौर पर, वेक्टर एक इकाई वेक्टर नहीं है; क्योंकि हम एक और इकाई वेक्टर द्वारा माप-माप की स्थिति का वर्णन करना चाहते हैं, इसलिए हमें इसे पुनर्विक्रय करना चाहिए $| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

‖ | ψ_{1}^{'} ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ ψ_{1}^{'} | ψ_{1}^{'} ⟩} = \sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩},

$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$

जो कि संभाव्यता का वर्ग-मूल है जिसके साथ परिणाम एक प्राथमिकता होगा । और इसलिए, हम आपके प्रश्न में सूत्र को पुनर्प्राप्त करते हैं,

| ψ_{1} ⟩ = \frac{Π_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$

(यदि यह सूत्र थोड़ा अनाड़ी लगता है, तो ध्यान रखें कि यदि आप घनत्व ऑपरेटरों द्वारा क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं तो यह थोड़ा बेहतर लगता है और अच्छा लगता है।)

जोड़ने के लिए संपादित: ऊपर POVMs के विवरण के रूप में नहीं होना चाहिए। एक "पॉजिटिव ऑपरेटर वैल्यू मेजरमेंट" को एक संग्रह { E _c } _c । _C में विभिन्न औसत दर्जे के वेधशालाओं E _{c के} अपेक्षित मान के वर्णन के रूप में देखा जाता _है ।

— निएल डी ब्यूड्रैप
स्रोत

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मैं आकाश कुमार के सवाल का एक और जवाब दूंगा, जो यह है कि (विशेषकर छात्रों के लिए) क्वांटम यांत्रिकी के रहस्यों से जूझने का एक अच्छा तरीका है, पहले शास्त्रीय यांत्रिकी के रहस्यों से जूझना है।

इस संबंध में, एक अनुशंसित शुरुआती पाठ्यपुस्तक (जो पेपरबैक में उपलब्ध है) स्टेफ़नी फ्रैंक सिंगर की "सिमेंट्री इन मैकेनिक्स: ए जेंटल मॉडर्न इंट्रोडक्शन" है ... जिसमें लघु और स्पष्ट होने का लाभ है (120 समस्याओं सहित स्पष्ट रूप से काम किया है) और फिर भी यह है। सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति और लाई समूह सिद्धांत के मुख्य आधुनिक विचारों को आत्मविश्वास से ग्रहण करता है।

यहाँ बात यह है कि 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, क्वांटम यांत्रिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी गतिशीलता की दो बहुत अलग सिद्धांतों की तरह लग रहे थे। लेकिन अगर हम व्लादिमीर अर्नोल्ड की अधिकतमता को गंभीरता से लेते हैं कि "हैमिल्टनियन यांत्रिकी चरण स्थान में ज्यामिति है; चरण स्थान में एक सहानुभूति की संरचना है", और हम गंभीरता से अष्टेकर / शिलिंग अधिकतम भी लेते हैं कि "रैखिक संरचना जो सबसे आगे है।" क्वांटम यांत्रिकी के पाठ्य-पुस्तक उपचार, मुख्य रूप से, केवल एक तकनीकी सुविधा और आवश्यक सामग्री है --- राज्यों की कई गुना, सहानुभूति संरचना और रीमानियन मीट्रिक --- इस रैखिकता को साझा नहीं करते हैं ", फिर हम एक बेहतर स्थिति में आते हैं। सराहना है कि ट्रॉय शिलिंग की 1996 की थीसिस एक मजबूत गणितीय नींव पर निर्भर करती है जो "

शास्त्रीय / क्वांटम गतिकी का यह एकीकृत ज्यामितीय दृष्टिकोण मुख्य रूप से शास्त्रीय यांत्रिकी को अधिक रहस्यमय बनाने में सफल होता है और क्वांटम यांत्रिकी कम रहस्यमय लगता है ... और छात्रों के लिए यह जानना अच्छा है कि यह दोनों में से कई प्रकारों को सीखने के लिए व्यवहार्य दृष्टिकोण है । यांत्रिकी।

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यदि आपने उन्हें पहले से नहीं देखा है, तो मैं स्कॉट आरोनसन के व्याख्यान नोट्स "क्वांटम कम्प्यूटिंग चूंकि डेमोक्रिटस" , विशेष रूप से व्याख्यान 9 की सिफारिश करता हूं । उन्होंने वास्तव में एक गैर-विशेषज्ञ के रूप में मेरी मदद की और मैंने उनकी प्रस्तुति को यहां और यहां के मुख्य बिंदुओं पर प्रसारित करने की कोशिश की है ।

जहाँ तक आपकी विशिष्ट क्वेरी मुझे लगता है कि यह अंतर्ज्ञान का निर्माण करने में मदद करता है यदि आप बॉर्न रूल का उपयोग करते हुए कुछ सरल उदाहरणों की गणना कर सकते हैं और देख सकते हैं कि मापन डाक्यूमेंट व्यवहार में कैसे काम करता है।

मुझे यह सोचने में आसानी हुई कि "आईआईटी परिणाम को मापने की संभावना राज्य वेक्टर के आइथ तत्व के आयाम का वर्ग है - यदि आप ऑपरेटर के आईजेनवेक्टरों के आधार पर परिवर्तन करते हैं।"

यह भी बड़े करीने से अंतर्ज्ञान के साथ संबंध रखता है कि क्वांटम यांत्रिकी जटिल संख्या के साथ संभावना है - चूंकि एम्पलीट्यूड के वर्गों को 1 तक योग करना चाहिए।

जब तक आप क्वांटम कंप्यूटिंग का अध्ययन कर रहे हैं तब तक आप शोर के एल्गोरिथ्म की इस चर्चा को देखना चाहते होंगे ।

— मुगीज़ी रिवाबंगिरा
स्रोत

आपको धन्यवाद मुगज़ी ... स्कॉट आरोनसन के व्याख्यान नोट्स वास्तव में बहुत अच्छे लगते हैं।

— आकाश कुमार

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परिशिष्ट।

अपने प्रश्न के रूप पर फिर से विचार करने के बाद ( जैसे कि हर में M ^the M --- जो एक एकल ऑपरेटर M के लिए उदाहरण के लिए विरोध करता है, जो प्रोजेक्टर के लिए पर्याप्त है) और नीलसन और चुंग की मेरी प्रति पर पुनर्विचार करना, यहाँ कुछ पूरक विवरण दिए गए हैं मेरे पिछले उत्तर द्वारा कवर नहीं किया गया। (मैं इसे लंबाई के कारण एक अलग उत्तर के रूप में पोस्ट कर रहा हूं, और क्योंकि मुझे लगता है कि यह मेरे पिछले उत्तर की तुलना में एक 'स्पष्टीकरण' से भी कम है।)

मान लीजिए कि एक एक्स को मापने के लिए हमारा एकमात्र साधन अप्रत्यक्ष है: एनिला ए के साथ 'कमजोर' बातचीत के बाद, ए पर माप के बाद । हम एक्स को मापने के एक तरह से इन के बारे में बात करने में सक्षम होना चाहेंगे । अकेले एक्स के संदर्भ में हम इस तरह के माप का वर्णन कैसे कर सकते हैं? ठीक है: मान लें कि हम प्रारंभिक अवस्था में A को आसानी से तैयार कर सकते हैं , और X के साथ नियंत्रण और A को लक्ष्य के रूप में निम्न प्रकार का नियंत्रित एकात्मक प्रदर्शन करते हैं : $|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

U = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos (\frac{π}{12}) & \sin (\frac{π}{12}) \\ 0 & 0 & - \sin (\frac{π}{12}) & \cos (\frac{π}{12}) \end{matrix}]

$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$

हम तब मानक आधार में ए मापते हैं (ताकि ए अब माप परिणाम संग्रहीत करता है)। यह एक्स की स्थिति को निम्नानुसार बदल देता है:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

इसके बाद के संस्करण, टिप्पणी समीकरणों में है कि अगर माप का परिणाम है ग , अंतिम अवस्था की एक्स आनुपातिक है करने के लिए , जहां हम परिभाषित $|\psi_1\rangle$ $|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

M_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |, M_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |;

$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$

और हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि जिन साथ हम माप परिणाम प्राप्त करते हैं वे प्रत्येक मामले में हैं । $\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

यह उसी तरह से एक्स के परिवर्तन का वर्णन करने के लिए बहुत करीब है जिस तरह से हम अनुमानित माप का वर्णन करते हैं। लेकिन क्या यह किसी भी प्रकार का माप है, सार्थक रूप से बोल रहा है? ठीक है: यदि हम इस प्रक्रिया के कई पुनरावृत्तियों के परिणामों पर आँकड़े कर सकते हैं, और यदि X शुरू में मानक आधार पर है, तो हम देखेंगे कि जब हम '0' परिणाम प्राप्त करते हैं तो पूर्वाग्रह होता है: हम इसे अधिक बार प्राप्त करते हैं जब X राज्य में शुरू में हो । । यदि हम यह मापने के लिए पर्याप्त समय का नमूना कर सकते हैं कि क्या माप परिणाम अधिक वितरित किए जाते हैं या , तो हम उच्च संभावना के साथ यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या राज्य में शुरू में ही qubit है या नहीं $|1\rangle$ $(\frac12,\frac12)$ $(\frac34,\frac14)$ $|0\rangle$ या स्थिति । $|1\rangle$

संभावित मापन की संभावनाओं और अद्यतन सूत्रों की समानता और तथ्य यह है कि हम मापी गई आँकड़ों का उपयोग राज्य को मापने के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं, जैसे प्रक्रियाओं को शामिल करने के लिए 'माप' की धारणा के सामान्यीकरण को प्रेरित करते हैं। ऊपर: हम एक, दो, या अधिक ऑपरेटरों द्वारा संभावित माप परिणामों का वर्णन कर सकते हैं (जो वास्तव में 'क्रैस ऑपरेटर', CPTP मानचित्रों से संबंधित वस्तुएं), थोड़े सामान्यीकृत बोर्न नियम द्वारा वर्णित परिणामों के साथ। $M_c$

\underset{| ψ_{0} ⟩}{Pr} (result = c) = ⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$

जहां आपके माप से जुड़ा एक ऑपरेटर है, और इसके द्वारा दिए गए अपडेट नियम के साथ $M_c$

| ψ_{1} ⟩ = \frac{M_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$

संभावनाओं को संरक्षित करने के लिए (ताकि माप के कम से कम एक परिणाम के साथ निश्चित रूप से होता है), हमें । यह आपके प्रश्न का अधिक सामान्य रूप है, जिसे नीलसन और चुंग द्वारा वर्णित किया गया है। (फिर, यह घनत्व ऑपरेटरों द्वारा राज्यों का वर्णन करते समय थोड़ा बेहतर दिखता है।) $\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

सामान्य टिप्पणियाँ।

सामान्य तौर पर, किसी भी समय है कि हम एक Ancilla (या ancillas का संग्रह) परिचय एक , सहभागिता एक qubit (या कई qubits के रजिस्टर) एक्स के साथ unitarily एक , और फिर पर एक प्रक्षेपीय माप प्रदर्शन एक , इस माप का एक प्रकार को जन्म देता है की एक्स ; माप ऑपरेटरों तो सकारात्मक-semidefinite ऑपरेटरों के कुछ संग्रह द्वारा वर्णित किया जा सकता ऐसी है कि (फिर से ताकि संभावना संरक्षण हो)। $M_c$ $\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

अधिक सामान्य, कमजोर माप यहाँ वर्णित POVMs से अधिक निकटता से संबंधित हैं, जो आपको की स्पष्ट पसंद के बिना , , ऑपरेटरों को प्रदान करके और आपको उपयोग करने की अनुमति देते हुए, आसानी से माप की संभावनाओं 'सार' का वर्णन करने की अनुमति देते हैं। इन संभावनाओं को गणना करने के लिए जन्मे नियम में। जैसा कि मैंने ऊपर और मेरी पिछली प्रतिक्रिया में कहा था, POVM को एक प्रणाली के बारे में सांख्यिकीय रूप से उपलब्ध जानकारी का वर्णन करने के रूप में माना जा सकता है। $M_c$ $E_c = M_c^\dagger M_c$

क्रूस ऑपरेटरों (और एक 'माप परिणाम रजिस्टर' ए के रूप में ऊपर) के संदर्भ में माप की सोच इस तरह से आपको सीपीटीपी के नक्शे में माप की धारणा को कम करने की अनुमति देता है, जो एक ऐसा विचार है जिसका मैं आनंद लेता हूं। (हालांकि, यह वास्तव में एक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से चीजों को नहीं बदलता है, और कुछ ऐसा नहीं है जिसके बारे में आपको चिंता करनी चाहिए अगर आप अभी तक सीपीटीपी के नक्शे के साथ सहज नहीं हैं)

— निएल डी ब्यूड्रैप
स्रोत

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क्रूस संचालकों के संबंध में नील डी बेउड्रैप का जवाब बहुत अच्छा था। नीलसन और चुआंग पाठ्य पुस्तक के संबंध में, इसका मतलब है कि किसी को अध्याय 2, फिर अध्याय 8, और उसके बाद के अध्याय को पढ़ना चाहिए ।

इसके अलावा, क्रूस ऑपरेटर प्रतिनिधित्व में एक infinitesimal सीमा होती है जिसे लिंडब्लाडियन ऑपरेटर कहा जाता है; मोटे तौर पर, लिंडब्लाडियन ऑपरेटर क्रस ऑपरेटरों के लिए हैं कि एक लाई बीजगणित एक लाई समूह के लिए क्या है। कार्लटन केव्स के ऑन-लाइन नोट "पूरी तरह से सकारात्मक नक्शे, सकारात्मक नक्शे और लिंडब्लड फॉर्म" इस सामग्री को बहुत कवर करते हैं।

क्रूस ऑपरेटरों के बजाय विशेष रूप से इन्फिनिटिमल लिंडब्लाडियन ऑपरेटरों के साथ काम करने का लाभ यह है कि लिंडब्लडियन स्वाभाविक रूप से गैर-हिल्बर्ट क्वांटम राज्य-स्थानों पर खींचते हैं; इनमें दसियों नेटवर्क स्टेट-स्पेस शामिल हैं जो क्वांटम रसायन विज्ञान और संघनित पदार्थ भौतिकी में सर्वव्यापी बन रहे हैं; इसके अलावा स्ट्रीकबैक तकनीक स्ट्रिंग थ्योरी में भी सर्वव्यापी हैं।

वर्तमान में कोई पाठ्यपुस्तक नहीं है जो क्वांटम गतिकी के इस ज्यामितीय, गैर-हिल्बर्ट विवरण को विकसित करती है ... लेकिन होनी चाहिए! पाठ्यपुस्तकें जो कि (उपरोक्त संदर्भों के साथ) में मुख्य विचारों को कवर करती हैं, जॉन ली "स्मूथ मैनफोल्ड्स", फ्रेनकेल और स्मिट "आणविक सिमुलेशन को समझना: एल्गोरिदम से अनुप्रयोगों तक", और क्लोएडेन और "स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन के न्यूमेरिकल सॉल्यूशन" हैं।

यह सच है कि यह बहुत अधिक पढ़ने वाला है ... और यही कारण है कि स्नातक स्तर पर ज्यामितीय क्वांटम गतिकी को नहीं पढ़ाया जाता है। यह अफ़सोस की बात है, क्योंकि सभी के लिए अंडरग्रेजुएट्स के लिए यह निर्धारित धारणा हासिल करना बहुत आसान है कि क्वांटम डायनामिकल सिस्टम का राज्य-स्थान एक रैखिक वेक्टर स्पेस है, भले ही यह अधिकांश बड़े पैमाने पर व्यावहारिक गणनाओं में सही नहीं है।

प्रकृति का उपयोग करने वाले राज्य-स्थान के लिए: कोई भी नहीं जानता है कि - स्थानीय (स्पर्श-स्थान) क्वांटम रैखिकता के लिए प्रयोगात्मक सबूत काफी मजबूत हैं, फिर भी वैश्विक (हिल्बर्ट-स्पेस) क्वांटम रैखिकता के लिए सबूत काफी कमजोर हैं। विशेष रूप से, उच्च-परिशुद्धता आणविक किरण क्वांटम डायनामिक प्रयोग-जो कई पाठ्यपुस्तकें क्वांटम रैखिकता के प्रमाण के रूप में सामने आती हैं - को निम्न-आयाम टेंसर नेटवर्क स्टेट-स्पेस पर ~ 1/2 ^ {65} की आवश्यक सापेक्ष परिशुद्धता के साथ सिम्युलेट किया जा सकता है, निकट-पूर्ण गत्यात्मक सहानुभूति के साथ, सम-पूर्ण गत्यात्मक रैखिकता की जगह।

उपरोक्त कारणों से, शायद 21 वीं सदी के छात्रों को 20 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तकों को पूरी तरह से अंकित मूल्य पर स्वीकार नहीं करना चाहिए। लेकिन वास्तव में, 21 वीं सदी के छात्र इसे किसी अन्य तरीके से क्या चाहते हैं?

ऊपर दिया गया है कि क्वांटम सिस्टम इंजीनियर एक गणितीय टूलसेट को गले लगाने के लिए आए हैं जो ज्यामितीय और बीजगणितीय प्रकृति को पिघलाता है, और आम तौर पर शास्त्रीय, क्वांटम और हाइब्रिड डायनेमिक सिस्टम पर लागू होता है।

इसके अलावा संपादित करें: व्यावहारिक क्वांटम सिमुलेशन के लिए एक ज्यामितीय दृष्टिकोण की व्यवहार्यता की एक परीक्षा के रूप में, हमारे क्वांटम सिस्टम्स इंजीनियरिंग (QSE) समूह ने चार्ली अध्याय के क्लासिक टेक्स्टबुक सिद्धांतों के पूरक के रूप में चुंबकीय अनुनाद के अध्याय 3 के वर्धित संस्करण के साथ पूरक किया: चुंबकीय द्विध्रुवीय चौड़ीकरण और ध्रुवीकरण परिवहन। कठोर लट्टू "।

यह ज्यामितीय प्रतिलेखन ज्यामितीय गतिशीलता में कई खुले प्रश्नों के लिए स्वाभाविक रूप से इंगित करता है; उदाहरण के लिए देखें MathOverflow सवाल " क्वांटम डायनामिक सिमुलेशन में, एक पॉइसोन ब्रैकेट का सममित (रिमैनियन) एनालॉग क्या है? "

— जॉन सिडल्स
स्रोत

मैंने देखा है कि आप सभी नेट पर इस दृष्टिकोण के लिए ध्वज को लहरते हैं। विचारोत्तेजक वाक्य या दो के साथ, आप यह अंदाजा लगा सकते हैं कि आपके द्वारा उल्लेखित राज्य रिक्त स्थान गैर-रैखिक कैसे हैं? ज्यामितीय परिमाणीकरण के साथ आप शास्त्रीय चरण स्थान के रूप में कई गुना एम से शुरू करते हैं लेकिन क्वांटम राज्य स्थान हिल्बर्ट स्पेस एल ^ 2 (एम) है। यही है, भले ही शास्त्रीय ज्यामिति अत्यधिक गैर-रेखीय हो, क्वांटम ज्यामिति अभी भी रैखिक है, हालांकि यह निश्चित रूप से बहुत बड़ा है (इसमें अनंत आयाम हैं और इसी तरह)।

— प्रति सोग्न

क्षमा करें, मैंने एक सफेद झूठ कहा था। आपको वास्तव में एम पर एक लाइन बंडल पर एल ^ 2 को देखना होगा लेकिन मूल बिंदु बना हुआ है।

— प्रति वोगेसेन

प्रति, जो आप कहते हैं, वह "ज्यामितीय परिमाणीकरण" के क्लासिक (मुख्य रूप से रूसी) स्कूल का सच है, जिसमें एक शास्त्रीय प्रणाली से शुरू होता है और इसके लिए एक क्वांटम सामान्यीकरण चाहता है। लेकिन वास्तव में <i> विपरीत </ i> "ज्यामितीय क्वांटम यांत्रिकी" के अष्टेकर / शिलिंग मॉडल में होता है, जिसमें प्रारंभिक बिंदु एक के & ओम्ल पर सहानुभूतिपूर्ण / लिंडब्लडियन गतिकी है; हाइपोल्ड कई गुना।

— जॉन सिडल्स

1

हममम ... चलो इसे बेहतर स्वरूप दें! "ज्यामितीय परिमाणीकरण" के मुख्यतः (मुख्य रूप से रूसी) स्कूल में, शास्त्रीय गतिकी से शुरू होता है और इसका एक मात्रा सामान्यीकरण चाहता है। विपरीत कदम "ज्यामितीय क्वांटम यांत्रिकी" के अष्टेकर / शिलिंग मॉडल में देखा जाता है, जिसमें प्रारंभ एक काहलर राज्य-स्थान पर सहानुभूति / लिंडब्लाडियन गतिकी है, जिसके बाद एक: (1) लिंडब्लाड प्रवाह द्वारा प्रेरित एक सीमा के रूप में शास्त्रीय गतिशीलता का प्रदर्शन करता है। , और / या (2) एक बड़े-एन (वर्णक्रमीय) सन्निकटन के रूप में हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर वापस खींचता है। इंजीनियरिंग में, बाद के दो तरीकों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, फिर भी आमतौर पर सिखाया नहीं जाता है।

— जॉन सिडल्स

3

सबसे पहले, पर्यवेक्षकों द्वारा पर्यवेक्षकों का प्रतिनिधित्व क्यों किया जाता है? शास्त्रीय यांत्रिकी में एक अवलोकनीय चरण स्थान पर एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन है। यह सिस्टम से ऊर्जा या गति जैसे मूल्यों के बारे में जानकारी निकालता है लेकिन इसे प्रभावित या बाधित नहीं करता है। यदि पर्यवेक्षक सिस्टम का हिस्सा है तो माप एक भौतिक प्रक्रिया है और सिस्टम के विकास को बदल सकता है। परिमित के लिए, गैर-शिशु-समय विकास एकात्मक होने के लिए (यानी कुल संभावना को संरक्षित करना) infinitesimal समय विकास हरमिटियन होना चाहिए। यह स्टोन का प्रमेय है; यह बताता है कि क्वांटम यांत्रिकी में ऑपरेटर हर्मिटियन क्यों हैं।

अगर यह समझ में आता है, तो सूत्र दो चीजों से निम्नानुसार है: $M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

$M$ अवलोकन के लिए माप प्रक्रिया के असीम समय विकास का वर्णन करता है। के उत्तराधिकारी है और द्वंद्व द्वारा उत्तराधिकारी को है । $\mid\psi\rangle$ $M\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid$ $\langle\psi\mid M^\dagger$
आदर्श राज्य की कुल संभावना है। पिछले बिंदु के साथ संयुक्त, इससे पता चलता है कि उत्तराधिकारी की कुल संभावना । वर्गमूल द्वारा विभाजित होने से राज्य सामान्य हो जाता है। $\langle\psi\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

— प्रति वोगसेन
स्रोत

प्रति, मुझे यकीन नहीं है कि पहली गोली बिंदु बहुत स्पष्ट है। इस मामले में ऑपरेटरों जो एक सामान्य माप (संभवतः एक POVM) बनाने का एक सेट में से एक है, और इसलिए विकास निर्धारित करने योग्य नहीं है। यह भी निरंतर नहीं है, इसलिए शिशु-विकास के बारे में टिप्पणी थोड़ी भ्रामक हो सकती है। ये वास्तव में सशर्त कूदते हैं।

M

$M$

— जो फिट्जसिमों ने

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खैर, मैं क्वांटम पोस्ट्स के बारे में आकाश कुमार के प्रश्न से संबंधित कुछ अतिरिक्त संदर्भ प्रदान करने जा रहा हूं, जो छात्रों को गणित सीखने के लिए प्रोत्साहित करने की दिशा में एक दृष्टिकोण है कि उन्हें शास्त्रीय और क्वांटम गतिशीलता दोनों का अध्ययन करने के लिए कई अच्छी तरह से विकसित रूपरेखाओं की सराहना करने की आवश्यकता है।

आइए शुरू करते हैं कि जहां नीलसन-चुआंग पाठ को छोड़ दिया जाता है, अर्थात्, "प्रमेय: एकात्मक स्वतंत्रता संचालक-सम प्रतिनिधित्व में" (नीलसन-चुआंग की धारा 8.2)। नीलसन और चुआंग के पाठ ने नोट किया कि इस प्रमेय का एक व्यावहारिक अनुप्रयोग क्वांटम त्रुटि सुधार के सिद्धांत में आया है, जहां यह "क्वांटम त्रुटि सुधार की अच्छी समझ के लिए महत्वपूर्ण है।" लेकिन तब नीलसन-चुआंग पाठ चुप हो जाता है।

स्टाॅक एक्सचेंज पर यहाँ दिए गए उत्तर इस "एकात्मक स्वतंत्रता" को समझने में ज्यादा मदद नहीं करते हैं ... जो कि यह बताता है कि क्वांटम यांत्रिकी के सभी पहलुओं के लिए केंद्रीय है जो आइंस्टीन और बोह्र से संबंधित है जिसे "स्पुकहेते फर्र्नविकुंगेन" कहा जाता है। (स्पूकी एक्शन-ए-ए-डिस्टेंस) क्वांटम मैकेनिक्स की। विशेष रूप से, यह एकात्मक स्वतंत्रता क्वांटम रीडआउट, क्वांटम एरर करेक्शन, और क्वांटम क्रिप्टोग्रैपी --- की प्रमुख वजह है - टीसीएस के छात्र क्वांटम डायनामिक्स का अध्ययन करते हैं।

अधिक जानने के लिए, छात्र को क्या पढ़ना चाहिए? बहुत सारे विकल्प हैं (और अन्य की अपनी प्राथमिकताएं हो सकती हैं), लेकिन मैं हावर्ड कारमाइकल के "क्वांटम ऑप्टिक्स में सांख्यिकीय तरीके: गैर-शास्त्रीय क्षेत्र" की सिफारिश करने जा रहा हूं, विशेष रूप से अध्याय 17--19 में, "क्वांटम ट्रैक्टरीज I-" शीर्षक से III "।

इन तीन अध्यायों में, कारमाइकल का पाठ शारीरिक रूप से प्रेरित करता है कि नील्सन-चुआंग पाठ औपचारिक रूप से और प्रमेय के रूप में क्या कहता है, अर्थात् हमारी स्वतंत्रता को विभिन्न तरीकों से "अप्रकाशित" मापन (गैर-प्रक्षेप्य माप) भी। शारीरिक रूप से यह स्वतंत्रता सुनिश्चित करती है कि हम एक अलग अस्तित्व वाले ब्रह्मांड में रहते हैं, गणितीय रूप से यह स्वतंत्रता सभी क्वांटम क्रिप्टोग्राफी और त्रुटि सुधार का आधार है।

AFACIT, यह खुद कारमाइकल था जिसने 1993 में इस अनौपचारिक आक्रमण का वर्णन करने के लिए अब-मानक शब्द "सुलझाना" का आविष्कार किया। तब से अप्रकाशित साहित्य काफी बढ़ गया है: "क्वांटम" और "अनअवरेलिंग" के लिए arxiv सर्वर की एक संपूर्ण-पाठ खोज में 762 पांडुलिपियां मिलती हैं; वैरिएंट स्पेलिंग "unraveling" 612 अधिक पांडुलिपियों (संभवतः कुछ डुप्लिकेट के साथ) पाता है।

बेशक, गणितीय टूलसेट सीखना और क्वांटम unraveling से जुड़े भौतिक विचारों का एक बहुत काम है। यह पूछना उचित है कि इस मेहनत को चुकाने के लिए छात्रों को क्या लाभ होगा? जवाब में, यहां एक पैरा पैराग्राफ है, जिसका मुख्य गुण यह है कि यह दो बहुत लंबे, कठिन क्वांटम ग्रंथों (नीलसन-चुआंग और कारमाइकल) को पढ़ने की तुलना में बहुत छोटा है।

एक बार एलिसिन नामक यूक्लिडियन ज्यामिति के एक छात्र ने खुद से पूछा "यूक्लिडियन लंबाई की माप कैसे काम करती है?" यूक्लिडियन ने एलिस के प्रश्न का उत्तर इस प्रकार दिया: "सभी भौतिक लंबाई माप एक कम्पास द्वारा माप के बराबर हैं, जिसका गणितीय मॉडल संख्या रेखा का एक खंड है।" फिर भी रचनात्मक कल्पना के अपार प्रयास से, ऐलिस ने एक समान और अधिक सामान्य उत्तर की कल्पना की: "सभी भौतिक लंबाई माप प्रक्षेपवक्रों के साथ वेग के एकीकरण के बराबर हैं, जिनके गणितीय मॉडल कई गुना पर सुडौल हैं जो सहानुभूति और मीट्रिक रूपों और गतिकीय क्षमताओं से लैस हैं। । " शास्त्रीय गतिशीलता के लिए ऐलिस के गैर-यूक्लिडियन ढांचे को सीखने के लिए बहुत काम किया गया था, लेकिन इसने विज्ञान, प्रौद्योगिकी, की अपनी नई दुनिया के लिए खोल दिया।

दृष्टांत की बात को स्पष्ट करने के लिए, ऐलिस ने शास्त्रीय गतिकी का एक विभेदित वर्णन किया, और इस तरह खुद को यूक्लिडियन अंतरिक्ष की कठोर बाधाओं से मुक्त किया। इसी तरह, आज के क्वांटम छात्रों के पास अनियंत्रित गतिकी का एक अंतर वर्णन गले लगाने का विकल्प है, और इस प्रकार हिल्बर्ट अंतरिक्ष की कठोर बाधाओं से खुद को मुक्त करते हैं।

गैर-यूक्लिडियन शास्त्रीय गतिशीलता के साथ, गैर-हिल्बर्ट क्वांटम गतिशीलता सीखने के लिए बहुत काम है --- वर्तमान में एक भी पाठ्यपुस्तक नहीं है जो सभी आवश्यक सामग्री को कवर करती है --- और फिर भी ये नए गैर-यूक्लिडियन / गैर-हिल्बर्ट हैं। अन्वेषण के लिए डायनैमिक फ्रेमवर्क विशाल नई दुनिया खोल रहे हैं। ये अन्वेषण रसायन विज्ञान और सामग्री विज्ञान में कुशल, मान्य क्वांटम सिमुलेशन कोड लिखने की गंभीर चुनौतियों के लिए स्ट्रिंग सिद्धांत के रहस्यों से लेकर विस्तार तक हैं। यह स्पष्ट है कि इनमें से किसी भी क्षेत्र में अनुसंधान के लिए पहले से ही छात्रों को शास्त्रीय गतिशीलता की गहरी-यूक्लिड सराहना की आवश्यकता है, और क्वांटम गतिशीलता की एक गहरी-से-हिल्बर्ट सराहना है।

यही कारण है कि गणितीय चुनौतियां और शास्त्रीय और क्वांटम गतिकी दोनों से जुड़े अनुसंधान के अवसर वर्तमान समय की तुलना में कभी अधिक नहीं रहे हैं। कौन सा अच्छा है!