वर्ग मैट्रिस की शक्तियों की गणना कैसे करें?

Question

मान लीजिए कि हमें एक मैट्रिक्स दिया जाता है $A \in \mathbb R^{N\times N}$ , और । हम कितनी तेजी से उस मैट्रिक्स की शक्ति की गणना कर सकते हैं ?$m \in \mathbb N_0$$A^m$

-products की तुलना करने के लिए अगली सबसे अच्छी बात यह है कि तेजी से घातांक का उपयोग किया जाए, इसके लिए मैट्रिक्स उत्पादों की आवश्यकता होती है।$m$$\mathcal O(\log m )$

विकर्णनीय मैट्रिसेस के लिए, आइजनवेल्यू अपघटन का उपयोग किया जा सकता है। यह प्राकृतिक सामान्यीकरण है, जॉर्डन अपघटन, असंतुलन के तहत अस्थिर है और इसलिए इसकी गिनती (एफैक) नहीं है।

क्या सामान्य मामले में मैट्रिक्स एक्सपेंशनशिप को खत्म किया जा सकता है?

तेजी से घातांक सुझाव है कि इस सवाल का एक बदलाव भी उपयोगी है:

क्या सामान्य मैट्रिक्स के वर्ग को ज्ञात मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम की तुलना में तेजी से गणना की जा सकती है?$A$

Comments

यदि आप गड़बड़ी के तहत स्थिरता के बारे में परवाह करते हैं, तो तेज घातांक सुरक्षित नहीं लगता है, या तो।

— एमसीएच

ठीक है, मुझे लगता है कि यह दोहराया गुणा से कम सुरक्षित नहीं है, जो स्केलर घातांक जितना सुरक्षित है, है ना?

— शुहालो

Answer 1

जैसा कि आप ध्यान दें, गणना कई बार मैट्रिसेस पर मैट्रिक्स गुणा के संचालन की संख्या में की जा सकती है । आपके दूसरे प्रश्न का उत्तर नहीं है, कम से कम असममित जटिलता के लिए - मैट्रिक्स स्क्वेरिंग और मैट्रिक्स गुणन में समतुल्य समय / अंकगणितीय जटिलता (स्थिर कारकों तक) है। मैट्रिक्स गुणा करने के लिए वर्ग को कम करना स्पष्ट है। स्क्वैरिंग के गुणन को कम करने के लिए, मान लीजिए कि हम और के उत्पाद की गणना करना चाहते हैं । फार्म मैट्रिक्स ब्लॉक संरचना के साथ: ओ ( लॉग एम ) एन × $A^m$$O(\log m)$$N \times N$$A$$B$$2n \times 2n$$C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

यह है कि, एक है सभी शून्यों इसकी ऊपरी-बाएं वृत्त का चतुर्थ भाग में मैट्रिक्स और नीचे दाईं ओर वृत्त का चतुर्थ भाग। ध्यान दें कि में इसके ऊपरी-बाएँ वृत्त का चतुर्थ भाग में समाहित है ।$C$$n \times n$$C^2$$A\cdot B$

Comments

मैंने हाल ही में cs.SE से एक सवाल पूछा था कि विशेष मामले में की जटिलता के बारे में जहां m = । एक ऊपरी बाउंड देना आसान है, लेकिन मैं जो सबसे कम बाउंड दे सकता हूं वह है । क्या आपके पास इस समस्या के बारे में कोई टिप्पणी है? मुझे लगता है कि इस विशेष मामले में बहुत सारी दिलचस्प समस्याएं कम हो जाती हैं। $A^m$$\mathcal O(n)$$\mathcal O(M(n)\log(n))$$\mathcal \Omega (M(n))$

— Shitikanth