कुलपति के आयाम 3 आयामों में

Question

मैं निम्नलिखित सेट प्रणाली के कुलपति-आयाम की खोज कर रहा हूं।

ब्रम्हांड $U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ ऐसा है कि $U\subseteq \mathbb{R}^3$। सेट सिस्टम में$\mathcal{R}$ प्रत्येक सेट $S\in \mathcal{R}$ में एक क्षेत्र से मेल खाती है $\mathbb{R}^3$ ऐसा है कि सेट $S$ में एक तत्व होता है $U$ अगर और केवल अगर इसी क्षेत्र में यह शामिल है $\mathbb{R}^3$।

विवरण जो मुझे पहले से ही पता है।

1. कुलपति-आयाम कम से कम 4 है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $p_1,p_2,p_3,p_4$ एक टेट्राहेड्रॉन के 4 कोने हैं, तो यह बिखर सकता है $\mathcal{R}$

2. वीसी-डायमेंशन अधिकतम 5 है। इसका कारण यह है कि सेट सिस्टम को अंदर एम्बेड किया जा सकता है $\mathcal{R}^4$ में क्षेत्रों के साथ $\mathcal{R}^3$ में हाइपरप्लेन के अनुरूप $\mathcal{R}^4$। यह ज्ञात है कि हाइपरप्लेन में$\mathcal{R}^d$ कुलपति-आयाम है $d+1$।

Answer 1

यहाँ एक आसान तर्क है:

मान लीजिए कि एक सेट है $U$5 अंक जो गेंदों से बिखर सकते हैं। तो किसी भी सेट के लिए$S \subseteq U$, एक गेंद मौजूद है $B$ सेंट $B \cap U = S$ और एक गेंद $B'$ सेंट $B' \cap U = U \setminus S$। इसलिए,$B \cap B'$ का कोई अंक नहीं है $U$। अगर$B \cap B' = \emptyset$, $B$ तथा $B'$एक विमान द्वारा अलग किया जा सकता है। अन्यथा, की सतहों के चौराहे$B$ तथा $B'$एक वर्तुल है। जिस तल में वृत्त होता है वह अलग हो जाता है$S$ से $U \setminus S$। इसलिए,$U$ आधे स्थान से बिखर सकता है, एक विरोधाभास।

उच्च आयाम में एक ही तर्क दिखाता है कि गेंदों का कुलपति-आयाम आधे स्थान के कुलपति-आयाम के बराबर है।

Comments

हाँ। मुझे इस समाधान का एहसास हुआ, लेकिन बहुत देर हो गई;)।

— सरियल हर-पेलेड

Answer 2

मेरा समाधान गलत है। देखें अन्य उत्तर ...

Comments

नहीं, मैं एक चर्चा में एक उदाहरण के रूप में इसे शामिल कर रहा हूं। इसे <= 5 के रूप में उल्लेख करने के बजाय मैंने सोचा कि सटीक संख्या को नोट करना बेहतर होगा। फिर भी धन्यवाद।

— अश्विनकुमार BV 4

मैंने मान लिया कि यह कोई होमवर्क की समस्या नहीं थी ...

— हर-

@ सरियल: मुझे एक आसान सा सबूत मिला। क्या मुझे पोस्ट करना चाहिए या आप कुछ और सोचना चाहते हैं?

— शाशो निकोलेव

एक अलग उत्तर के रूप में दूर पोस्ट करें, और फिर मैं मेरा डिलीट कर दूंगा ...

— Sariel Har-Peled