क्वांटम विस्तारकों के पीछे ज्यामितीय तस्वीर


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( यहां भी पूछा , कोई जवाब नहीं)

एक -quantum विस्तारक एक वितरण है ν से अधिक एकात्मक समूह यू ( ) संपत्ति उस के साथ: क) | s u p p ν | = , ख) यू ~ ν यू यू - यू ~ μ एच यू यू λ , जहां(d,λ)νU(d)|supp ν|=EUνUUEUμHUUλμHHaar उपाय है। यदि यूनिटों पर वितरण के बजाय हम क्रमपरिवर्तन मेट्रिसेस पर वितरण पर विचार करते हैं, तो यह देखना मुश्किल नहीं है कि हम एक अनियमित विस्तारक ग्राफ की सामान्य परिभाषा को पुनर्प्राप्त करें । अधिक पृष्ठभूमि के लिए, उदाहरण के लिए देखें: हैरो और लो द्वारा कुशल क्वांटम सेंसर उत्पाद विस्तारक और के-डिजाइनd

मेरा प्रश्न है - क्वांटम विस्तारक ज्यामितीय व्याख्या के किसी भी प्रकार शास्त्रीय विस्तारक (जहां वर्णक्रमीय अंतराल के समान मानता है isoperimetry / अंतर्निहित ग्राफ के विस्तार)? मैं औपचारिक रूप से "ज्यामितीय बोध" को परिभाषित नहीं करता हूं, लेकिन वैचारिक रूप से, कोई यह आशा कर सकता है कि विशुद्ध रूप से वर्णक्रमीय मानदंड का अनुवाद कुछ ज्यामितीय चित्र के लिए किया जा सकता है (जो कि शास्त्रीय मामले में, विस्तारकों द्वारा प्राप्त गणितीय समृद्धि का स्रोत है; क्वांटम की गणितीय संरचना; विस्तारक बहुत अधिक सीमित लगते हैं)।~


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हो सकता है कि नीचे एक सरल प्रश्न है? एक ग्राफ के लाप्लासियन के साथ जुड़ा हुआ एक प्राकृतिक यादृच्छिक चलना है, और बाद के आइगेनवेल्यूज़ आपको पूर्व के मिश्रण के बारे में बताते हैं। यह यादृच्छिक चाल (गर्मी प्रसार के संदर्भ में) का यह "ज्यामितीय" दृश्य है जो हमें शास्त्रीय मामले में विस्तारकों की व्याख्या करने में मदद करता है। क्या क्वांटम रैंडम वॉक और संबंधित हैडमर्ड मैट्रीस के गुणों के बीच एक समान लिंक है?
सुरेश वेंकट

जवाबों:


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[यह जवाब अब-डीफ़र्ट थिअकिकलॉफ़िक्स स्टैकएक्सचेंज साइट पर मेरे जवाब से कॉपी किया गया था।] शास्त्रीय विस्तारकों के लिए, वर्णक्रमीय परिभाषा को ग्राफ लैपेलियन के दूसरे-सबसे छोटे प्रतिजन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे न्यूनतम माना जा सकता है। सभी यूनिट वैक्टरों पर एक द्विघात रूप ऑर्थोगोनल ऑल-वे वेक्टर। यदि हम इस न्यूनतमकरण को प्रपत्र (ए, ..., ए, बी, बी, .. बी) के वैक्टर के लिए प्रतिबंधित करते हैं, तो यह ग्राफ के बढ़त विस्तार को जन्म देता है। यहाँ एक चर्चा है। इन दोनों परिभाषाओं के मोटे समानता को चीगर की असमानता के रूप में जाना जाता है

इससे पता चलता है कि क्वांटम मामले के लिए हमें प्रोजेक्टर पर चैनल की कार्रवाई (विस्तारक से यादृच्छिक एकात्मक को लागू करके गठित) पर विचार करना चाहिए। Cheeger की असमानता के अनुरूप एक परिणाम ArXiv के परिशिष्ट A में लिया गया है : 0706.0556

दूसरी ओर, जबकि यह गणितीय रूप से अनुरूप है, हम अभी भी क्वांटम विस्तारकों के कई कम अनुप्रयोगों के बारे में जानते हैं जो शास्त्रीय विस्तारकों के लिए जाने जाते हैं।


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रॉब
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