रेखांकन जहां शीर्ष रंग पी में है, लेकिन स्वतंत्र सेट एनपी पूरा है

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क्या ग्राफ़ के एक वर्ग का एक उदाहरण है जिसके लिए शीर्ष रंग समस्या पी में है, लेकिन स्वतंत्र सेट समस्या एनपी पूरी है?

cc.complexity-theory graph-theory complexity-classes

— अंकुर
स्रोत

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एक ऐसा भाव है जिसमें या तो एक की गणना स्पष्ट रूप से युग्मित है, lovasz सैंडविच thm आदि देखें

— vzn

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एक और अधिक सामान्य कथन (एक आसान प्रमाण के साथ) यह है कि निम्नलिखित समस्या पहले से ही एनपी-पूर्ण है:

इनपुट: एक ग्राफ जी, 3-जी का रंग, एक पूर्णांक कश्मीर।

प्रश्न: G का आकार k का एक स्वतंत्र सेट है?

इसे इंडिपेंडेंट सेट की कमी से साबित किया जा सकता है। गौर करें कि यदि हम एक ग्राफ G को लेते हैं, तो कुछ किनारे उठाएँ, और इसे दो बार उप-विभाजित करें (जैसे कि किनारे {u, v} को एक पथ u, x, y, v से जहाँ x और y की डिग्री दो है) से अलग करें, फिर G की स्वतंत्रता संख्या एक बिल्कुल बढ़ जाती है। (आप किसी भी सेट में x या y में से एक को ठीक से जोड़ सकते हैं जो G में स्वतंत्र था, और रिवर्स भी मुश्किल नहीं है।) तो सवाल यह है कि ग्राफ G के साथ m किनारों का स्वतंत्र आकार k का सेट है, जो प्रश्न के बराबर है। क्या जी ', जो कि जी में दो बार सभी किनारों को विभाजित करने का परिणाम है, का आकार k + m का एक स्वतंत्र सेट है। लेकिन ध्यान दें कि जी 'के 3-रंग प्राप्त करना आसान है, जी' को तीन स्वतंत्र सेटों में विभाजित करके निम्नानुसार है: एक में वे कोने होते हैं जो जी में भी थे, और अन्य दो वर्गों में से प्रत्येक में दो में से एक शामिल है " subdivider " प्रत्येक किनारे के लिए कोने। इसलिए यह प्रक्रिया 3-रंग के साथ एक ग्राफ G 'का निर्माण करती है, जैसे कि इसकी स्वतंत्रता संख्या की गणना आपको मूल संस्करण G की स्वतंत्रता संख्या प्रदान करती है।

— बार्ट जानसन
स्रोत

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यह कमी भी मुश्किल से प्राप्त कागजात के संदर्भ के बिना, मेरे उत्तर से, त्रिकोण-मुक्त प्लानर ग्राफ़ में स्वतंत्र सेट की कठोरता को तुरंत साबित करती है।

— डेविड एपस्टीन

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माना जाता है कि उहारा द्वारा संदर्भ "एनपी-पूर्ण समस्याओं को एक 3-जुड़े क्यूबिक प्लानर ग्राफ और उनके अनुप्रयोगों" पर (एक कागज जिसे मैंने वास्तव में नहीं देखा है) यह साबित करता है कि त्रिकोण-मुक्त प्लानर ग्राफ़ के लिए भी स्वतंत्र सेट एनपी-पूर्ण है। लेकिन गोट्ज़स्च के प्रमेय द्वारा वे हमेशा 3-रंगीन होते हैं, और 3 की तुलना में छोटी संख्या में रंगों का परीक्षण किसी भी ग्राफ में आसान होता है, इसलिए वे पी में स्पष्ट रूप से रंगीन हो सकते हैं।

सर्कल ग्राफ में विपरीत संपत्ति होती है: उनके लिए, रंग पूरी तरह से एनपी है, लेकिन स्वतंत्र सेट समस्या आसान है।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

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क्या आप सर्कल ग्राफ़ के बारे में निश्चित हैं? विकी पेज कहते हैं, "एक चक्र ग्राफ की रंगीन नंबर मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है, और एक गोल ग्राफ़ की रंगीन संख्या निर्धारित करने एनपी पूरा हो गया है।"

— अंकुर

उफ़, पीछे से मिल गया। ठीक कर देंगे।

— डेविड एप्पस्टीन

धन्यवाद। अन्य उदाहरण प्राप्त करना बहुत अच्छा होगा। उहेरा द्वारा कागज कुछ अलग-थलग लगता है; इसके हवाले से कई अन्य कागजात भी नहीं हैं। मुझे भी यकीन नहीं है कि यह सहकर्मी की समीक्षा और प्रकाशित किया गया है।

— अंकुर

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यह एक नया उत्तर नहीं है, बल्कि त्रिकोण-मुक्त क्यूबिक प्लानर ग्राफ़ में INDEPENDENT SET की कठोरता के लिए पहला और आसान-प्राप्त संदर्भ है: ओवेन मर्फी द्वारा नोट, बड़े आकार के साथ ग्राफ्ट में स्वतंत्र सेटों की गणना , अनुप्रयुक्त गणित लागू करें 35 (1992) 167-170 यह साबित करता है

स्वतंत्र सेट घन प्लानर के लिए एनपी पूरा हो गया है कम से कम परिधि के -vertex रेखांकन किसी भी स्थिरांक के लिए और । $n$ $cn^k$ $c>0$ $k, 0\le k < 1$

(विशेष रूप से, INDEPENDEN SET किसी भी स्थिर लिए से कम लंबाई के चक्रों के बिना क्यूबिक प्लानर ग्राफ़ के लिए NP-पूर्ण है ) $c$ $c>0$

@BartJansen द्वारा इंगित की गई कटौती मर्फी के अपने प्रमेय के प्रमाण में एक विशेष मामला है।

विपरीत संपत्ति के लिए, लाइन ग्राफ़ सर्कल के ग्राफ़ की तुलना में अधिक प्राकृतिक प्रतीत होते हैं जैसा कि @DavidEppstein द्वारा संबोधित किया गया है। रेखा रेखांकन के लिए, COLORING NP-complete है लेकिन INDEPENDENT SET आसान है।

— user13136
स्रोत

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विपरीत संपत्ति के लिए एक और दिलचस्प उदाहरण अच्छी तरह से कवर किए गए ग्राफ़ का वर्ग है ( यहां और यहां देखें )। उनके लिए, रंग कठिन है लेकिन स्वतंत्र सेट तुच्छ रूप से आसान है।

— vb le