सामान्य स्थिति में वैक्टर का निर्माण

Question

एक वास्तविक ( k ≤ n ) मैट्रिक्स A को इस गुण के साथ दें कि k कॉलम का कोई भी संग्रह पूर्ण रैंक है।$k\times n$$k\le n$${\bf A}$$k$

प्रश्न: वहाँ एक कारगर तरीका निर्धारणात्मक एक वेक्टर खोजने के लिए है ऐसी है कि संवर्धित मैट्रिक्स एक ' = [ ${\bf a}$ उसी गुण को A के रूप में संरक्षित करता है: कोई k कॉलम पूर्ण रैंक का है।${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$${\bf A}$$k$

प्रासंगिक सिडेनोट: एक मैट्रिक्स जिसके पास यह गुण है वह एक रीड-सोलोमन कोड का जनरेटर है : इसके वैंडमोंडे संरचना को संरक्षित करने वाले स्तंभों को जोड़ना रैंक संपत्ति को संरक्षित करता है।$(n,k)$

Comments

मुझे यकीन नहीं हो रहा है अगर मैं आपकी बात समझूं। मैं की आवश्यकता होती है , कश्मीर = n कोई मुद्दा नहीं है। $k\le n$$k=n$

— दिमित्रिस

@ J @ ɛ E k नहीं बदलता: k = n के मामले में, केवल n (1) n + 1 कॉलम में पूर्ण रैंक होना आवश्यक है। इस मामले में, समस्या आसान होनी चाहिए: मैट्रिक्स के आर-एन के एक ऑर्थोगोनल आधार पर एक ट्रांसिन के परिवर्तन को ढूंढें, और फिर वेक्टर होने दें जिनकी छवि इसके तहत सभी 1s वेक्टर है।

— सुरेश वेंकट

यह मुझे लगता है कि यह ग्रासमैन के माध्यम से ऐसा करने का एक तरीका होना चाहिए, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि कैसे।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश हाँ, वास्तव में, n = k + 1 मामले के लिए यह आपके द्वारा उल्लिखित तरीके से हल करने योग्य लगता है। या आप बस चुन सकते हैं सब से nullspace में होने की कश्मीर , ( कश्मीर - 1 ) वैक्टर की -collections। ${\bf a}$$k$$(k-1)$

— दिमित्रिस

अच्छा प्रश्न। प्रतिबंधित आइसोमेट्री संपत्ति को सत्यापित करने की समस्या के एक कमजोर संस्करण की तरह लगता है, जो कि मुझे पता है कि कहां तक ​​विस्तृत है।

— सैशो निकोलोव

Answer 1

यदि आप चुनते हैं hypercube से समान रूप से यादृच्छिक पर [ 0 , 1 ] n , मैट्रिक्स [ एक एक ] संभावना के साथ वांछित संपत्ति होगा 1 ।$\mathbf{a}$$[0,1]^n$$[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$$1$

Comments

मैं सहमत नहीं हो सकता लेकिन :)। समस्या तब आती है जब आप जांचना चाहते हैं कि ऐसा वेक्टर काम करता है (कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह जैसा है)। आपको जांचना होगा कॉलम के सबसेट। जाँच की यह समस्या तब अधिक प्रासंगिक हो जाती है जब आप परिमित क्षेत्रों (निश्चित क्रम के) पर विचार करते हैं, लेकिन मैंने उनके बारे में बात करने से बचने की कोशिश की। ${{n}\choose{k}}$

— दिमित्रिस

प्रश्न विशेष रूप से एक कुशल नियतात्मक एल्गोरिथ्म के लिए पूछता है। यदि आप संबंधित कुछ का जवाब देते हैं, लेकिन प्रश्न में बताई गई शर्त को पूरा नहीं करते हैं, तो आपको मेरी राय में स्पष्ट रूप से कहना चाहिए।

— --३४४ पर त्सुयोशी इतो

@TsuyoshiIto क्या, आप बिल्ली के बच्चे पसंद नहीं है? :)

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: व्यवहार में, अगर मेरा कंप्यूटर अचानक बिल्ली के बच्चे में बदल जाए तो यह बहुत ही आश्चर्यजनक होगा। सिद्धांत रूप में, हालांकि, पहले आपको एक बिल्ली का बच्चा परिभाषित करना होगा।

— त्सुकोशी इतो

$O(2^k)$