सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में बीजगणितीय संरचनाओं का उपयोग

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मैं एक सॉफ्टवेयर व्यवसायी हूं और मैं व्यक्तिगत अनुसंधान के लिए बीजीय संरचनाओं पर एक सर्वेक्षण लिख रहा हूं और उदाहरणों का उत्पादन करने की कोशिश कर रहा हूं कि कैसे इन संरचनाओं का उपयोग सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान (और कुछ हद तक, कंप्यूटर विज्ञान के अन्य उप-क्षेत्रों) में किया जाता है ।

समूह सिद्धांत के तहत, मैं औपचारिक भाषाओं और ट्रेस और समानांतर / समवर्ती कंप्यूटिंग के लिए इतिहास monoids के लिए वाक्यविन्यास monoids में आया हूं।

एक रिंग सिद्धांत के दृष्टिकोण से, मैं ग्राफ़ प्रोसेसिंग और सेमिनार आधारित पार्सिंग के लिए सेमिनार फ्रेमवर्क में आया हूं।

मुझे अभी तक अपने शोध में मॉड्यूल सिद्धांत से बीजगणितीय संरचनाओं के किसी भी उपयोग का पता लगाना है (और चाहेंगे)।

मैं मान रहा हूं कि आगे के उदाहरण हैं और मैं उन्हें खोजने के लिए सही जगह नहीं देख रहा हूं।

ऊपर सूचीबद्ध डोमेन से बीजीय संरचनाओं के कुछ अन्य उदाहरण सामान्यतः सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान (और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य उप-क्षेत्र) में पाए जाते हैं? वैकल्पिक रूप से, आप किन पत्रिकाओं या अन्य संसाधनों की सिफारिश कर सकते हैं जो इन विषयों को कवर कर सकते हैं?

— जेल
स्रोत

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यह बल्कि विशाल लगता है। सभी प्रकार की बीजगणितीय संरचनाएं (समूह, वलय, अर्धवृत्त, अर्धवृत्त, क्षेत्र) सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में दिखाई देती हैं, और यह पर्याप्त रूप से व्यापक है कि आप एक विशिष्ट उपसंपादक को खोजने के लिए कठिन दबाए जाएंगे। इसके अलावा, हैशिंग और कई अन्य यादृच्छिक फिंगरप्रिंटिंग विधियों के लिए परिमित क्षेत्र न भूलें।

— सुरेश वेंकट

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संभवतः कुछ भी जो प्रतिनिधित्व करने योग्य हो सकता है, कंप्यूटर विज्ञान में इसका उपयोग होता है!

— बनाम

सममिति समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुप्रयोग

— vzn

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मेरी धारणा यह है कि, कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग के लिए बड़े और पारंपरिक बीजगणित बहुत विशिष्ट हैं। इसलिए कंप्यूटर वैज्ञानिक या तो कमजोर (और, इसलिए, अधिक सामान्य) संरचनाओं का उपयोग करते हैं, या पारंपरिक संरचनाओं को सामान्य करते हैं ताकि वे उन्हें अपनी आवश्यकताओं के अनुसार फिट कर सकें। हम श्रेणी सिद्धांत का भी बहुत उपयोग करते हैं, जो गणितज्ञ बीजगणित का हिस्सा होने के बारे में नहीं सोचते हैं, लेकिन हम यह नहीं देखते हैं कि क्यों नहीं। हम पारंपरिक गणित के रेजिमेंटेशन को "बीजगणित" और "टोपोलॉजी" में अलग-अलग शाखाओं के लिए असुविधाजनक मानते हैं, यहां तक कि व्यर्थ भी, क्योंकि बीजगणित आम तौर पर पहले क्रम में होता है जबकि टोपोलॉजी में उच्च-क्रम के पहलुओं से निपटने का मौका होता है। इसलिए, कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग की जाने वाली संरचनाओं में बीजगणित और टोपोलॉजी मिश्रित हैं। वास्तव में, मैं कहूंगा कि वे बीजगणित की तुलना में टोपोलॉजी की ओर अधिक हैं। तर्क के "बीजगणित" और "तर्क" में तर्क हमारे दृष्टिकोण से एक और निरर्थक विभाजन है, क्योंकि बीजगणित समान गुणों से संबंधित है, जबकि तर्क अन्य सभी प्रकार के गुणों से भी संबंधित है।

आपके प्रश्न पर वापस आते हुए, ऑटोमेटा सिद्धांत में अर्धवृत्त और मोनोइड्स का काफी तीव्रता से उपयोग किया जाता है। इलेनबर्ग ने 2-वॉल्यूम संग्रह लिखा है , जिसमें से दूसरा लगभग पूरी तरह से बीजगणित है। मुझे बताया गया है कि वह चार खंडों की योजना बना रहा था, लेकिन उसकी आयु ने परियोजना को समाप्त नहीं होने दिया। जीन-एरिक पिन के पास एक ऑनलाइन पुस्तक में इस सामग्री के बहुत से आधुनिक संस्करण हैं । ऑटोमेटा "मोनोइड मॉड्यूल" (जिसे मोनोइड एक्शन या "एक्ट्स" भी कहा जाता है), जो कंप्यूटर साइंस के लिए सामान्यता के सही स्तर पर हैं। पारंपरिक रिंग मॉड्यूल शायद बहुत विशिष्ट हैं।

लेटिष सिद्धांत, सांकेतिक शब्दों के विकास में एक प्रमुख शक्ति थी। टोपोलॉजी को जाली सिद्धांत में मिलाया गया जब कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने गणितज्ञों के साथ मिलकर निरंतर लैटिस विकसित किया और फिर उन्हें डोमेन में सामान्यीकृत किया । मैं कहूंगा कि डोमेन सिद्धांत कंप्यूटर वैज्ञानिकों का अपना गणित है, जिसे पारंपरिक गणित का कोई ज्ञान नहीं है।

यूनिवर्सल बीजगणित का उपयोग डेटा प्रकारों के बीजीय विनिर्देशों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है । वहां जाने के बाद, कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने तुरंत अधिक सामान्य गुणों से निपटने की आवश्यकता को पाया: सशर्त समीकरण (जिसे समान हॉर्न क्लॉस भी कहा जाता है) और प्रथम-क्रम तर्क गुण, अभी भी सार्वभौमिक बीजगणित के समान विचारों का उपयोग कर रहे हैं। जैसा कि आप ध्यान देंगे, बीजगणित अब मॉडल सिद्धांत में विलीन हो गया है।

श्रेणी सिद्धांत प्रकार के सिद्धांत की नींव है। जैसा कि कंप्यूटर वैज्ञानिक विभिन्न कम्प्यूटेशनल घटनाओं से निपटने के लिए नई संरचनाओं का आविष्कार करते रहते हैं, इन सभी विचारों को रखने के लिए श्रेणी सिद्धांत एक बहुत ही आरामदायक ढांचा है। हम उन संरचनाओं का भी उपयोग करते हैं जो श्रेणी के सिद्धांत द्वारा सक्षम हैं, जिनका "पारंपरिक" गणित में कोई अस्तित्व नहीं है, जैसे कि फ़ंक्टर श्रेणियां। इसके अलावा, बीजगणित प्रभाव के मठों और बीजगणितीय सिद्धांतों के उपयोग में एक स्पष्ट दृष्टिकोण से चित्र में वापस आता है । कोलजेब्रा , जो बीजगणित के दोहरे हैं, बहुत सारे अनुप्रयोग भी खोजते हैं।

तो, कंप्यूटर विज्ञान में "बीजगणित" का एक विस्तृत अनुप्रयोग है, लेकिन यह पारंपरिक बीजगणित की पाठ्यपुस्तकों में पाया जाने वाला बीजगणित नहीं है।

$a : X \rightarrow Y$ $a : X \rightarrow Y$ $b : Y \to Z$ $ab : X \to Z$ $n \times n$ $m \times n$ $m$ $n$

— उदय रेड्डी
स्रोत

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श्रेणी सिद्धांतकार बीजगणित को श्रेणी सिद्धांत का हिस्सा मानते हैं। बीजगणित श्रेणी के सिद्धांत को बीजगणित के हिस्से के रूप में सोचते हैं। लोग सोचते हैं कि वे दोनों पागल हैं।

— जेफ

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शुद्ध गणित में टोपोलॉजी और बीजगणित के बीच बहुत अधिक सहभागिता है ...

— साशो निकोलेव

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यह एक अच्छा जवाब है, लेकिन मुझे लगता है कि "रेजिमेंटेशन" और "साइलो संस्कृति" के बारे में आपकी टिप्पणियां भ्रामक हैं। बीजगणित, टोपोलॉजी, और तर्क आपके लिए एकरूप प्रतीत होते हैं, यह है कि आपके द्वारा पूछे जाने वाले प्रश्नों के लिए , इन विषयों के भाग जो आपके लिए प्रासंगिक हैं, बहुत बारीकी से परस्पर जुड़े हुए हैं। लेकिन अगर, उदाहरण के लिए, आपको जटिल संख्याओं पर 4-आयामी मैनिफ़ेस्ट को वर्गीकृत करने का प्रयास करना था, तो आप जल्दी से उन पारंपरिक भेदों की उपयोगिता देखेंगे जो गणितज्ञ बनाते हैं। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस समस्या को हल करने की कोशिश कर रहे हैं।

— टिमोथी चाउ

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मैं व्यक्तिगत रूप से अभी भी पूरी तरह से पूरी तरह से हैरान हूं कि गणित और कंप्यूटर विज्ञान में अनुसंधान संस्कृति के बारे में आपके द्वारा किए गए किसी भी एकल अनुमान से बहुत अधिक प्रभावित हैं। जैसा कि @TimothyChow बताता है, विभिन्न प्रकार की समस्याओं से निपटने के लिए अलग-अलग उप-क्षेत्र विकसित किए गए थे, और इसलिए विभिन्न उपकरण विकसित किए गए थे। जहां विभिन्न उपक्षेत्रों से उपकरण लाने के लिए समझ में आता है, और लोगों ने महसूस किया है कि, बातचीत है। उदाहरणों को खोजने में मुश्किल नहीं होनी चाहिए, उदाहरण के लिए झूठ बीजगणित पर किसी भी व्याख्यान नोट्स में।

— शाशो निकोलेव

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कंप्यूटर विज्ञान में साइलो संस्कृति के कम होने के संबंध में, मैं वहाँ भी असहमत हूँ। मुझे व्यक्तिगत रूप से पता नहीं है कि पीएल शोधकर्ताओं को इस सभी भारी मशीनरी की आवश्यकता क्यों है, वे इसके लिए क्या उपयोग करते हैं, वे इसके साथ क्या समस्या हल करते हैं, और मुझे क्यों ध्यान रखना चाहिए। शायद यह मेरी खुद की अज्ञानता है, लेकिन मुझे संदेह है कि अधिकांश जटिलता सिद्धांतकारों और एल्गोरिदमवादियों को इन सवालों के जवाब पता हैं ...

— साशो निकोलेव

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टीसीएस में समूह सिद्धांत का मेरा सर्वकालिक पसंदीदा अनुप्रयोग बैरिंगटन की प्रमेय है। आप जटिलता ब्लॉग पर इस प्रमेय का एक प्रदर्शनी पा सकते हैं , और उस पोस्ट के टिप्पणी अनुभाग में बैरिंगटन का प्रदर्शनी।

— दाई ले
स्रोत

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+1: और कई इसे जटिलता सिद्धांत के सबसे आश्चर्यजनक परिणामों में से एक मानते हैं। :)

— केव

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कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी में समूह, रिंग, फ़ील्ड और मॉड्यूल हर जगह हैं। विशेष रूप से कार्ल्ससन और ज़ोमोरोडियन के काम को देखें [एक्स: 1 ] पर (बहुआयामी) लगातार होमोलॉजी, जो सभी प्रमुख आदर्श डोमेन पर वर्गीकृत मॉड्यूल के बारे में है।

— Jeffε
स्रोत

@ जेफ़े, लिंक, कृपया।

— स्काउआहू

1

@JeffE, मेरी टिप्पणी आक्रामक होने के लिए नहीं थी। हां मुझे पता है कि Google को कैसे। मेरा कहना यह था कि क्या कार्ल्ससन और ज़ोमोरोडियन द्वारा लिखा गया कोई विशेष लेख है, जो निरंतर गृहविज्ञान के अवलोकन के समान होगा? यदि कोई है, तो कृपया हमें बताएं। धन्यवाद।

— स्काउआहू

मेरा सुझाव है कि इस पेपर से शुरुआत करें । (क्षमा करें, मेरी पूर्व टिप्पणी के लिए

— अनसुना कर दिया

@ जेफ, यह मिल गया, वास्तव में मैं क्या देख रहा था। धन्यवाद।

— स्काउआहू

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यहाँ एक बहुत अच्छा, व्यावहारिक उपयोग है: कंप्यूटिंग कनेक्टिविटी के लिए एक एल्गोरिथ्म ( FOCS2011 से )। ग्राफ की s-> t कनेक्टिविटी की गणना करने के लिए, लेखक एक एल्गोरिथ्म देता है जो कि एक परिमित क्षेत्र से बाहर से किनारों तक खींची गई प्रविष्टियों के साथ यादृच्छिक वैक्टर प्रदान करता है, फिर यादृच्छिक रूप से ग्राफ में सभी किनारों के लिए समान वैक्टर का निर्माण करता है। रैखिक संयोजन, और अंत में टी के किनारों को सौंपा परिणामी वैक्टर की रैंक की गणना करके कनेक्टिविटी की खोज करते हैं।

— हारून रोथ
स्रोत

सूचक और अवलोकन के लिए धन्यवाद! : इस FOCS 2011 से था dx.doi.org/10.1109/FOCS.2011.55

— एंड्रास सालेमन

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कार्यक्रम विश्लेषण और सत्यापन की नींव में जाली और निश्चित बिंदु हैं। हालांकि जाली सिद्धांत से उन्नत परिणाम शायद ही कभी उपयोग किए जाते हैं क्योंकि हम एल्गोरिदम से संबंधित हैं जैसे कंप्यूटिंग और निश्चित बिंदुओं को अनुमानित करते हैं, जबकि जाली सिद्धांत में अनुसंधान का एक अलग ध्यान केंद्रित है (टोपोलॉजी, द्वैत सिद्धांत, आदि से संबंध)। प्रारंभिक अमूर्त व्याख्या कागजात मूल जाली सिद्धांत का उपयोग करते हैं। रॉबर्टो गियाकोबाज़ी और उनके सहयोगियों का काम अधिक उन्नत परिणामों का उपयोग करता है।

वितरित अभिकलन में, अभेद्य परिणामों का एक प्रसिद्ध परिवार बीजगणितीय टोपोलॉजी के तरीकों का उपयोग करके प्राप्त किया गया था (मौरिस हेरालि और नी शविट का काम देखें)।

[संपादित करें: कंप्यूटर विज्ञान के लिए टोपोलॉजी के अनुप्रयोग देखें ]

— विजय डी
स्रोत

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सार्वभौमिक बीजगणित बाधा संतुष्टि समस्याओं की जटिलता का अध्ययन करने में एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

उदाहरण के लिए, Dichotomy अनुमान में कहा गया है कि मोटे तौर पर, एक परिमित डोमेन पर एक बाधा संतुष्टि समस्या या तो एनपी-पूर्ण या बहुपद-समय हल है। ध्यान दें कि लडनेर के प्रमेय में एनपी में समस्याएं हैं जो पी में नहीं हैं और एनपी-पूर्ण नहीं हैं, जब तक कि पी = एनपी नहीं है, इसलिए अनुमान यह कहता है कि सीएसपी एक द्विध्रुवी होने में विशेष हैं जो कि बड़ी जटिलता वर्ग के पास नहीं है। यह कुछ स्पष्टीकरण भी प्रदान करेगा कि व्यवहार में हमारे सामने आने वाली अधिकांश समस्याओं को एनपी-पूर्ण या पी में वर्गीकृत किया जा सकता है।

Dichotomies कई विशेष मामलों के लिए सिद्ध हुईं, जैसे बाइनरी डोमेन CSPs (शेफ़र) और टर्नरी डोमेन CSPs (बुलटोव), और होमोमोर्फिज्म को अप्रत्यक्ष ग्राफ़ (नर्क और नेसेट्रिल) में। लेकिन सामान्य मामला काफी खुला है। हमले की प्रमुख लाइनों में से एक सार्वभौमिक बीजगणित के माध्यम से है। बहुत मोटे तौर पर (और मैं निश्चित रूप से इसमें विशेषज्ञ नहीं हूँ!) एक सीएसपी के बहुरूपता को सीएसपी के डोमेन पर एक फ़ंक्शन होने के लिए परिभाषित करता है जो कि प्रत्येक चर पर लागू होने पर सभी संतुष्ट बाधाओं को संतुष्ट करता है। सीएसपी के बहुरूपताओं का सेट कुछ अर्थों में इसकी जटिलता को दर्शाता है। उदाहरण के लिए यदि कोई CSP A, CSP B के सभी बहुरूपताओं को स्वीकार करता है, तो A, बहुपद समय reducible to B. है। बहुरूपता का समुच्चय एक बीजगणित बनाता है, जिसकी संरचना एल्गोरिदम को दर्शाने / घटाने में सहायक लगती है। उदाहरण के लिए यदि एक CSP का बहुरूपता आलंकारिक है और एकरी प्रकार को स्वीकार करता है, तो CSP NP-complete है। Idempotence एक सरल धारणा है जिसे सामान्यता के नुकसान के बिना कम या ज्यादा बनाया जा सकता है। यह दर्शाता है कि एक सीएसपी जिसका बीजगणित उदासीन है और एकात्मक प्रकार को स्वीकार नहीं करता है उसे बहुपद में हल किया जा सकता है जो कि डाइकोटॉमी अनुमान साबित होगा।

बुलटोव द्वारा सर्वेक्षण देखें: http://www.springerlink.com/content/a553847g6h673k05/ ।

— साशो निकोलोव
स्रोत

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यहां टीसीएस के एक अलग हिस्से से दो एप्लिकेशन हैं।

डेटाबेस में एनोटेशन के मॉडलिंग के लिए सेमरिंग का उपयोग किया जाता है (विशेष रूप से उन लोगों के लिए जिन्हें प्रोविज़न की आवश्यकता होती है), और अक्सर वैल्यूएशन स्ट्रक्चर्स के लिए भी महत्वपूर्ण बाधा संतुष्टि के लिए। इन दोनों अनुप्रयोगों में, व्यक्तिगत मूल्यों को उन तरीकों से एक साथ जोड़ा जाना चाहिए, जो स्वाभाविक रूप से एक संगोष्ठी संरचना की ओर ले जाते हैं, जिसमें एकरूपता होती है और एक संगोष्ठी ऑपरेशन दूसरे पर वितरित होता है। मॉड्यूल के बारे में आपकी क्वेरी के बारे में, सामान्य रूप से इन अनुप्रयोगों में न तो मोनोड का कोई उलटा होता है।

टॉड जे। ग्रीन, ग्रिगोरिस करवोनारकिस और वैल टैनन। उद्गम semirings , फली 2007 डोई: 10.1145 / १२,६५,५३०.१२६५५३५ ( प्रीप्रिंट )
स्टेफानो बिस्त्रेल्ली, उगो मोंटानारी और फ्रांसेस्का रॉसी। सेमिनार-आधारित बाधा संतुष्टि और अनुकूलन , JACM 1997. doi: 10.1145 / 256303.256306 ( प्री -प्राइमरी )

— आंद्रस सलामन
स्रोत

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रिंग्स, मॉड्यूल और बीजगणितीय किस्मों का उपयोग त्रुटि सुधार में किया जाता है और, आमतौर पर, सिद्धांत को कोडित किया जाता है।

विशेष रूप से, एक अमूर्त त्रुटि सुधार योजना (बीजगणितीय-ज्यामिति कोड) है जो रीड-सोलोमन कोड और चीनी रिमेनडर कोड को सामान्य करती है। यह योजना मूल रूप से एक रिंग आर से आने के लिए आपके संदेशों को लेने के लिए है और इसके अवशेषों को आर में कई अलग-अलग आदर्शों को लेते हुए एनकोड करती है। आर के बारे में कुछ मान्यताओं के तहत, कोई यह साबित कर सकता है कि यह एक सभ्य त्रुटि सुधार कोड बनाता है।

सूची डिकोडिंग की दुनिया में, गुरुस्वामी द्वारा हाल ही में एक पेपर रीड-सोलोमन कोड तह तह की सूची का एक रेखीय-बीजगणितीय विधि देता है, जिसमें अच्छी संपत्ति होती है कि सभी उम्मीदवार संदेश संदेश स्थान के कम-आयामी संबंध में झूठ बोलते हैं। । एक उप-प्रक्षेपी सेट का निर्माण कर सकता है , ऐसे सेट जो लगभग पूरे अंतरिक्ष में बड़े होते हैं, लेकिन हर कम-आयामी affine उप-क्षेत्र के साथ छोटे चौराहे होते हैं। यदि कोई संदेश स्थान के अंदर एक उप-खाली निकाय से आने वाले संदेशों को प्रतिबंधित करता है, तो गुरुस्वामी की योजना एक एल्गोरिथ्म देती है जो अच्छी सूची आकार की गारंटी देती है। अब तक उप-प्रक्षेपात्मक सेटों का एकमात्र स्पष्ट निर्माण Dvir और Lovett द्वारा उनके आगामी STOC पेपर, सबस्पेस इवेसिव सेट्स में दिया गया है। और एक विशिष्ट प्राइन किस्म (और अपने कार्टेशियन उत्पाद को अपने साथ ले कर) सेट का निर्माण करें।

— एलन गुओ
स्रोत

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की जाँच करें रैमसे थ्योरी मूल रूप से की एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण - डब्बों में सिद्धांत जो ऑटोमेटा और औपचारिक भाषा सिद्धांत का एक बहुत का आधार (या मुझे कहना चाहिए, डब्बों सिद्धांत रैमसे सिद्धांत का सबसे सरल मामला है)। यह मूल रूप से कहता है कि अत्यधिक अव्यवस्थित संरचनाएं आवश्यक रूप से बहुत अधिक क्रम में होती हैं अगर वे पर्याप्त रूप से बड़ी हैं। कबूतर के सिद्धांत से परे एक छोटे से उदाहरण के लिए, ध्यान दें कि यदि आप किसी भी छह लोगों को लेते हैं, तो उनमें से तीन एक-दूसरे को परस्पर जानते हैं या उनमें से तीन परस्पर एक-दूसरे को नहीं जानते हैं।

यह पेपर कंप्यूटर विज्ञान के साथ कनेक्शन के लिए शुरू करने के लिए एक अच्छी जगह की तरह दिखता है, लेकिन आप अधिक के लिए Google कर सकते हैं। यह अपने मूल स्वभाव में बीजगणितीय की तुलना में अधिक दहनशील है, लेकिन बीजगणित और सैद्धांतिक सीएस में कई अनुप्रयोग हैं।

और आविष्कारक, फ्रैंक राम्से की कहानी की भी जाँच करें - वास्तव में एक उल्लेखनीय बहुरूपिया जिसने अर्थशास्त्र और दर्शन के साथ-साथ गणित में भी क्रांतिकारी योगदान दिया, बहुत बाद तक अनकहा, 26 साल की उम्र में मरने से पहले - जरा सोचो! वास्तव में, रैमसे की मूल प्रमेय, रैमसे थ्योरी का आधार, गणितीय तर्क में एक बड़ा लक्ष्य के साथ एक कागज में एक मात्र लामा था।

— डेविड लुईस
स्रोत

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यह शास्त्रीय चरम कॉम्बिनेटरिक्स सामान है, मैं सोच रहा हूँ कि आप बीजगणित के साथ संबंध कहाँ देखते हैं? (मैं बहस नहीं करता कि रैमसे सिद्धांत महान समस्याओं और प्रमेयों का एक स्रोत है)

— साशो निकोलोव

S

$S$

A

$A$

k >= 2

$k >= 2$

n

$n$

w \in A^{+}

$w \in A^+$

n

$n$

e \in S

$e \in S$

w = x u_{1} . . . u_{n} y

$w = xu_1...u_ny$

x, y \in A^{*}

$x, y \in A^*$

{\bar{u}}_{i} = e

$\bar u_i= e$

मैं रैमसे थ्योरी की प्रासंगिकता पर विवाद नहीं कर रहा हूं, अकेले ग्राफ सिद्धांत को, टीएसीएस को दें। मैं कह रहा हूं कि ओपी ने बीजगणित और रैमसे सिद्धांत के अनुप्रयोगों के बारे में पूछा है कि आमतौर पर बीजगणित, अफीक के साथ कुछ जुड़ा नहीं है। लेकिन जब से आपको लगता है कि कुछ कनेक्शन रेम्सी सिद्धांत है -> बीजगणित -> tcs को ध्यान में रखते हुए, हो सकता है कि आप अपने उत्तर में इसे जोड़ सकें

— Sasho Nikolov

@ साशो - अगर आपका मतलब है कि रैमसे थ्योरी बीजगणित का विषय नहीं है, तो मेरा जवाब ऑफ-बेस है, तो आप 100% सही हैं। मैं अपने जवाब के लिए माफी मांगता हूं। मुझे लगता है कि मेरा दिमाग आसानी से नहीं बल्कि अनुशासनात्मक और उप-अनुशासनात्मक सीमाओं को पार करता है। लेकिन यह उससे भी बदतर है - रैमसे थ्योरी किसी भी तरह से "बीजगणितीय संरचना" नहीं है। कृपया बेझिझक मेरे जवाब को दरकिनार करें। सादर।

— डेविड लुईस

अच्छी तरह से हो सकता है कि शायद डाउनवोटिंग तार्किक हो, मुझे चरम कॉम्बिनेटरिक्स से प्यार है, इसलिए मैं :) नहीं जा रहा हूं: BTW मुझे पूरा यकीन है कि कुछ रैमसे-प्रकार की घटनाएं होती हैं जो बीजीय संरचनाओं के साथ होती हैं, शायद कम घनत्व " समरूपता, इसलिए आप मुझे एक प्रश्न के बारे में एक विचार दे रहे हैं

— सैशो निकोलेव

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समूह सिद्धांत का उपयोग करके किसी भी समरूपता के साथ किसी भी समस्या का विश्लेषण करने की सुविधा है। एक उदाहरण रूबिक के क्यूब जैसी चीजों के लिए एल्गोरिदम खोजने के लिए होगा। हालांकि मुझे विवरण नहीं पता है, मुझे यकीन है कि यह साबित करते हुए कि भगवान की संख्या 20 है कुछ गंभीर समूह सैद्धांतिक छंटाई की आवश्यकता है। एक अलग संदर्भ में, ग्राफ की समरूपता की समस्या के लिए ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या के लिए व्यावहारिक सॉल्वर ग्राफ के स्वप्रतिरूपता समूह का उपयोग करते हैं।

— Shitikanth
स्रोत

इसके अलावा, ग्राफ समरूपतावाद के लिए एल्गोरिदम [लुक्स '81; बाबई - लुक्स '82] सबसे अच्छी तरह से ज्ञात गारंटी के साथ (जो सिद्धांत में काम करता है, लेकिन व्यवहार में अक्षम हो सकता है) समूह सिद्धांत का भारी उपयोग करता है, यहां तक कि परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का भी आह्वान करता है।

— जोशुआ ग्रोचो

5

$\mathbb{Z}_p$

— प्रत्यूष मिश्रा
स्रोत

1

जैसा कि मैं समझता हूं, आधुनिक क्रिप्टो में उपयोग किए जा रहे अन्य बीजीय संरचनाएं (परिमित क्षेत्र, रिंग, और अन्य संरचनाएं) हैं - जो धीरे-धीरे संख्या सिद्धांत को छोड़ रही है और लैटिस, त्रुटि-सुधार कोड और "क्वांटम प्रतिरोधी" समस्याओं पर अधिक ध्यान केंद्रित कर रही है।

— josh

1

कार्यात्मक प्रोग्रामिंग में, समस्याओं के लिए सबसे सामान्य और सुरुचिपूर्ण सार अक्सर प्रकृति में बीजगणितीय (या श्रेणी-सिद्धांत) होते हैं: मोनोइड्स, सेमरिंग्स , फंक्शनलर्स, मोनड्स, एफ-अल्जेब्रा, एफ-कोलजेब्रस, आदि। कुछ क्लासिक परिणाम (जैसे, योनेदा) lemma) कम्प्यूटेशनल सामग्री और उपयोगिता है।

इसके अलावा, होमोटोपी प्रकार का सिद्धांत है, जो एक बीजीय टोपोलॉजिकल सेटिंग में टाइप थ्योरी (सॉर्ट-इन) की व्याख्या करता है।

— xrq
स्रोत

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हाल ही में, हम पता लगाते हैं ( स्प्रिंगरलिंक पर हमारा पेपर देखें: लगातार आइटमसेट खनन दृष्टिकोणों की एक औपचारिक श्रृंखला-आधारित एकीकरण ) औपचारिक श्रृंखला और भारित ऑटोमेटा के माध्यम से पैटर्न खनन (डेटा खनन का एक लोकप्रिय उदाहरण) दृष्टिकोण का एक एकीकरण प्रयास। ये उपकरण monoids और सेमिनार संरचनाओं के बीच मैपिंग पर आधारित हैं।

— स्लीमेन ओलाद-नौई
स्रोत