"एक ग्राफ एक उत्पाद है" की जटिलता

25

यह प्रश्न शुद्ध जिज्ञासा से उत्पन्न होता है (यह एक स्ट्रिंग को अनशफल करने के बारे में सोचते हुए सामने आया , लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह वास्तव में संबंधित है) तो मुझे आशा है कि यह उपयुक्त है।

विभिन्न ग्राफ उत्पाद हैं, और मुझे उनमें से किसी में भी दिलचस्पी है। यह निर्धारित करने की जटिलता क्या है कि एक ग्राफ एक गैर-तुच्छ उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है या नहीं? (निश्चित रूप से कार्टेशियन उत्पाद के लिए, जहां एक शीर्ष के साथ ग्राफ है।) $K$ $K = K \square 1$ $1$

मैंने विकिपीडिया पर "फ़ैक्टर ग्राफ" और "ग्राफ़ फ़ैक्टराइजेशन" के पन्नों को देखा है, लेकिन दोनों ही संबंधित नहीं हैं। क्या इस समस्या को किसी अन्य नाम के तहत जाना जाता है?

cc.complexity-theory graph-algorithms

— मैक्स
स्रोत

20

पेपर की जाँच करें Wilfried, Imrich; Iztok, पीटरिन, रैखिक समय में कार्टेसियन उत्पादों को पहचानना । असतत गणित।, 307, 3-5, पृष्ठ (ओं): 472--483, 2007। मुझे लगता है कि इमरिक के पास अन्य उत्पादों के लिए अधिक कागजात हैं।

— कोई व्यक्ति
स्रोत

1

मुझे लगता है कि यह जवाब मेरी तुलना में बेहतर है।

— योटा ओटाची

15

कई ग्राफ उत्पादों को बहुपद समय में पहचाना जा सकता है। हमेशा की तरह कार्टेशियन उत्पाद सबसे आसान है, और कार्टेशियन का मामला कई अन्य उत्पादों के लिए एल्गोरिदम का आधार भी है। लेक्सिकोग्राफिक उत्पाद (रचना) की मान्यता ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के बराबर है।

विस्तृत रूप में:

Let परिमित सरल रेखांकन का वर्ग हो सकता है , और परिमित सरल रेखांकन का वर्ग हो सकता है जिसमें स्व-लूप हो सकते हैं। (स्पष्ट रूप से ।) $\Gamma$ $\Gamma_0$ $\Gamma \subset \Gamma_0$

यह तय करना कि कनेक्टेड इनपुट ग्राफ में कारक हैं, जो और मजबूत उत्पादों के लिए बहुपदीय समय में किया जा सकता है, और के न होने पर प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए भी । यह तय करना कि में कारक हैं , कार्टेशियन उत्पाद के लिए बहुपद में है, लेकिन लेक्सिकोग्राफिक उत्पाद के लिए बहुपद में होने की संभावना नहीं है। मुझे यह तय करने की स्थिति नहीं पता है कि प्रत्यक्ष और मजबूत उत्पादों के लिए में कारक हैं या नहीं। $G$ $\Gamma_0$ $G$ $G$ $\Gamma$ $G$ $\Gamma$

Imrich और Klavžar से प्रासंगिक परिणाम:

प्रमेय 4.10। एक जुड़ा ग्राफ के लिए पर कोने और किनारों से एक में कार्तीय उत्पाद के संबंध में प्रधानमंत्री गुणन पा सकते का उपयोग कर समय अंतरिक्ष। $G$ $n$ $m$ $O(mn)$ $O(m)$

प्रमेय 5.43। जुड़ा हुआ है, में nonbipartite रेखांकन के प्रधानमंत्री कारक अपघटन मजबूत उत्पाद के संबंध में जुड़े सरल रेखांकन प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए और के लिए सम्मान के साथ बहुपद समय में निर्धारित किया जा सकता। $\Gamma_0$

कार्टेशियन उत्पाद के लिए परिणाम तब सुधार हुआ है समय और अध्याय 7 में स्थान। जैसा कि अन्य उत्तरों में बताया गया है, यह तब से रैखिक समय में सुधार हुआ है। $O(m\log n)$ $O(m)$

लेक्सिकोग्राफिक उत्पाद के लिए:

प्रमेय 6.20। निर्णय समस्या यह है कि क्या किसी दिए गए कनेक्टेड ग्राफ को lexicographic उत्पाद के संबंध में प्रधान है, कम से कम उतना ही मुश्किल है जितना कि ग्राफ़िकल आइसोमॉरिज्म समस्या।

प्रमेय 6.21। निर्णय समस्या यह है कि क्या दिए गए जुड़े ग्राफ लेक्सिकोग्राफ़िक उत्पाद के संबंध में प्रमुख है, बहुपद संख्या के ( ) ग्राफ समरूपता समस्याओं के समाधान से अधिक कठिन नहीं है, जिनमें से प्रत्येक का आकार भी में बहुपद है । $n$ $n$

तो यह तय करना कि क्या लेक्सिकोग्राफ़िक उत्पाद के संबंध में एक ग्राफ प्रमुख है, ट्यूरिंग कटौती के संबंध में GRAPH ISOMORPHISM के बराबर है।

स्व-छोरों के बिना प्रत्यक्ष और मजबूत उत्पाद वाले कारकों का मामला उन संदर्भों से अनुपस्थित लगता है जिन्हें मैंने देखा है। मैं किसी भी संकेत पत्र की सराहना करता हूं जो इस मामले पर चर्चा करते हैं, या संकेत देते हैं कि यह क्यों नहीं है।

Wilfried Imrich और Sandi Klavžar, उत्पाद रेखांकन: संरचना और मान्यता । विले, 2000. आईएसबीएन 0-471-37039-8।

— आंद्रस सलामन
स्रोत

मैंने @ किसी के उत्तर को स्वीकार कर लिया, लेकिन अतिरिक्त जानकारी के लिए धन्यवाद।

— अधिकतम

12

कार्टेशियन उत्पाद के संबंध में जुड़े रेखांकन के प्रमुख कारकों को निर्धारित करने के लिए एक रेखीय-समय एल्गोरिथ्म है। इमरिक और पीटरिन द्वारा पेपर देखें ।

— योटा ओटाची
स्रोत