न्यूनतम ताररहित विषम-चक्र ग्राफ पूरा करना: क्या यह एनपी-हार्ड है?

Question

निम्नलिखित दिलचस्प समस्या हाल ही में मेरे शोध में सामने आई:

स्थापना: ग्राफ ।$G(V, E)$

समाधान: एक chordless अजीब-चक्र पूरा होने के एक सुपरसेट के रूप में परिभाषित बढ़त सेट के ताकि पूरा ग्राफ की संपत्ति है कि में हर बढ़त है एक chordless अजीब चक्र में निहित है। ई जी $E'$$E$$G'(V, E')$$G'$

MEASURE: पूर्णता का आकार, अर्थात।$|E' - E|$

अब तक, हम यह साबित करने में सक्षम थे कि इस समस्या का एक संशोधित संस्करण एनपी-पूर्ण है, जहां यह आवश्यक है कि " में हर बढ़त" एक राग रहित चक्र में निहित है "हमें मजबूत संपत्ति की आवश्यकता है जो" हर किनारे निहित है एक त्रिकोण में (लंबाई 3 का चक्र) "। (ध्यान दें कि यह MINIMUM CHORDAL GRAPH COMPLETION समस्या के समतुल्य नहीं है ।)$G'$

पूर्व को आसानी से बाद के सामान्यीकरण के रूप में देखा जाता है, लेकिन यह साबित करने के लिए मेरे सभी प्रयास विफल रहे। क्या कोई सूचक / संदर्भ / आदि के साथ आ सकता है?

Comments

समस्या अत्यधिक सही ग्राफ़ से संबंधित लगती है जो एकदम सही हैं अगर वहाँ एक विषम (एंटी-) छेद है (कम से कम लंबाई 5 पर तार रहित विषम चक्र) [विकिपीडिया पर अधिक]। इसलिए सुझाव दें कि शायद आप सही ग्राफ़ पर एक प्रश्न के संदर्भ में प्रश्न को सुधारने का प्रयास करें।

— vzn

@vzn: मुझे यकीन नहीं है कि यह मजबूत प्रमेय यहां किसी भी मदद का हो सकता है।

— डोमटॉर्प

क्या हम पी में तय कर सकते हैं कि क्या जी का हर किनारा एक तार रहित विषम चक्र में निहित है? मुझे लगता है कि यह संभव है, लेकिन मैं नहीं देखता कि कैसे।

— डोमटॉर्प

खैर, अब हमें दो समस्याएं हैं। आसानी से, हम पी में एक निर्णय होगा यदि हम प्रत्येक किनारे के लिए तय कर सकते हैं कि क्या यह एक अराजक विषम चक्र में है। मैंने एक संदर्भ पाया , जिसमें कहा गया था कि "क्या एक ग्राफ में तीन से अधिक लंबाई का एक प्रेरित चक्र होता है, जो एक निर्धारित शीर्ष से होकर गुजरता है?" और "क्या एक ग्राफ़ में दो निर्धारित कोने के बीच एक प्रेरित विषम पथ है?" एनपी-पूर्ण हैं, लेकिन ये हमारे मामले को पूरी तरह से नहीं सुलझाते हैं। यह पता चल सकता है कि मूल समस्या एनपी में नहीं है, लेकिन फिर भी एनपी-हार्ड हो सकता है।

— राबड़ी

क्या आप इंगित कर सकते हैं कि आप अपने पेपर के किस भाग को ऊपर की समस्या को परिभाषित करते हैं और उस पेपर में जो आप कल्पना कर रहे हैं। , ("संशोधित संस्करण सिद्ध एनपी पूर्ण")

— vzn

Answer 1

हम साबित करते हैं कि समस्या अपने निर्णय रूप में भी एनपी-हार्ड है, '' 'क्या इनपुट ग्राफ पहले से ही एक अराजक-चक्र पूरा हो गया है?' 'निम्न समस्या से कम करके:$G$

समस्या पी : यह देखते हुए एक ग्राफ और एक बढ़त ई ∈ ई ( जी ) , वहाँ 3 के माध्यम से गुजर से लंबाई अधिक से अधिक का एक chordless अजीब चक्र है ई ?$G$$e\in E(G)$$e$

इस समस्या को एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है, जो '' किसी भी नोड से गुजरने वाले कॉर्डलेस का पता लगाने में कमी करता है '' आपकी टिप्पणी में दिए गए संदर्भ में दिया गया है, जिसे अनुच्छेद 3 में और क्यू बताकर अनुच्छेद 3 में दिया गया है। = 2 :$p=0$$q=2$

एक तरफ के रूप में, और p arbit 0 को मनमाने ढंग से निर्धारित पूर्णांक होने दें। निम्न समस्याओं एन पी-सम्पूर्ण कर रहे हैं: एक ग्राफ है जी एक शीर्ष निर्धारित के माध्यम से एक प्रेरित चक्र को शामिल यू , लंबाई के पी (आधुनिक क्ष )? ...$q>1$$p\ge 0$$G$$u$$p$$q$

(एक कार्प में कमी हो सकती है, लेकिन अगर हम एक कुक को अनुमति देते हैं, तो निम्न कमी पर विचार करें: दिए गए डिग्री डी नोड को आकार के पूर्ण सबग्राफ में उचित आउटगोइंग किनारों के साथ बदल दें। फिर पूर्ण ग्राफ़ में प्रत्येक किनारों के लिए हम क्वेरी कर सकते हैं। ओरेकल जो समस्या पी को हल करता है। ध्यान दें कि दिए गए नोड के माध्यम से गुजरने वाला एक तार रहित चक्र भी पूर्ण ग्राफ में किनारों में से एक के माध्यम से गुजरने वाले 3 से अधिक लंबाई के एक तार रहित विषम चक्र से मेल खाता है।)

अब मुख्य कमी के लिए। समस्या पी की एक उदाहरण को देखते हुए, पहले हम पता लगाते हैं कि क्या माध्यम से गुजरने वाले कोई त्रिकोण हैं ; यदि हां, तो ई के साथ एक त्रिकोण बनाने वाले प्रत्येक नोड को हटा दें । ध्यान दें कि ई के साथ एक त्रिकोण बनाने वाले नोड्स को हटाने से ई के माध्यम से गुजरने वाले किसी भी तार रहित विषम चक्र को नहीं हटाया जाएगा (कॉर्डिच द्वारा)।$e$$e$$e$$e$

अगला, प्रत्येक बढ़त के लिए के अलावा अन्य ई = ( यू , वी ) हम एक सहायक नोड जोड़ते v च और दो किनारों ( v च , यू ) और ( v च , वी ) । गौर करें कि नया ग्राफ जी ' निम्नलिखित संपत्ति है:$f$$e=(u,v)$$v_f$$(v_f,u)$$(v_f,v)$$G'$

3 से लंबाई अधिक से अधिक की एक chordless अजीब चक्र के माध्यम से गुजर है ई यदि और केवल यदि जी ' एक chordless अजीब-चक्र पूरा होने है।$G$$e$$G'$

केवल तभी दिशा के लिए, यह में किनारों के विभिन्न प्रकार पर विचार करके साबित किया जा सकता । ई के अलावा हर किनारा (उन नए जोड़े गए किनारों सहित) कम से कम एक त्रिकोण (एक जिसमें सहायक नोड होता है) में होगा; और ई में एक chordless अजीब चक्र में हो जाएगा जी ' के बाद से वहाँ एक chordless अजीब चक्र के माध्यम से गुजर रहा है ई में जी , और चक्र नोड को हटाने की प्रक्रिया के दौरान नहीं हटाया जाता है।$G'$$e$$e$$G′$$e$$G$

यदि दिशा के लिए, चूंकि ई के अलावा प्रत्येक किनारा कम से कम एक त्रिकोण में होना चाहिए, तो हमें केवल किनारे ई के बारे में चिंता करना होगा । एक chordless अजीब चक्र के माध्यम से गुजर नहीं है ई में जी ' ( जी ' एक chordless अजीब चक्र पूरा होने है)। चक्र के निर्माण से लंबाई 3 नहीं हो सकता है जी ' , और के बाद से चक्र किसी भी सहायक नोड्स (chordless संपत्ति के द्वारा) को शामिल नहीं कर सकते हैं, यह ग्राफ में होगा जी के साथ-साथ। इसलिए प्रमाण पूर्ण है।$e$$e$$e$$G'$$G'$$G'$$G$

Comments

मुझे किसी भी कटौती के बाद परेशानी है। पहली कटौती में, यदि दिए गए नोड v में डिग्री है, तो 5 कहिए, फिर कमी के बाद यह K_5 हो जाता है, और इस K_5 में एक विषम-लंबाई चक्र होता है, लेकिन यह v से युक्त सम-लंबाई चक्र के अनुरूप नहीं है। मुख्य कमी, मान लीजिए कि G = (V, E) जहां V = {1,2,3,4,5}, E = {12,23,34,45,15,35}, और e = 34 है। G की लंबाई 5 का चक्र है, जो e से होकर गुजरता है, लेकिन G 'में, धार 34 एक पुल है और किसी भी विषम चक्र से संबंधित नहीं है, अगर मैं आपकी कमी की परिभाषा को सही ढंग से समझता हूं।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: मैं आपकी बात देखता हूं। समस्या पी में हमें अजीब चक्र को लागू करना चाहिए। इसलिए किसी भी पूर्ण ग्राफ में कॉर्डलेस विषम-लंबाई चक्र नहीं होते हैं और माध्यम से गुजरने वाले किसी भी विषम-विषम लंबाई के चक्र के लिए , ई के माध्यम से गुजरने वाले त्रिकोण नहीं होते हैं जो चक्र पर किनारों का भी उपयोग करते हैं। मैं जवाब अपडेट कर दूंगा। $e$$e$

— Hsien-Chih चांग। '

@ सिएन-ChihChang張顯之: क्या मुख्य कमी के बारे में दूसरी बात के बारे में, कि अगर हम लापरवाही "प्रत्येक नोड कि रूपों एक त्रिकोण के साथ हटाना हम से मान्य chordless विषम चक्र को हटाने के खत्म हो सकता है" जी ' ? और एक और सवाल: मूल संदर्भ "chordless पता लगाने के लिए एनपी पूर्णता साबित होता है अजीब किसी दिए गए नोड के माध्यम से गुजर -cycles", लेकिन आप "का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता chordless भी रूप -cycles"। क्या यह ऐसा मामला है जिसे आपने चुपचाप अपने लिए साबित कर दिया है कि पूर्व का तात्पर्य उत्तरार्द्ध से है (जो काफी प्रशंसनीय लगता है)? $e$$G'$

— गबोर रिटवारी

@ Hsien-ChihChang anyway since: वैसे भी: चूंकि इनाम जल्द ही समाप्त हो जाता है और मैं अपने कंप्यूटर से दूर हो जाता हूं, इसलिए मैं आपको अभी कीमत के साथ पुरस्कार देता हूं। आपके उत्तर के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद, इसने वास्तव में नए तरीकों से समस्या के बारे में सोचने में मेरी मदद की। यदि आप बाद में वापस आ सकते हैं और उपरोक्त मुद्दों को साफ कर सकते हैं, तो मैं सबसे आभारी रहूंगा।

— गाबोर रिटवारी

@ विस्तृत: प्रश्न 1 के लिए, साथ एक त्रिभुज बनाने वाले नोड्स को हटाने से जी ′ (कॉर्डलेस संपत्ति द्वारा) में ई के माध्यम से गुजरने वाले किसी भी तार रहित चक्र को नहीं हटाया जाएगा । यह कुछ अन्य chordless चक्र को नष्ट कर सकते हैं, लेकिन जब से हम केवल आवश्यकता है जी ' chordless अजीब-चक्र पूरा होने के, हर बढ़त के अलावा अन्य होने के लिए ई (उन नए जोड़े किनारों सहित) एक ही है कि सहायक नोड में कम से कम में त्रिकोण पर होगा ( ); और ई में एक chordless अजीब चक्र में हो जाएगा जी ' iff वहाँ एक chordless अजीब चक्र के माध्यम से गुजर रहा है ई में जी । $e$$e$$G'$$G'$$e$$e$$G'$$e$$G$

— Hsien-Chih चांग 張顯 ien