प्लेनर ग्राफ -फ्री हैं। इस तरह के रेखांकन को त्रि-जुड़े घटकों में विघटित किया जा सकता है, जिन्हें प्लानर या K 5 घटक के रूप में जाना जाता है ।
क्या जीनस के ग्राफ़ के ऐसे "अच्छा" अपघटन है?
ग्राफ नाबालिगों पर अपने मौलिक काम में, रॉबर्टसन और सीमोर ने दिखाया कि हर छोटे-से-छोटे ग्राफ को "लगभग प्लानर" ग्राफ़ के "क्लिक-सम" में विघटित किया जा सकता है। यह, निश्चित रूप से, बाध्य-जीनस ग्राफ पर भी लागू होता है। मैं अपने संरचनात्मक गुणों को बेहतर ढंग से समझने के लिए जीनस एक के ग्राफ के लिए विशिष्ट डिकम्पोजिशन की तलाश कर रहा हूं।
: यह उपयोगी हो सकता arxiv.org/abs/math/0411488
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Jeffε
ग्राफ परिवारों के लिए एक मजबूत डिकम्पोजिबिलिटी परिणाम है जो एक एकल-क्रॉसिंग ग्राफ को एक मामूली (यानी एक ग्राफ जो एक बिंदु के साथ विमान में खींचा जा सकता है जहां किनारों को पार करता है) को बाहर करता है। इस तरह के रेखांकन को प्लानर ग्राफ और निरंतर-त्रिभुज ग्राफ़ के समूह में विभाजित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए "नाबालिग के रूप में एकल-क्रॉसिंग ग्राफ़ को छोड़कर ग्राफ़ के वर्गों के लिए स्वीकृति एल्गोरिदम")। यदि टोरस के लिए निर्धारित बाधा में एकल-क्रॉसिंग ग्राफ है तो यह आपकी मदद करेगा। (मुझे यकीन नहीं है कि वहाँ है - और वहाँ एक साधारण कारण हो सकता है वहाँ नहीं हो सकता है।)
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बार्ट जानसन
एक सरल कारण है कि टॉरॉयडिटी के लिए एक-क्रॉसिंग बाधा नहीं हो सकती है: हर एक-क्रॉसिंग ग्राफ को एक छोटे से हैंडल द्वारा क्रॉसिंग को बदलकर, टोरस पर खींचा जा सकता है।
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डेविड एपपस्टीन