G (n, p) में एक यादृच्छिक ग्राफ के त्रिभुज का विचरण कितना बड़ा है?

Question

मैं यह जानने की कोशिश कर रहा हूं कि वास्तव में कितने करीब हैं और , जब और एक निरंतरता है जो एन (इसलिए पर निर्भर नहीं है )। मेरा अनुमान है कि कोड़ा है, लेकिन मैं इसे साबित नहीं कर पाया हूं।ई [ टी डब्ल्यू ( जी ) ] जी ∈ जी ( एन , पी = ग / n ) ग > 1 ई [ टी डब्ल्यू ( जी ) ] = Θ ( n ) टी डब्ल्यू ( जी ) ≤ ई [ टी w ( G ) ] + o ( n $tw(G)$$E[tw(G)]$$G \in G(n,p=c/n)$$c>1$$E[tw(G)] = \Theta(n)$$tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)$

Comments

प्रश्न के लिए प्रेरणा क्या है? (अर्थात इस समस्या में दिलचस्पी क्यों है?)

— केव

ठीक है ... मैं सोच रहा था कि कुछ किनारों का ज्ञान अनुमानित ट्रेविथ को कैसे प्रभावित कर सकता है (प्रत्येक किनारे के अस्तित्व का ज्ञान ट्रेविद को सबसे अधिक प्रभावित कर सकता है), और इसने मुझे इस सवाल का नेतृत्व किया (जो कि बहुत अधिक है दिलचस्प)

— कोस्तस

विशेष रूप से, इसका एक बड़े जुड़े घटक यादृच्छिक एर्डोस-रेनी ग्राफ़ के चरण में सैट (और क्वांटम-सैट) के यादृच्छिक उदाहरणों के लिए संतोषजनक शासन में मॉडल-काउंटिंग के ऊपरी सीमा के लिए निहितार्थ हैं। इस हद तक कि हम सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के एक विषय के रूप में यादृच्छिक सैट की परवाह करते हैं, और #SAT और इसी तरह की समस्याओं की जटिलता को रोकने के लिए ट्रेविद को शामिल करने के लिए भी संपर्क करते हैं, यह प्रश्न अच्छी तरह से प्रेरित है।

— निएल डी बेउड्राप

Answer 1

आपको इसकी उम्मीद के आसपास बीस (जी (एन, पी)) की एकाग्रता को साबित करने के लिए विचरण की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। यदि दो ग्राफ G 'और G एक वर्टेक्स से भिन्न होते हैं तो उनका ट्रेविथ सबसे अधिक भिन्न होता है। आप मानक विधि का उपयोग कर सकते हैं, हॉफडिंग-अज़ुमा असमानता को उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, शीर्ष एक्सपोजर मार्टिंगेल पर लागू किया गया है,

$\mathbb{P}( | tw(G(n,p)) - \mathbb{E} tw(G(n,p))| > t) \le 3 e^{- t^2/(2 n)}$ ,

इसलिए, उपरोक्त संभावना 0 पर जाती है, यदि, ।$t = n^{0.51}$

विधि को पहली बार के रंगीन संख्या के लिए एकाग्रता साबित करने के लिए लागू किया गया था । बी। बोलोबेस, रैंडम रेखांकन देखें। स्प्रिंगर न्यू यॉर्क, 1998, पृष्ठ 298।$G(n,p)$