ट्रान्सेंडैंटल संख्याओं की गिरावट

Question

मेरे पास एक प्रश्न है, जिसका उत्तर शायद अच्छी तरह से ज्ञात है, लेकिन मुझे खोज के बाद कुछ भी सार्थक नहीं मिल सकता है, इसलिए मैं आपकी मदद की सराहना करूंगा।

मेरा प्रश्न यह है कि क्या यह ज्ञात है कि यह तय करना कि कोई संख्या पारलौकिक है या नहीं, यह अनिर्णायक है।

संभवतः, एक इनपुट के रूप में मानता है, एक प्रोग्राम कहता है जो संख्या की i ^ th बिट लौटाता है। किसी भी संकेत के लिए अग्रिम धन्यवाद।

Comments

यदि किसी दिए गए बिट की गणना करने वाले कार्यक्रमों द्वारा वास्तविक का प्रतिनिधित्व किया जाता है, या तर्कसंगत सन्निकटन की गणना करने वाले कार्यक्रमों, या किसी भी इसी तरह के कार्यक्रमों का प्रतिनिधित्व किया जाता है, तो वास्तविक के एकमात्र निर्णायक सेट तुच्छ होते हैं (यानी, जिनमें सभी या तो कम्प्यूटेशनल रियल होते हैं या कोई कम्प्यूटेशनल रियल नहीं होते हैं) , राइस प्रमेय द्वारा।

— एमिल जेकाबेक

उस निहितार्थ को कैसे दिखाया गया है? $\:$

Answer 1

क्रिस्टोफ़र के समाधान का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि, मानों का प्रतिनिधित्व किया जाता है ताकि हम वास्तविक के अनुक्रमों की सीमा की गणना कर सकें जो कम्प्यूटेशनल रूप से कॉची हैं। एक क्रम याद है$(a_n)_n$ यदि कम्प्यूटेशनल मानचित्र है तो कम्प्यूटेशनल रूप से कॉची है $f$ ऐसा है कि, किसी भी दिया $k$ हमारे पास है $|a_{m} - a_{n}| < 2^{-k}$ सबके लिए $m, n \geq f(k)$। वास्तविक का मानक निरूपण उस तरह का होता है, उदाहरण के लिए, जहां एक वास्तविक का प्रतिनिधित्व एक मशीन द्वारा किया जाता है जो मनमाने ढंग से अच्छे तर्कसंगत सन्निकटन की गणना करता है। (हम कंप्यूटिंग अंकों के संदर्भ में भी बोल सकते हैं, लेकिन फिर हमें नकारात्मक अंकों की अनुमति देनी होगी। यह वास्तविक रूप से कम्प्यूटेशनल सिद्धांत में एक प्रसिद्ध मुद्दा है।)

प्रमेय: मान लीजिए$S \subseteq \mathbb{R}$एक उपसमुच्चय है कि एक संगणनीय अनुक्रम मौजूद है$(a_n)_n$ जो कि कौची और इसकी सीमा है $x = \lim_n a_n$ बाहर है । फिर प्रश्न "एक वास्तविक संख्या जो का एक तत्व है " अयोग्य है।$S$$x$$S$

सबूत। मान लीजिए कि निर्णायक थे। किसी भी ट्यूरिंग मशीन को देखते हुए , के अनुक्रम परिभाषित यह जाँचना आसान है कि कम्प्यूटेशनल रूप से कॉची है, इसलिए हम इसकी सीमा गणना कर सकते हैं । अब हमारे पास iff हाल्ट _ है , इसलिए हम Halting Problem को हल कर सकते हैं। QED।$S$$T$$b_n$

$$b_n = \begin{cases} a_n & \text{if $T$ has not halted in the first $n$ steps,}\\ a_m & \text{if $T$ has halted in step $m$ and $m \leq n$.} \end{cases}$$ $b_n$$y = \lim_n b_n$$y \in S$$T$

एक दोहरी प्रमेय है जिसमें हम मानते हैं कि अनुक्रम बाहर है लेकिन इसकी सीमा ।$S$$S$

सेट उदाहरण इन स्थितियों को संतुष्ट करते हैं: एक खुला अंतराल, एक बंद अंतराल, नकारात्मक संख्या, सिंगलटन , परिमेय संख्या, अपरिमेय संख्या, अपरिमेय संख्या, बीजगणितीय संख्या, आदि।$S$$\lbrace 0 \rbrace$

एक सेट जो प्रमेय की शर्तों को पूरा नहीं करता है, वह सेट है में परिमेय संख्याओं का एक गैर- संख्या द्वारा अनुवादित । एक्सरसाइज: डिसिडेबल है?$S = \lbrace q + \alpha \mid q \in \mathbb{Q}\rbrace$$\alpha$$S$

Comments

आपके जवाब के लिए धन्यवाद। सिर्फ एक स्पष्टीकरण, क्या प्रमेय कहता है कि यदि सेट S में S के बाहर कम से कम एक सीमा बिंदु है, तो यह तय करना कि क्या कोई तत्व x S अनिर्दिष्ट है? फिर, मैं उदाहरणों में बंद अंतराल के बारे में थोड़ा भ्रमित हूं।

— ipsofacto

बंद अंतराल दोहरे प्रमेय द्वारा पीछा करता है जिसमें आप बाहर एक अनुक्रम लेते हैं जिसकी सीमा । $S$$S$

— एंड्रेज बॉयर

इसका क्या मतलब है के लिए होने के लिए "बाहर computably" ( "के रूप में बाहर करने का विरोध किया ") ? $x$$S$$S\hspace{.01 in}$$\:$$\;\;$

वह एक टाइपो था। मैं इसे fidex, ध्यान देने योग्य के लिए धन्यवाद। अन्यथा, बाहर " कम्प्यूटेशनल रूप से कुछ हो सकता है" का अर्थ है " हर लिए" हम एक सकारात्मक परिमेय गणना कर सकते हैं जैसे कि ", अर्थात, स्टेटमेंट" "का एहसास होता है। लेकिन अगर आप मार्कोव सिद्धांत में विश्वास करते हैं, तो आप इस तरह के एक नक्शे सिर्फ इतना है कि जानते हुए भी द्वारा फिर से संगठित कर सकते हैं में नहीं है , इसलिए इस मामले में वहाँ "बाहर के बीच कोई अंतर नहीं है और" computably बाहर । "$x$$S$$y \in S$$q$$d(x,y) > q$$\forall y \in S . \exists q \in \mathbb{Q} . 0 < q < d(x,y)$$x$$S$$S$$S$

— एंड्रेज बॉयर

Answer 2

ट्यूरिंग मशीन को देखते हुए , Turing machine एक संख्या के रूप में परिभाषित करते हैं: इनपुट पर खाली इनपुट पर कदम के लिए चलाता । यदि रुका हुआ है, तो आउटपुट । अन्यथा बिट उत्पादन ।$M$$M'$$i$$M$$i$$M$$0$$i$$\pi$

Answer 3

ट्रान्सेंडेंटल का सेट में नहीं खुलता है (विशेष रूप से, यह में सघन और कोडन है । इसलिए यह अनिर्वचनीय है।$\mathbf R$$\mathbf R$

Comments

गणना योग्य वास्तविक संख्याओं का सेट में नहीं खुलता है (विशेष रूप से, यह ) में सघन और कोडन है , लेकिन यह निर्णायक है। $\mathbf{R}$$\mathbf{R}$$\:$

रिकी, यह सच नहीं है। एक वास्तविक संख्या के लिए एक ओरेकल को देखते हुए, आप यह निर्धारित नहीं कर सकते कि यह गणना योग्य है या नहीं।

— डेविड हैरिस

जो सेट मैंने दिया, वह एल्गोरिथम हमेशा के लिए "हां" का उत्तर देने के लिए निर्णायक है। आपका दूसरा वाक्य दिखाता है कि मैंने जो सेट दिया था वह टाइप-टू डिसीडेबल नहीं है। $\:$$\;\;$

@ रेकी डेमर: कंप्युटेबल रियल नंबरों का सेट दो अर्थों में असाध्य है: (1) एक मनमाना इंडेक्स _ इन द मैथबब , यह तय करें कि क्या ट्यूरिंग मशीन का इंडेक्स है - कंप्युटेबल रियल। (2) एक मनमाना जल्दी-से-परिवर्तित कॉची अनुक्रम दिया, यह निर्धारित करें कि क्या यह एक कम्प्यूटेशनल अनुक्रम है। इसमें कोई सामान्य ज्ञान नहीं है कि गणना योग्य वास्तविक संख्याओं का सेट निर्णायक है। $e \in \mathbb{N}$$e$

— कार्ल मम्मर्ट

@Carl: एक सूचकांक दिया करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है एक ट्यूरिंग मशीन है कि एक गणनीय वास्तविक गणना के सूचकांक है कि यह तय करें कि एक ट्यूरिंग मशीन के सूचकांक कि computes है एक संगणनीय वास्तविक। यह वह जगह है ही क्योंकि, reals के सेट में से decidability की दिलचस्प भावना आपके (1) वास्तव में कोई गणनीय reals के साथ सेट द्वारा संतुष्ट हो जाता है और अपने (2) द्वारा वास्तव में संतुष्ट हो जाता है और । $\: e\in \mathbb{N} \:$$e$$\hspace{.1 in}$$\;\;$$\hspace{.2 in}$$\hspace{2.2 in}$$\: \{\} \:$$\mathbf{R}$$\;\;\;$