एल्गोरिथम वेक्टर समस्या

Question

मुझे फ़ील्ड GF (2) में वैक्टर से संबंधित एक बीजगणितीय समस्या है। चलो be (0,1) आयाम n के डॉक्टर , और m = n O ( 1 ) । एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म का पता लगाएं जो एक (0,1) -वेटर u को एक ही आयाम के ऐसे पाता है जैसे कि u किसी भी ( log n ) O ( 1 ) वैक्टर के बीच v 1 , v 2 , … , v का योग नहीं है$v_1, v_2, \ldots, v_m$$n$$m=n^{O(1)}$$u$$u$$(\log n)^{O(1)}$ । वैक्टर का जोड़ जीएफ (2) के ऊपर है, जिसमें दो तत्व 0 और 1 ( 0 + 1 = 0 + 1 = 1 , और 0 + 0 = 1 + 1 = 0 ) हैं।$v_1,v_2, \ldots, v_m$$0+1=0+1=1$$0+0=1+1=0$

एक साधारण गिनती तर्क द्वारा ऐसे वेक्टर यू के अस्तित्व को देखना आसान है। क्या हम एक बहुपद में पा सकते हैं ? यह घातीय समय में यू को खोजने के लिए तुच्छ है । मैं पहले सही समाधान के लिए $ 200 का चेक अवार्ड भेजूंगा।$u$$u$

Comments

यह अस्पष्ट रूप से सबसेट समस्‍या समस्‍या से संबंधित है जो कि एनपी पूर्ण है। हालाँकि जो XOR के बजाय पूर्ण पूर्णांक राशि का उपयोग करता है।

— vzn

अजीब तरह से मैं हाल ही में एक समान समस्या को तैयार करने और देखने की कोशिश कर रहा हूं। बूलियन फंक्शन कॉम्प्लेक्सिटी पर stasys jukna बुक के sec13.5 को आजमाएं। ऐसा लगता है कि आपके q को उस अध्याय में रैखिक सर्किट के रूप में तैयार किया जा सकता है।

— vzn

कैसे के बारे में सुपर पाली एल्गोरिदम, यानी, एम ^ लॉग (एन)?

— दिमित्रिस

@ नील डी ब्यूड्रैप: लेकिन आपके द्वारा जांचे जाने वाले XOR की संख्या सुपर-पॉली (यानी मोटे तौर पर _ ) चुनें, पाली नहीं। यह एक समस्या नहीं है? ${{m}\choose{\log(n)}}$

— दिमित्रिस

Vzn की टिप्पणी का विस्तार करने के लिए: ऐसा प्रतीत होता है कि लगभग कोई भी वेक्टर आपकी आवश्यकताओं को संतुष्ट करता है, उसी गिनती के तर्क से। मैं कल्पना करता हूं कि आप यह भी एक प्रमाण चाहेंगे कि एक (शायद बेतरतीब ढंग से उत्पन्न) वेक्टर वेक्टर के पॉलीग्लॉ ( एन ) द्वारा फैलाए गए किसी भी उप-वर्ग में निहित नहीं है : इसलिए आपका प्रश्न यह दिखाने के लिए समान है कि उम्मीदवार का निर्धारण करने की समस्या है या नहीं वेक्टर यू नहीं है कुछ आयाम च (द्वारा उत्पन्न एक उपस्पेस से संबंधित n ) ∈ polylog ( एन वैक्टर की) में है एनपी । $\mathbf v_j$

— निएल डे बेउड्रैप

Answer 1

एक टाइपो लगता है; मेरा मानना ​​है कि आप खोजने का मतलब है जो वैक्टर के बीच (not ) का नहीं है ।$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,\dots, v_m$$n$

यदि आपके लिए कोई स्थिर काम करता है तो यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है । यदि आप vectors से कम राशि के sums के लिए समझौता कर सकते हैं तो शायद कुछ किया जाना है। लेकिन अगर आप चाहते हैं कि यह मात्रा , तो मुझे लगता है कि यह काफी कठिन है (मैं इस समस्या पर लंबे समय से काम कर रहा हूं)।$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$(\log m)^{1+\delta}$

फिर भी आपको यह जानने में रुचि हो सकती है कि यह कुछ मापदंडों के लिए रिमोट प्वाइंट प्रॉब्लम ऑफ़ एलोन, पाणिग्रही और येखानिन ("नियततम कोडवर्ड समस्या के लिए निर्धारणात्मक एल्गोरिदम") का एक उदाहरण है। बता दें कि और एक रेखीय कोड के समता चेक मैट्रिक्स के कॉलम हैं, जो कि आयाम के आयाम (यदि इस मैट्रिक्स में पूर्ण रैंक नहीं है) समस्या तुच्छ होगी)। तो आपकी समस्या को पाने के लिए बराबर है वह यह है कि -far कोड से। मापदंडों की यह सेटिंग, जहां आयाम मीटर के बहुत करीब है, कागज में अध्ययन नहीं किया गया है। हालाँकि, वे केवल दूरस्थता प्राप्त कर सकते हैं$m > n$$v_1,\dots,v_m$$\{0,1\}^m$$d = m - n$$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$\log m$कुछ स्थिर लिए तक का आयाम । वास्तव में, मुझे नहीं लगता है कि हम किसी भी बहुपद-आकार के प्रमाण पत्र के बारे में जानते हैं जो हमें यह साबित करने की अनुमति देता है कि कुछ वेक्टर आयाम के -far से अधिक हैं , अकेले खोजने दें यह।$d = cm$$c$$\omega(\log m)$$\Omega(m)$

एक और संबंध गलती-बाउंड मॉडल में सीखने की समानता के साथ है। यदि कोई कुशलता से सीख सकता है -परिटीज़ ( पर परिभाषित गलत तरीके से बंधी हुई से कम है , तो कोई पहले मनमाना मान सेट कर सकता है बिट्स और `` एक गलती 'को' पिछले बिट पर इसे शिक्षार्थी द्वारा अनुमानित विपरीत मान पर सेट करके। यह हालांकि ज्यादा मजबूत लगता है।$(\log n)^{O(1)}$${0,1}^m$$n$$n - 1$$u$

समस्या भी कुछ कटौती से EXP को अलग करने से अलग है स्पार्स सेट।

Comments

टाइपो को इंगित करने के लिए धन्यवाद। अंतिम "v_n" "v_m" होना चाहिए। आशा है कोई इसे ठीक करेगा। आपके उत्तर में उपयोगी जानकारी है। +1

— बिन फू