ग्राफ़ की रंग संबंधी समस्याएं, पहले से ही, अधिकांश लोगों के लिए काफी कठिन हैं । फिर भी, मैं मुश्किल होने जा रहा हूं और हाइपरग्राफ रंग के बारे में एक समस्या पूछूंगा।
सवाल।
के-यूनिफॉर्म हाइपरग्राफ के लिए लगभग-इष्टतम किनारे-रंग खोजने के लिए कौन से कुशल एल्गोरिदम हैं?
विवरण ---
एक के-यूनिफॉर्म हाइपरग्राफ वह है जिसमें प्रत्येक किनारे में ठीक के कोरी होते हैं; साधारण ग्राफ का सामान्य मामला k = 2 है। अधिक सटीक रूप से, मुझे लेबल किए गए के-यूनिफॉर्म हाइपरग्राफ में दिलचस्पी है , जिसमें दो किनारों पर वास्तव में एक ही शीर्ष-सेट हो सकता है; लेकिन मैं k- नियमित रूप से हाइपरग्राफ पर कुछ के लिए व्यवस्थित करूंगा जिसमें कोई भी for 1 कोने से अधिक किनारों पर प्रतिच्छेद न हो।
हाइपरग्राफ का एक किनारे-रंग एक है जिसमें एक ही रंग के किनारों को अंतर नहीं किया जाता है, जैसा कि रेखांकन के मामले में है। रंगीन सूचकांक ('(H) आवश्यक रंगों की न्यूनतम संख्या है, हमेशा की तरह।
मैं नियतात्मक या यादृच्छिक बहुपद समय एल्गोरिदम पर परिणाम चाहूंगा।
मैं सबसे अच्छा ज्ञात सन्निकटन-कारक / जो कुछ भी कुशलता से पाया जा सकता है, के बीच योगात्मक-अंतर की तलाश कर रहा हूं, और वास्तविक रंगीन सूचकांक --- '(H) --- या उस मामले के लिए, मापदंडों के संदर्भ में सबसे अच्छा कुशलता-प्राप्य परिणाम जैसे कि अधिकतम शीर्ष डिग्री Δ (H), हाइपरग्राफ का आकार, आदि।
संपादित करें: सुरेश की हाइपरग्राफ दोहरी के बारे में टिप्पणी से संकेत मिलता है, मुझे ध्यान देना चाहिए कि यह समस्या एक के-नियमित हाइपरग्राफ के मजबूत वर्टेक्स रंग को खोजने की समस्या के बराबर है : अर्थात्, जहां प्रत्येक शीर्ष के अलग-अलग किनारों से संबंधित है, लेकिन किनारों अब वर्टिकल की संख्या भिन्न हो सकती है], और हम एक वर्टेक्स कलरिंग चाहते हैं जैसे कि किसी भी दो आसन्न वर्टिकल में अलग-अलग रंग हों। इस सुधार का भी कोई स्पष्ट समाधान नहीं दिखता है।
टिप्पणियों
ग्राफ्स के मामले में, Vizing के प्रमेय न केवल यह गारंटी देते हैं कि ग्राफ G के लिए धार- वर्णक संख्या या तो or (G) या Δ (G) +1 है, इसके मानक प्रमाण भी Δ (G) खोजने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम देते हैं। ) + 1-एज-रंग। यह परिणाम मेरे लिए काफी अच्छा होगा यदि मुझे केस k = 2 में दिलचस्पी थी; हालाँकि, मैं विशेष रूप से k> 2 मनमाने ढंग से दिलचस्पी ले रहा हूँ।
हाइपरग्राफ-एज-कलरिंग पर सीमा के बारे में कोई भी ज्ञात परिणाम प्रतीत नहीं होता है, जब तक कि आप अधिकांश टी कोने में प्रत्येक किनारे को जोड़ने जैसे प्रतिबंध नहीं जोड़ते हैं। लेकिन मुझे खुद I '(H) पर सीमा की आवश्यकता नहीं है; बस एक एल्गोरिथ्म जो एक "अच्छा पर्याप्त" किनारे-रंग मिलेगा। [मैं भी अपने हाइपरग्राफ पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाना चाहता, के-यूनिफ़ॉर्म होने के अलावा, और संभवत: कुछ शीर्ष on ((1) के लिए , (H) (f (k) जैसे अधिकतम वर्टेक्स-डिग्री पर सीमाएं ।]
[ परिशिष्ट मैंने अब MathOverlow पर संबंधित प्रश्न को रंगीन संख्या, रचनात्मक या अन्यथा पर सीमा के बारे में पूछा है ।]