सबसे सरल गैर-कॉन्ट्रोवर्शियल 2-स्टेट यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन क्या है?

Question

मैं कार्ड गेम के नियमों में एक साधारण ट्यूरिंग मशीन को एनकोड करना चाहता हूं। ट्यूरिंग पूर्णता साबित करने के लिए मैं इसे एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन बनाना चाहता हूं।

अब तक मैंने एक गेम स्टेट बनाया है जो एलेक्स स्मिथ के 2-स्टेट, 3-सिंबल ट्यूरिंग मशीन को एनकोड करता है । हालाँकि, ऐसा लगता है (विकिपीडिया पर आधारित) कि वहाँ कुछ विवाद है कि क्या (2, 3) मशीन वास्तव में सार्वभौमिक है।

हेराफेरी के लिए, मैं "गैर-विवादास्पद" UTM की सुविधा के लिए अपना प्रमाण चाहूंगा। तो मेरे सवाल हैं:

1. क्या (2,3) मशीन को आमतौर पर सार्वभौमिक, गैर-सार्वभौमिक या विवादास्पद माना जाता है? मुझे नहीं पता कि इसका जवाब खोजने के लिए देखने के लिए सम्मानित स्थान कहाँ होंगे।

2. यदि (2,3) मशीन व्यापक रूप से सार्वभौमिक के रूप में स्वीकार नहीं की जाती है, तो सबसे छोटा N ऐसा क्या है कि a (2, N) मशीन गैर-विवादास्पद रूप से सार्वभौमिक है?

जोड़ने के लिए संपादित: उल्लिखित मशीनों के लिए अनंत टेप के लिए किसी भी आवश्यकता को जानना भी उपयोगी होगा, यदि आप उन्हें जानते हैं। ऐसा लगता है कि (2,3) मशीन को नॉनपेरियोडिक टेप की एक प्रारंभिक अवस्था की आवश्यकता होती है, जो कार्ड गेम के नियमों के भीतर अनुकरण करना थोड़ा मुश्किल होगा।

Comments

BTW, मैं नहीं बता सकता कि क्या ट्यूरिंग मशीन के सवाल यहां या MathOverflow पर बेहतर पोस्ट किए जाएंगे। मैं यहाँ पहली कोशिश कर रहा हूँ क्योंकि cs में "ट्यूरिंग-मशीन" टैग है और MO नहीं है। मैं पॉलिसी के अनुसार सिमुल-क्रॉसपोस्ट नहीं कर रहा हूं, लेकिन मैं इस सवाल के लिए खुश हूं कि अगर यह इसके लिए एक बेहतर जगह होगी तो माइग्रेट हो जाएगा।

— एलेक्सा

मुझे लगता है कि यह इस सवाल के लिए एक उचित जगह है।

— सुरेश वेंकट

शीर्षक में "सार्वभौमिक" जोड़ा गया। (किसी भी प्रतीक को पढ़ने पर या तो राज्य से सबसे सरल 2-स्टेट ट्यूरिंग मशीन रुकती है।)

— जेफε

पीएस yrs पहले कोई फायदा नहीं हुआ सेलुलर ऑटोमेटा में सार्वभौमिकता ट्यूरिंग की subj पर एक सर्वेक्षण के लिए खोज की। ऐसा लगता है कि इसे साहित्य में ज्यादा एकीकृत नहीं किया गया है। इस पीटी पर "लोककथाओं" में अवधारणा काफी व्यापक है, लेकिन औपचारिक मानहानि / प्रमाण / सिद्धांत में बहुत अधिक आधारभूत नहीं है। वुल्फराम ने क्षेत्र में बहुत कुछ किया है, लेकिन जैसा कि कई ने कहा है कि उनकी शैली अधिक प्रयोगात्मक है।

— vzn

हे। सह-कार्यकर्ता Slack पर पेपर ( arxiv.org/abs/1904.09828 ) डालता है और मुझे ndd-snipes, I google "2,18 यूनिवर्सल टर्निंग मशीन", और यहाँ हम हैं। बधाई हो!

— सियान

Answer 1

पिछले उत्तरों में काम का हवाला देने के बाद से कुछ नए परिणाम आए हैं। यह सर्वेक्षण कला की स्थिति का वर्णन करता है (चित्र 1 देखें)। सबसे छोटी ज्ञात सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन का आकार मॉडल के विवरण पर निर्भर करता है और यहां दो परिणाम दिए गए हैं जो इस तथ्य के लिए प्रासंगिक हैं:

• एक 2-राज्य, 18-प्रतीक मानक सार्वभौमिक मशीन (Rogozhin 1996 है। TCS, 168 (2): 215-240)। यहां हमारे पास एक ही टेप के एक या दोनों दिशाओं में रिक्त प्रतीक की सामान्य धारणा है।
• एक 2-राज्य, 4-प्रतीक कमजोर सार्वभौमिक मशीन (नियरी, वुड्स 2009 है। एफसीटी। स्प्रिंगर एलएनसीएस 5699: 262-273)। यहां हमारे पास एक एकल टेप है जिसमें परिमित इनपुट है, और एक निरंतर (इनपुट से स्वतंत्र) शब्द को असीम रूप से दाईं ओर दोहराया जाता है, जिसके साथ एक और निरंतर शब्द बाईं ओर असीम रूप से दोहराया जाता है। यह डेविड एप्पस्टीन द्वारा उल्लिखित कमजोर सार्वभौमिक मशीन में सुधार करता है।$r$$l$

ऐसा लगता है कि (2,18) आपके लिए सबसे उपयोगी है।

ध्यान दें कि अब यह ज्ञात है कि सभी छोटी सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनें बहुपद समय में चलती हैं। इसका मतलब है कि उनके भविष्यवाणी समस्या (एक मशीन दी , इनपुट और समयबद्ध एकल में, करता स्वीकार समय के भीतर ?) पी पूरा हो गया है। यदि आप एक (1-खिलाड़ी) गेम बनाने की कोशिश कर रहे हैं, तो यह उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए यह दिखाना कि एनपी-एक प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन (कार्ड का हाथ) खोजना मुश्किल है जो टी चालों के भीतर एक जीत की ओर जाता है। इन जटिलता समस्याओं के लिए हम केवल टेप के एक सीमित हिस्से की परवाह करते हैं, जो (बेहद छोटी) कमजोर सार्वभौमिक मशीनों को बहुत उपयोगी बनाता है।$M$$w$$t$$M$$w$$t$

यह आंकड़ा कई प्रकार की ट्यूरिंग मशीन मॉडल (नियरी, वुड्स एसओएफएसईएम 2012 से लिया गया) के लिए सबसे छोटी ज्ञात सार्वभौमिक मशीनों को दर्शाता है, संदर्भ यहां देखे जा सकते हैं ।

Answer 2

यह आपके प्रश्न का वास्तविक उत्तर नहीं है (मैं (२,३) मशीन की बहस के बारे में ज्यादा नहीं जानता); लेकिन मैं आपको सुझाव देता हूं कि पेपर " स्मॉल ट्यूरिंग मशीन और सामान्यीकृत व्यस्त बीवर प्रतियोगिता "। मैंने जल्दी से इसे कुछ समय पहले पढ़ा था, और इसमें 4 प्रकार के छोटे टीएम के बीच सीमा रेखा के साथ एक अच्छा ग्राफ है:

• डिसाइडेबल
• Collatz जैसी समस्या खोलें
• $3x + 1$ अनुकरण
• सार्वभौमिक

(शायद कुछ परिणामों में सुधार हुआ है)।

टीएम की धारणा कागज़ पर इस्तेमाल की जाने वाली टीएम की मानक परिभाषा है, जिसका इस्तेमाल छोटे सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों पर कागजों में किया जाता है:

... वे दोनों दिशाओं में एक अद्वितीय एक आयामी टेप अनंत है, और एक अद्वितीय twoway पढ़ा-लिखो सिर। 0. द्वारा निरूपित एक खाली प्रतीक है। प्रारंभ में, एक परिमित शब्द, इनपुट, टेप पर लिखा गया है, अन्य कोशिकाओं में रिक्त प्रतीक होता है, सिर इनपुट के सबसे बाएं प्रतीक को पढ़ता है, और राज्य प्रारंभिक स्थिति है। प्रत्येक चरण में, मशीन की वर्तमान स्थिति और सिर द्वारा पढ़े गए प्रतीक के अनुसार, प्रतीक को संशोधित किया जाता है, सिर बाएं या दाएं चलता है (और उसी सेल को पढ़ नहीं रह सकता है), और राज्य को संशोधित किया जाता है। एक ख़ास पड़ाव अवस्था में पहुंचने पर गणना रुक जाती है। ...

Comments

लिंक एलेक्स स्मिथ के कागज पर जाता है, न कि उस कागज पर जो मुझे लगता है कि आपका इरादा है।

— 20

बहुत उपयोगी लिंक। धन्यवाद। लगता है कि मैं एक (2, 18) मशीन के लिए सबसे अच्छा जा सकता हूं।

— एलेक्सा

उस पेपर को पढ़ते हुए, यह कहता है कि 2 स्टेट 3 सिंबल ट्यूरिंग मशीनों में एक ह्रास करने योग्य समस्या है, इसलिए वोल्फ्राम 2 स्टेट 3 सिंबल ट्यूरिंग मशीन सार्वभौमिक नहीं हो सकती है।

— क्रेग फेन्सटीन

@ क्रैगफाइनस्टाइन: वोल्फ्राम (2,3) टीएम सामान्य टीएम से थोड़ा अलग है: इसमें हॉल्टिंग की स्थिति नहीं होती है और इसके लिए टेप को न दोहराने की आवश्यकता होती है। इसे कमजोर रूप से सार्वभौमिक भी नहीं माना जा सकता (एक कमजोर सार्वभौमिक TM को दोनों दिशाओं में एक अनंत दोहराया पैटर्न की आवश्यकता होती है )

— Marzio De Biasi

Answer 3

7 राज्यों और 2 प्रतीकों के साथ सार्वभौमिकता प्राप्त करना भी संभव है, हालांकि कई समान आपत्तियां लागू होती हैं (अनंत टेप पर असामान्य रूप से प्रारंभिक शर्तें और असामान्य समाप्ति की स्थिति)। Http://11011110.livejournal.com/104656.html और http://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html देखें

ये नियम 110 सेलुलर ऑटोमेटन के अनुकरण पर आधारित हैं, मैथ्यू कुक द्वारा सार्वभौमिक साबित हुए हैं, और कुक ने नियम 110 के 2-राज्य 5-प्रतीक सिमुलेशन को भी पाया, यदि आप प्रतिबंध के लिए वचनबद्ध हैं कि केवल दो राज्य हैं।

Comments

2-राज्य प्रतिबंध अधिक राज्यों के साथ टीएम की तुलना में अनुकरण करना बहुत आसान होगा। फिलहाल मुझे लगता है कि मेरे लिए 2-स्टेट, 18-कलर टीएम 3 राज्यों में से एक और यहां तक ​​कि रंगों की एक छोटी संख्या बनाना आसान होगा।

— 19

(2, 5) दिलचस्प है, और मेरे लिए एक उपयोगी मध्यवर्ती कदम हो सकता है। लेकिन यह इन लिंक से लगता है जैसे कि मुझे एक (2, 18) तक जाना होगा, जो मुझे शुरुआती टेप पर केवल बहुत ही नॉनब्लैक कोशिकाओं के साथ शुरू करने की अनुमति देता है। धन्यवाद!

— एलेक्सा

Answer 4

राज्यों ( ) और रंगों ( ) के साथ एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन चुनें, जो एक आयामी टेप पर कार्य कर रहा है (हम इस मशीन को "सत्य" से संबंधित सामान कहेंगे)। हमें एक साथ निर्माण एक चलो -state ट्यूरिंग मशीन (राज्यों और ) के साथ असली रंग, और "बढ़ाया" रंग है जो राज्यों के बारे में जानकारी ले: रंग। हम उस बाधा को जोड़ते हैं कि प्रारंभिक अवस्था वास्तविक मशीन की प्रारंभिक अवस्था के समान होनी चाहिए, संभवतः उस सेल को छोड़कर जिसमें हम शुरू करते हैं।$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

हर समय, केवल वर्तमान कोशिका या संक्रमण में शामिल दो कोशिकाएँ ही रंगों में वृद्धि कर सकती हैं: अन्य सभी कोशिकाओं में अपना असली रंग होता है। हम चाहते हैं कि हमारी मशीन निम्न प्रकार से व्यवहार करे: जाँच करें कि क्या सही संक्रमण करना है, "सही स्थिति" जानकारी को उस सेल से स्थानांतरित करें जिसे हम लक्ष्य सेल पर छोड़ना चाहते हैं (इसमें बहुत आगे और पीछे शामिल है), सेट को साफ़ करें सेल हमने छोड़ दिया (इसे एक असली रंग देते हुए), दोहराएं।

एक संक्रमण से पहले, वर्तमान सेल में बढ़ाया रंग वास्तविक रंग एन्कोडिंग है, और वास्तविक स्थिति है, और अन्य सभी का असली रंग है। देखें कि असली मशीन क्या संक्रमण करेगी --- हम यह मान सकते हैं कि यह दाईं ओर जा रहा है (फ्लिप और हर जगह बाएं तरफ)। बढ़ाए गए रंग को बदलें, दाईं ओर ले जाएँ, और वर्तमान स्थिति को बदलकर ।$(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

तब मशीन एक सामान्य रंग देखती है और राज्य । यह परिवर्तन करने के लिए , और वापस राज्य में छोड़ दिया जाता है । इस प्रकार हमारे पास कक्ष जहाँ विभिन्न सच्चे रंग निश्चित रूप से स्वतंत्र होते हैं, लेकिन अप्रासंगिक। लक्ष्य स्थानांतरित करने के लिए है लक्ष्य सेल करने के लिए। हम ऐसा करते हैं कि बाएं राज्य को कम करके, और दाहिनी स्थिति को बढ़ाकर, दोनों के बीच आगे और पीछे जा रहे हैं। अंत बाईं कोशिका में पता लगाना आसान है ( हो गया है$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

$$\cdots \quad c \quad \quad c \quad (c,s,\text{emit}) \quad (c,0,\text{L},\text{receive}) \quad c \quad c \quad \cdots$$ $s$$s$$0$), लेकिन सही सेल में पता लगाने के लिए कठिन है। यह वही है जो लेबल के लिए है: जब तक कि राज्य मेल खाता है, तब तक वृद्धि / वृद्धि लूप जारी रखें, लेकिन अगर ऐसा नहीं होता है, तो हम किए जाते हैं, और हम सफाई करते हैं।$\text{L}$

इसे लागू करने के लिए संक्रमण हैं। लगभग सभी मामलों में, वर्तमान स्थिति द्वारा निर्दिष्ट दिशा में आगे बढ़ें, फिर राज्य को फ्लिप करें

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$ जहां वर्तमान स्थिति है; चाल, राज्य फ्लिप।$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$ सही मशीन के संक्रमण के अनुसार; वर्तमान स्थिति को अनदेखा करें, इसे उस दिशा में सेट करें जिसमें हम स्थानांतरित करना चाहते हैं; चाल, राज्य फ्लिप।

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$ के लिए ; कदम, राज्य फ्लिप।$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$ ; स्थानांतरित करें, राज्य को न बदलें।

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$ यदि राज्य ; कदम, राज्य फ्लिप।$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$ यदि राज्य ; स्थानांतरित न करें, जो कुछ भी आपको राज्य के साथ पसंद है वह करें। यह 2 के साथ जोड़ा जा सकता है। यदि आप हमेशा आगे बढ़ना चाहते हैं।$\langle dir\rangle$

6 और 2 के संयोजन से रंगों की संख्या । मेरा मानना ​​है कि यह संभव है कि प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन में कोई बढ़ाया रंग नहीं है, लेकिन यह संभवतः गड़बड़ है।$C+3SC$

Answer 5

जब तक आप कुछ तकनीकी तरीके से "नॉन कॉन्ट्रोवर्शियल" को ध्यान से परिभाषित नहीं करते हैं, तब तक इसका सटीक उत्तर नहीं मिलता है। यहां नियम 110 पर आधारित एक और छोटी मशीन एक मायने में सार्वभौमिक साबित हुई लेकिन मेरी समझ यह है कि इसके लिए अनंत आवधिक इनपुट टेप फॉर्मूलेशन की आवश्यकता होती है (और मशीन के रुकने पर अंत में निष्कर्षण भी)। हवेंट ने साहित्य में वर्णित "आवधिक बनाम नॉनपेरियोडिक" टेप मुद्दे को देखा, हालांकि इसकी चर्चा गणित की मेलिंग सूचियों [गणित मेलिंग सूची के संस्थापक] पर की गई है।

Answer 6

अलेक्स स्मिथ की ट्यूरिंग-सार्वभौमिकता सबूत वुल्फराम के अनुमान के अनुसार 2-राज्य, 3-प्रतीक ट्यूरिंग मशीन निश्चित रूप से विवादास्पद नहीं है। दिए गए सार्वभौमिकता प्रमाण (मशीन नहीं) को ट्यूरिंग टेप पर एक अनंत पैटर्न की आवश्यकता होती है, और सवाल यह था कि क्या इस तरह के कॉन्फ़िगरेशन (आप आमतौर पर 'रिक्त' टेप को खाली प्रतीकों के अनंत दोहराव पैटर्न के रूप में सोच सकते हैं) की अनुमति देनी चाहिए। निष्कर्ष यह था कि जब तक मशीन के टेप पर कॉन्फ़िगरेशन तय नहीं हो जाता (यानी यह आपकी गणना शुरू होने के बाद नहीं बदलता, और किसी भी गणना के लिए समान रहता है), तब ट्यूरिंग मशीन द्वारा सार्वभौमिक गणना की जाती है। ध्यान दें कि यह वुल्फ्राम के एलिमेंटरी सेल्युलर ऑटोमैटोन नियम 110 के लिए विवादास्पद नहीं है कि वोल्फ्राम और कुक सार्वभौमिक साबित हुए। नियम 110 की सार्वभौमिकता प्रमाण के लिए प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन पर एक अनंत पैटर्न की आवश्यकता होती है, एक जो दोनों पक्षों पर अलग है, और इसलिए यह 2-राज्य, 3-प्रतीक ट्यूरिंग मशीन के लिए एक ही प्रकृति का है। एक और चिंता यह थी कि शायद प्रारंभिक स्थिति (रिक्त) की आवश्यकता में इस तरह की छूट कुछ स्वीकृत गैर-ट्यूरिंग यूनिवर्सल ऑटोमेटा को बनाएगी, जैसे कि परिमित-राज्य, रैखिक बंधे या ऑटोमेटा को धक्का देकर कुछ उदाहरणों का उल्लेख करने के लिए, लेकिन यह नहीं है और यह नहीं है चॉम्स्की पदानुक्रम का सम्मान करता है। तो निश्चित रूप से यह विवादास्पद नहीं है कि क्या 2-राज्य, 3-प्रतीक ट्यूरिंग मशीन सार्वभौमिक है, लेकिन इसके सार्वभौमिकता प्रमाण में एक भिन्नता की आवश्यकता होती है जिसे आमतौर पर एक नियमित ट्यूरिंग मशीन टेप की कोटेशन माना जाता है। इसका सीधा मतलब यह नहीं है कि, 2-राज्य,

Comments

इस लंबे तर्क को पार्स करने की कोशिश करते हुए, मैं यह निष्कर्ष निकालता हूं कि स्मिथ का (2,3) -TM कमजोर अर्थों में स्पष्ट रूप से केवल सार्वभौमिक है। हालांकि, कई अन्य जवाबों में पहले से ही इस पर विस्तार से चर्चा की गई है, वर्गीकरण के साथ कागजात के संदर्भ में जो इस कथा को गणितीय रूप से सटीक बनाने का प्रयास करते हैं। यह भी ध्यान दें कि सभी टीएम मॉडल शुरू करने के लिए एक अनंत रिक्त टेप नहीं मानते हैं।

— अंद्र दास सलामन

आपकी टिप्पणी केवल यह दर्शाती है कि आप इस क्षेत्र की उपेक्षा करते हैं। मैंने ट्यूरिंग मशीनों (जैसे प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन, रिक्त प्रतीक, आदि) की मूल बातों में किसी जानकार के लिए किसी भी कठिन अवधारणाओं का उपयोग नहीं किया। फिर से, एकमात्र अंतर, और पहले से ही अन्य प्रकार के ऑटोमेटा के लिए स्वीकार किया जाता है, यह है कि स्मिथ-वोल्फ्राम ट्यूरिंग मशीन एक खाली टेप से शुरू नहीं होती है। सही उत्तर में -3 ​​स्पष्ट रूप से दिखाता है कि लोकतंत्र और लोकप्रियता का मतलब सच्चाई नहीं है, एक किसी भी चीज़ से अधिक प्रासंगिक अहसास, इस तरह के मसखरों को देखते हुए जो अब लोकतंत्र की छत्रछाया में दुनिया पर राज कर रहे हैं।

— user2230103