क्या ऐसी निर्णायक समस्याएं हैं जिनके लिए कोई एल्गोरिथ्म हम समय सीमा दे सकते हैं?

Question

क्या ऐसी निर्णायक समस्याएं हैं जो बिना किसी एल्गोरिथ्म के हैं, जो उस समस्या को हल करती है जिसे हम इनपुट उदाहरण की लंबाई n के कार्य के रूप में बाध्य कर सकते हैं?

मैं इस सवाल पर पहुंचा क्योंकि मैं निम्नलिखित के बारे में सोच रहा था:

मान लें कि हमारे पास एक पुनरावृत्ति करने योग्य, लेकिन अनिर्णायक समस्या है। आगे मान लें कि मैं समस्या का "हां" हूं। फिर कोई एल्गोरिथ्म के लिए जो समस्या के "हां" की पहचान करता है, हम I के आकार n के संदर्भ में बाध्य समय दे सकते हैं। यदि हम इस तरह का समय दे सकते हैं, तो हम समस्या का फैसला कर सकते हैं, जैसा कि हम बस कर सकते हैं यह निष्कर्ष निकालता हूं कि समय सीमा से अधिक होने पर मैं "नहीं" हूं।

चूँकि हम पुनरावृत्ति करने योग्य, अनिर्दिष्ट समस्याओं के लिए बाध्य समय नहीं दे सकते हैं ("हाँ" के लिए गणना समय के लिए), मैं सोच रहा था कि क्या वहाँ पर विकट समस्याएँ हैं, जिसके लिए हम एक समयबद्धता नहीं दे सकते।

Comments

इस तरह के एल्गोरिदम पर एक तुच्छ समय है: एल्गोरिथ्म को चलाएं, और उस एल्गोरिथ्म द्वारा किए गए चरणों की संख्या वापस करें। दूसरी ओर, ऐसे उदाहरणों का निर्माण करना आसान है जिनके लिए यह सीमा देना मुश्किल है जो समझना या व्यक्त करना आसान है, जैसे कि एकरमैन फ़ंक्शन।

— कोड़ी

आपको अधिक सटीक होना पड़ेगा। यदि आप (गणितीय) कार्यों के बारे में बात करते हैं, तो हाँ, किसी भी ट्यूरिंग मशीन के चलने के समय से मेल खाता एक फ़ंक्शन है (वास्तव में, ट्यूरिंग मशीनों की तुलना में अधिक कार्य हैं)। यदि आप कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन या समकक्ष, एल्गोरिदम के बारे में बात करते हैं, तो @cody आपको जवाब देता है: बस ट्यूरिंग मशीन को समस्या को हल करने और उसके चलने के समय की गणना करें।

— एलेक्स दस ब्रिंक

@AlextenBrink: असल में, पाने के लिए बुरी से बुरी हालत इनपुट आकार के एक समारोह के रूप में समय से चल रहा है , आप के लिए ट्यूरिंग मशीन चलाने की आवश्यकता सभी आकार के संभावित आदानों n , और अधिकतम ले लो। लेकिन निश्चित रूप से यह भी उल्लेखनीय है। $n$$n$

— जुका सुकोमेला

क्या मुझे एक संशोधन का सुझाव देना चाहिए? तुच्छ उत्तर से बचने के लिए, मान लें कि हम वाक्यांश को परिभाषित करते हैं "हम एक समयबद्धता दे सकते हैं" का अर्थ है "हम आकार n के सभी उदाहरणों पर एल्गोरिथ्म चलाकर सबसे खराब स्थिति में चलने वाले समय की तुलना में ऊपरी सीमा की गणना कर सकते हैं ।" या हो सकता है "सभी उदाहरण" "एक एकल उदाहरण" होना चाहिए।

— जेफ

आपका तर्क आपके टाइम बाउंड फंक्शन पर निर्भर करता है जो कुल संगणनीय है। यह सर्वविदित है कि ऐसा नहीं किया जा सकता है, लेकिन यदि यह आपका प्रश्न है (अर्थात कुल संगणनीय कार्य विस्तार के साथ आंशिक कम्प्यूटेबल कार्य हैं) तो प्रश्न शोध-स्तर का नहीं है। कृपया सुझावों के लिए अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न देखें कि आप इस प्रकार के प्रश्न कहां से पूछ सकते हैं।

— केवह

Answer 1

हर एल्गोरिथ्म के लिए है कि आदानों के एक वर्ग पर समाप्त मैं n , हम कर सकते हैंपरिभाषितअपनी चल बार के समारोह: च ( एन ) = अधिकतम मैं ∈ मैं n ( n ) टी मैं हूँ ई ( ए ( मैं ) ) , जहांकी लंबाई के आदानों की वर्ग हैऔरसमय एल्गोरिथ्म हैपर समाप्त करने के लिए की आवश्यकता है$A$$\mathsf{In}$

$$f(n)=\max_{i\in \mathsf{In(n)}}~~ \mathsf{time}(A(i)),$$ $\mathsf{In}(n)$$n$$\mathsf{time}(A(i))$$A$$i$। बेशक, यह परिभाषा असंतुष्ट है क्योंकि यह एल्गोरिथम से संबंधित है, लेकिन यह ऐसे फ़ंक्शन के अस्तित्व को दर्शाता है। यह सवाल है कि क्या कोई संक्षिप्त प्रतिनिधित्व मौजूद है (और मुझे विश्वास है कि यह वही था जो आप पूछ रहे थे)।

यदि हम संक्षिप्त बीजगणितीय शब्दों (किसी भी प्रकार की पुनरावृत्ति के बिना) को संक्षिप्त की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं, तो मुझे लगता है कि इसका जवाब नहीं है: ऐसी समस्याएं हैं, जिन पर निर्णय लिया जा सकता है, लेकिन जिनकी जटिलता कोई नहीं है। यही है, वहाँ फॉर्म का एक स्टैक मौजूद नहीं है जो आकार n की समस्या के लिए एल्गोरिथ्म के निष्पादन के समय को सीमित करता है।$2^{2^{2^{2^{\dots^n}}}}$

मुझे आशा है कि मैंने आपके प्रश्न को सही तरीके से समझा।

Answer 2

यह मार्कस की तुलना में आपके प्रश्न पर थोड़ा अलग है, लेकिन इस स्पष्टीकरण के बारे में आपके स्पष्टीकरण के प्रकाश में कि आप इस प्रश्न के बारे में कैसे सोचते हैं, यह आपके लिए जो खोज रहे हैं, उसके करीब हो सकता है।

कभी-कभी कोई भी यह साबित कर सकता है कि एक समस्या निर्णायक है, इसके लिए एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन करने में सक्षम होने के बिना। इस तरह की चीज़ का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण ग्राफ नाबालिगों पर रॉबर्टसन और सीमोर का काम है, जो यह दर्शाता है कि किसी भी वंशानुगत ग्राफ संपत्ति को बहुपत्नी समय में निषिद्ध नाबालिगों की एक उपयुक्त परिमित सूची की उपस्थिति के लिए जाँच करके तय किया जा सकता है। उनका प्रमाण केवल यह दर्शाता है कि निषिद्ध नाबालिगों की एक सीमित सूची मौजूद है, लेकिन सूची खोजने के लिए एक नुस्खा प्रदान नहीं करता है ।

मैं इस क्षेत्र का विशेषज्ञ नहीं हूं, इसलिए मैं वंशानुगत ग्राफ संपत्ति के एक विशिष्ट उदाहरण के बारे में नहीं जानता, जिसके लिए हम एक एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन नहीं कर सकते क्योंकि हम निषिद्ध नाबालिगों की सूची नहीं जानते हैं और हमें कोई अन्य तरीका नहीं पता है समस्या को हल करें, लेकिन मुझे संदेह है कि ऐसे उदाहरण मौजूद हैं। (और यदि हम मौजूद हैं, तो एक उदाहरण खोजने के लिए हम दौड़ने का समय तय कर सकते हैं, क्योंकि हम जानते हैं कि दुनिया में सबसे अधिक 8 बिलियन लोग हैं और सबसे खराब स्थिति में हम उन सभी से पूछ सकते हैं!)

एक और टिप्पणी: चूँकि हम जानते हैं कि नाबालिगों की जाँच समय में की जा सकती है, आप तर्क दे सकते हैं कि रॉबर्टसन-सेमुर एल्गोरिथम द्वारा सुसज्जित सभी मामलों में, हमारे पास का "बाउंड" है चल रहे समय पर। हालाँकि, मैं यह दलील दूंगा कि यह धोखाधड़ी की तरह है, अगर हमारे पास निरंतरता पर कोई बाध्यता नहीं है।$O(n^3)$$O(n^3)$

Comments

लेकिन अगर आप बहिष्कृत नाबालिगों का एक स्पष्ट सेट चुनते हैं, तो आप एक एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन कर सकते हैं। बेहतर होगा कि कुछ वंशानुगत संपत्ति का अध्ययन किया जाए। हालांकि यह करने के लिए थोड़ा मुश्किल है।

— टिमोथी चाउ

यह आपकी बात से काफी मेल खाता है, लेकिन: मामूली-बंद ग्राफ गुण वास्तव में समय शोध में तय किया जा सकता है । ni.ac.jp/~k_keniti/quaddp1.pdf । $O(n^2)$

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe Emábek: इससे भी अधिक मूर्त रूप से, यदि एक नाबालिग-बंद परिवार से एक ग्राफ संतुष्ट करता है तो यह तय करता है कि प्रथम-क्रम की संपत्ति को रैखिक समय में किया जा सकता है: arxiv.org/abs/1109.5036

— András Salalon

वैसे, Kowarabayashi और Wollan अपने STOC 2011 के पेपर dsi.uniroma1.it/~wollan/PUBS/shorter_struct_web.pdf में निरंतरता के लिए बाध्य होने का दावा करते हैं। यह भी आगे की प्रगति पर रिपोर्ट करता है जो "अभी तक पूरी तरह से लिखित नहीं है"। हालाँकि, मैं आसानी से इस पेपर से स्पष्ट बाउंड नहीं निकाल सकता।

— आंद्र सलाम

इस तरह के उदाहरण के लिए, आपके पास एक प्लैनर कवर के साथ ग्राफ़ हैं। अजीब तरह से, हम लगभग एक सूची जानते हैं: 31 निषिद्ध नाबालिग हैं, और एक 32 वीं संभावित एक है, लेकिन पिछले एक के लिए यह खुला है कि क्या यह एक प्लैनर कवर है या नहीं। इसलिए हम रेखांकन के इस वर्ग के लिए एक एल्गोरिथ्म नहीं है। उदाहरण के लिए देखें: fi.muni.cz/~hlineny/papers/plcover20-gc.pdf

— डेनिस

Answer 3

बस एक अलग परिप्रेक्ष्य जोड़ने के लिए, मुझे याद रखना चाहिए कि हर समस्या में एक "आंतरिक" जटिलता नहीं होती है, जो शायद ब्लम के स्पीडअप प्रमेय का सबसे दिलचस्प और किसी भी तरह से उपेक्षित परिणाम है।

अनिवार्य रूप से प्रमेय कहता है कि, एक वांछित स्पीडअप जी को निर्धारित किया गया है, आप हमेशा एक कम्प्यूटेशनल समस्या पी पा सकते हैं जैसे कि पी को हल करने वाले किसी भी कार्यक्रम के लिए एक और कार्यक्रम मौजूद है जो पी को हल कर रहा है और पिछले एक की तुलना में तेजी से जी-बार चला रहा है।

इसलिए, इस तरह की समस्याओं के लिए आप समयबद्ध नहीं हो सकते। आश्चर्यजनक, और काफी चौंकाने वाला परिणाम। बेशक P की एक बहुत बड़ी जटिलता है।

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P के पास बहुत बड़ी जटिलता क्यों है?

क्योंकि गति प्रक्रिया को पुनरावृत्त किया जा सकता है, इसलिए यह घटती जटिलता के एल्गोरिदम की एक अनंत श्रृंखला के साथ संगत होना चाहिए।

— एंड्रिया एस्परटी

Answer 4

मार्कस द्वारा आपके प्रश्न के सैद्धांतिक पहलू का ध्यान रखा जाता है। अधिक व्यावहारिक रूप से, आपके प्रश्न को समझने का एक दिलचस्प तरीका है: क्या ऐसी कोई समस्याएँ हैं जिनके लिए हम किसी भी समय बाध्य नहीं हैं?

इसका उत्तर हां है: उदाहरण के लिए ऐसा हो सकता है कि आपके पास अपनी समस्या के YES उदाहरणों के लिए एक अर्ध-एल्गोरिदम हो, और NO उदाहरणों के लिए एक अर्ध-एल्गोरिदम हो। यह आपको आपकी समस्या से निजात दिलाता है, लेकिन समयबद्ध नहीं।

यहां एक सामान्य उदाहरण है: मान लें कि आपके पास एक स्वयंसिद्ध प्रणाली है जो आपको कुछ बीजगणित में सभी वास्तविक पहचानों को साबित करने की अनुमति देती है। इसके अलावा, आप जानते हैं कि झूठी पहचान हमेशा एक परिमित संरचना द्वारा देखी जाती है।

फिर आपके पास यह निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित एल्गोरिथम है कि क्या एक पहचान सत्य हूं : समानांतर प्रमाण और परिमित संरचनाओं में गणना करना, और जब आप I या एक संरचना का साक्ष्य पाते हैं तो रुक जाएं$I$$I$$I$$I$

इसका एक उदाहरण एफाइन लीनियर लॉजिक (LLW) है: इसे अब टॉवर-पूर्ण [1] के रूप में जाना जाता है, लेकिन कुछ समय के लिए कोई सीमा ज्ञात नहीं थी और केवल अन्य तकनीकों के बीच परिमित मॉडल प्रॉपर्टी का उपयोग करते हुए केवल डिसिडेबिलिटी दिखाई गई थी [2] ।

संदर्भ:

[१] गैर-प्राथमिक जटिलताओं के लिए VASS, MELL, और एक्सटेंशन। रैंको लाजिक और सिल्वेन शमित्ज़। CSL-LICS 2014

[२] रैखिक तर्क के विभिन्न अंशों के लिए परिमित मॉडल संपत्ति। यवेस लाफोंट, जे। सिम्ब। तर्क। 1997

Answer 5

जैसा कि दूसरों ने कहा है कि प्रश्न को इस तरह से नहीं कहा गया है कि एक तुच्छ उत्तर से बचा जाता है, हालांकि टीसीएस और संख्या सिद्धांत में कुछ अवधारणाएं हैं जो संबंधित / समान हैं।

1) अंतरिक्ष और समय के पदानुक्रम में "समय रचनात्मक" और "अंतरिक्ष रचनात्मक" कार्यों की अवधारणा की आवश्यकता होती है। गैर समय रचनात्मक और गैर अंतरिक्ष रचनात्मक कार्य मौजूद होते हैं और ब्लम प्रमेयों में पाए जाने वाले असामान्य गुणों जैसे "गैप, स्पीडअप" प्रमेयों को जन्म देते हैं। अधिकांश (सभी?) एसटीडी जटिलता वर्ग को अंतरिक्ष और समय के निर्माण कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।

2) एकरमैन फ़ंक्शन कुल पुनरावर्ती है, लेकिन आदिम पुनरावर्ती नहीं है और इसके समयबद्ध होने के निहितार्थ हैं। कुछ अर्थों में आदिम पुनरावर्ती कार्य "बुनियादी" गणितीय कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

3) वहाँ Peano अंकगणित में uncomputable संख्या सिद्धांत दृश्यों कि नहीं-गणनीय में एक-भावना पैदा रूप में व्याख्या की जा सकती है के बारे में THMs समय के रूप में इस तरह के सीमा हैं Goodstein अनुक्रम या पेरिस-हैरिंगटन THMs

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सवाल का जवाब नहीं।

— केवह