पर

Question

EDIT (तारा बी द्वारा): मुझे अभी भी इस बात के प्रमाण के संदर्भ में दिलचस्पी होगी , क्योंकि मुझे इसे स्वयं अपने कागज के लिए साबित करना था।

मैं इस पेपर में दिखाई देने वाले प्रमेय 4 के प्रमाण की तलाश कर रहा हूँ:

लियू और वेनेर द्वारा प्रसंग-मुक्त भाषाओं के अंतर्विरोधों की एक अनंत पदानुक्रम ।

प्रमेय 4: एक आयामी affine कई गुना affine कई गुना के एक परिमित संघ जिनमें से प्रत्येक आयाम की है के रूप में व्यक्त नहीं है n - 1 या उससे कम।$n$$n-1$

1. क्या किसी को प्रमाण का संदर्भ पता है?
2. यदि कई गुना परिमित है और हम तत्वों पर एक प्राकृतिक आदेश को परिभाषित करते हैं, तो क्या अक्षांशों के संदर्भ में कोई समान कथन है?

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प्रमेय को समझने के लिए कुछ पृष्ठभूमि:

परिभाषा: Let परिमेय संख्याओं के सेट हो। एक उप समूह एम ⊆ क्यू n एक है affine कई गुना अगर ( λ एक्स + ( 1 - λ ) y ) ∈ एम जब एक्स ∈ एम , वाई ∈ एम , और λ ∈ क्यू ।$\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

परिभाषा: एक Affine कई गुना एक affine कई गुना करने के लिए समानांतर होना कहा जाता है एम अगर एम ' = एम + एक कुछ के लिए एक ∈ क्यू एन ।$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

प्रमेय: प्रत्येक गैर खाली affine कई गुना एक अनूठा उपस्पेस के समानांतर है कश्मीर । यह कश्मीर द्वारा दिया जाता है कश्मीर = { x - y : एक्स , वाई ∈ एम $M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

परिभाषा: आयाम एक गैर खाली affine कई गुना की यह करने के लिए उप-समानांतर का आयाम है।

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Comments

मुझे पता है कि यह काफी पुराना प्रश्न है, लेकिन मैं आज ही इसके पार हुआ था, और बस यह पूछना चाहता था कि क्या आप किसी विशेष कारण से उस पेपर को पढ़ रहे थे? (यह मेरे कुछ शोधों से बहुत निकटता से जुड़ा हुआ है।)

— तारा बी

Answer 1

सहज रूप से, प्रमेय का कहना है कि एक रेखा बिंदुओं का परिमित संघ नहीं है, एक विमान लाइनों का परिमित संघ नहीं है, आदि इसका सबसे सरल प्रमाण है, उदाहरण के लिए, कि परिमित संघ के पास शून्य क्षेत्र है, जबकि विमान नहीं है।

अधिक संक्षेप में, निरीक्षण करें कि यह पर कई गुना के लिए दावे को साबित करने के लिए पर्याप्त है । रेखीय प्रणाली ए x = बी के समाधान के सेट द्वारा दिए गए एफिन मैनिफोल्ड एम n क्यू एन पर विचार करें ; इसका समापन आर n पर समान प्रणाली के समाधानों का समुच्चय होगा , इसलिए यह कदम शामिल कई गुना के आयाम को प्रभावित नहीं करता है। इसके अलावा, एक परिमित संघ के बंद होने के संघ के बराबर है।$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

$d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

Comments

धन्यवाद!! यह दोनों सवालों के जवाब देता है। दूसरे सवाल में मेरा जो (बहुत अस्पष्ट रूप से) मतलब था "अगर एक एफाइन मैनिफोल्ड के बजाय हमारे पास एक परिमित सेट सेट होता तो क्या होता"। लेकिन फिर भी, आपके उत्तर ने मेरे संदेह को दूर कर दिया।

— मार्कोस विलग्रा

Answer 2

$\mathbb F$

$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

$n=0$

$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$$n$$B_0$$v$$A$$B_0$$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$

Comments

अच्छा वैकल्पिक सबूत!

— मार्कोस विलग्रा

नहीं, यह है सबूत और अन्य एक विकल्प है क्योंकि यह उपाय सिद्धांत में :-) खींच लेता है

— एंड्रेज बॉयर

अहह मैं देख रहा हूँ, अच्छी बात है

— मार्कोस विलगरा