क्या कोई गणना योग्य सेट हैं जो कम्प्यूटेशनल रूप से गणना करने योग्य नहीं हैं?

Question

यदि प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक आक्षेप होता है, तो एक सेट गणना योग्य होता है, और यदि एक एल्गोरिथ्म मौजूद होता है तो उसके सदस्यों की गणना करने के लिए यह गणना योग्य (सीयू) है ।

किसी भी गैर-परिमित गणना योग्य गणना के लिए गणना योग्य होनी चाहिए क्योंकि हम गणना से एक आक्षेप का निर्माण कर सकते हैं।

क्या गणना योग्य सेटों के कोई उदाहरण हैं जो कम्प्यूटेशनल रूप से गणना करने योग्य नहीं हैं? यही है, इस सेट और प्राकृतिक संख्याओं के बीच एक आपत्ति है, लेकिन कोई एल्गोरिथ्म नहीं है जो इस पूर्वाग्रह की गणना कर सके।

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बची हुई शब्दावली कम्प्यूटेशनल रूप से गणना करने योग्य है । बहुत से लोग कहेंगे कि "गणनीय" और "गणना करने योग्य" पर्यायवाची हैं। मैंने तदनुसार प्रश्न संपादित किया।

— बाउर

@AndrejBauer, कम्प्यूटेशनल और पुनरावर्ती समानार्थी हैं, है ना?

— rus9384

@ rus9384 हाँ। शब्दावली के बारे में, स्पष्टता को शासन करना चाहिए, क्योंकि रॉबर्ट इरविंग सोर ने ट्यूरिंग-पोस्ट रिलेटिव कम्प्यूटेबिलिटी एंड इंटरएक्टिव कंप्यूटिंग (2011) में लिखा है : 1995 तक भ्रम असहनीय हो गया था। मैंने बैल के लिए कम्प्यूटेबिलिटी और रिकर्सन पर एक लेख लिखा। सिम का। लॉजिक (1996) इतिहास और वैज्ञानिक कारणों पर कि हमें "गणना योग्य" का मतलब "गणना योग्य" और न कि "पुनरावर्ती" का उपयोग करना चाहिए। "पुनरावर्ती" का अर्थ "प्रेरक" होना चाहिए क्योंकि यह डेडेकिंड और हिल्बर्ट के लिए था। सबसे पहले, कुछ इस तरह के बदलाव के लिए तैयार थे ...

— डेविड टोनहोफर

Answer 1

क्या गणना योग्य सेटों के कोई उदाहरण हैं जो कि गणना करने योग्य नहीं हैं?

हाँ। प्राकृतिक संख्याओं के सभी सबसेट गिनती योग्य हैं लेकिन उनमें से सभी असंख्य नहीं हैं। (प्रमाण: कई अलग-अलग उपसमुच्चय हैं,  लेकिन केवल कई ट्यूरिंग मशीनें हैं जो कई प्रकार के टूमर का काम कर सकती हैं।) इसलिए एन का कोई भी उपसमुच्चय  जो आप पहले से जानते हैं, पुनरावर्ती रूप से गणना करने योग्य नहीं है, एक उदाहरण है - जैसे कि सभी संख्याओं के सेट कोडिंग ट्यूरिंग। मशीनें जो हर इनपुट के लिए रुकती हैं।$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$

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@JorgePerez नहीं और नहीं ।

— डेविड रिचरबी

यह अस्तित्व को साबित करता है, लेकिन एक उदाहरण नहीं देता है ..

— ब्लूराजा - डैनी पीफ्लुगुफ्ट

@ BlueRaja-DannyPflughoeft, एक उदाहरण देना एक की गणना करने के समान है। "क्या आप किसी ऐसी चीज का उदाहरण दे सकते हैं जिसका आप उदाहरण नहीं दे सकते? नहीं? इसलिए ऐसा कुछ नहीं है जिसका आप उदाहरण नहीं दे सकते।" यह गणितीय रचनावाद संक्षेप में है।

— वाइल्डकार्ड

व्यस्त बीवर समारोह की छवि चाहेंगे इस तरह के एक सेट हो सकता है? चूंकि Σ सख्ती से बढ़ती जा रही है यह तुच्छता के साथ एक द्विभाजन रूपों एन , लेकिन कोई ट्यूरिंग मशीन है कि गणना कर सकते हैं Σ । $\Sigma$$\Sigma$$\mathbb{N}$$\Sigma$

— orlp

@Wildcard नहीं, एक उदाहरण देना एक को परिभाषित करने के समान है , है ना? ऐसे सेट हैं जिन्हें परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन एल्गोरिथम द्वारा गणना नहीं की जा सकती है, जैसे कि सभी ट्यूरिंग मशीनों का सेट जो रुकना नहीं है।

— टान्नर स्विफ्ट

Answer 2

हां, हर अनिर्वचनीय (अर्ध-विवेकी नहीं) भाषा में यह गुण होता है।

उदाहरण के लिए, सेट पर विचार ।$L = \{(x,M) \mid M \text{ does not halt on input } x \}$

मान लें कि हमारे पास एक एल्गोरिथ्म है जो इस सेट के सदस्यों की गणना कर सकता है। यदि ऐसा एल्गोरिथ्म मौजूद है, तो हम निम्न एल्गोरिथम के साथ साथ हॉल्टिंग समस्या को हल करने के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं :$x,M$

• एक्स पर एन चरणों के लिए मशीन चलाने के बीच वैकल्पिक , और एल के एन वें सदस्य की गणना करना ।$M$$n$$x$$n$$L$

या तो हॉल्ट करता है, या एक्स पर रुकता नहीं है। यदि यह रुकती है, अंत में हम एक मिल जाएगा n जहां हम एक हॉल्टिंग राज्य तक पहुँचते हैं। यदि यह रुकता नहीं है, तो आखिरकार हमअपनी गणना में ( एम , एक्स ) तक पहुंच जाएंगे।$M$$x$$n$$(M,x)$

इस प्रकार हमारे पास एक कमी है, और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऐसी कोई भी मौजूदगी नहीं है।

ध्यान दें कि ऐसी गणनाएं अर्ध-पतनशील समस्याओं के लिए मौजूद हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, आप चरणों के बाद सभी ट्यूरिंग मशीन के निष्पादन के सभी संभावित निशानों की गणना करके, सभी हैलटिंग मशीन-इनपुट जोड़े के सेट को एन्यूमरेट कर सकते हैं , और उन लोगों को फ़िल्टर कर सकते हैं, जो हॉल्टिंग अवस्था में समाप्त नहीं होते हैं। $n$

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बेशुमार जटिलता वाली भाषाएँ नहीं हैं?

— rus9384

@ rus9384 मुझे यकीन नहीं है कि आपका क्या मतलब है। "बेशुमार" आकार का एक उपाय है; "जटिलता" यह तय करना कितना कठिन है, इसका एक उपाय है। लेकिन परिमित तारों की कोई बेशुमार भाषा नहीं है: यदि आप चाहते हैं कि कोई भाषा बेशुमार हो, तो आपको अनंत तार (या एक बेशुमार "वर्णमाला", या दोनों) की अनुमति देनी चाहिए।

— डेविड रिचेर्बी

@DavidRicherby, ठीक है, जेमाइट का दावा है कि प्रत्येक अनिर्णायक समस्या परिमित तारों से संचालित होती है? मुझे लगता है कि यह केवल हर ट्यूरिंग-पहचानने योग्य अनिर्णायक समस्या के लिए है।

— rus9384

@ rus9384 परिमित वर्णमाला पर कोई भी भाषा गणनीय है, और संगणनीयता आमतौर पर अनंत वर्णमालाओं की उपेक्षा करती है। यह प्रश्न भी देखें ।

— jmite

@ rus9384 हाँ, एक भाषा एक परिमित वर्णमाला पर परिमित तारों का एक समूह है। ऐसी कोई भी बात गिनाई जा सकती है। यदि आप एक बेशुमार भाषा प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको उस परिभाषा से "परिमित" के एक या दोनों उदाहरणों को निकालने की आवश्यकता है। लेकिन अगर कोई सिर्फ "भाषा" कहता है, तो उनका मतलब है कुछ परिमित वर्णमाला पर परिमित तार का एक सेट।

— डेविड रिचेर्बी

Answer 3

$\Sigma^*$$\Sigma = \{0,1\}$$L \subseteq \Sigma^*$$\Sigma^*$

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जरूरी नहीं कि हम बाइनरी स्ट्रिंग्स से निपटें। ऐसे बहुत से मामले हैं जहाँ हम अन्य वर्णमालाओं के तार में दिलचस्पी ले सकते हैं, और जो लोग कम्प्यूटेशनल "पुनरावर्तन सिद्धांत" कहते हैं वे सीधे प्राकृतिक संख्याओं के सेट से निपटने की प्रवृत्ति रखते हैं। (अर्थात्, संख्याओं को स्वयं को आदिम के रूप में देखा जाता है, और इनकोडिंग के रूप में नहीं, उदाहरण के लिए, बाइनरी स्ट्रिंग्स।)

— डेविड रिचरबी

@DavidRicherby कुछ हफ़्ते पहले आपने मुझे यूवाल्स के जवाब में टिप्पणियों के विपरीत दावा किया था। और यह पहला ऐसा मामला नहीं है।

— fade2black

युवल बहुत सारे उत्तर पोस्ट करता है, और मैं बहुत सारी टिप्पणियाँ पोस्ट करता हूं, इसलिए आपको अधिक विशिष्ट होना पड़ेगा। मैं निश्चित रूप से ऊपर अपनी टिप्पणी से खड़ा हूं, इसलिए अगर मैंने किसी बिंदु पर विपरीत कहा, तो या तो मैं गलत था या भ्रमित था या आपने मुझे गलत समझा या मैं कुछ विशिष्ट परिदृश्य या इस तरह की किसी चीज के बारे में बात कर रहा था। मुझे खेद है अगर मैंने आपको भ्रमित किया है, खासकर अगर मैंने इसे अस्पष्ट या गलत कहकर किया है!

— डेविड रिचरबी

@DavidRicherby, वास्तव में प्रत्येक परिमित वर्णमाला को बाइनरी में कम किया जा सकता है, इसलिए, मुझे समझ नहीं आता कि यह कैसे मायने रखता है। या क्या हमारे पास इस मामले में अनंत रूप से अनंत वर्णमाला है (जहां प्रत्येक संख्या में अद्वितीय प्रतीक है)?

— रस 9384

@ rus9384 उत्तर यह लगता है कि कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत केवल वर्णमाला मानता है$\{0,1\}$ , लेकिन यह सच नहीं है: यह भी सच नहीं है कि कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत केवल स्ट्रिंग्स के सेट पर विचार करता है। मैं मानता हूं कि बाइनरी स्ट्रिंग्स को प्रतिबंधित करने से सिद्धांत पर कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं पड़ेगा लेकिन, उदाहरण के लिए, परिणामों को साबित करने के लिए बड़े अक्षर का उपयोग करना सामान्य है।

— डेविड रिचेर्बी