क्या कोक में रुकने की समस्या की अनिच्छा साबित हो सकती है?


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मैं बीबर बाउर द्वारा " पाँच चरणों के रचनात्मक गणित को स्वीकार कर रहा था" देख रहा था और वह कहता है कि विरोधाभास के दो प्रकार के प्रमाण हैं (या दो चीजें जो गणितज्ञ विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहते हैं):

  1. मान झूठी है ... ब्ला ब्ला ब्ला, विरोधाभास। इसलिए P सत्य है।PP
  2. मान लें कि सच है ... ब्ला ब्ला ब्ला, विरोधाभास। इसलिए P झूठा है।PP

पहला एक एक्सक्लूडेड लॉ (एलईएम) के कानून के बराबर है और दूसरा यह है कि कैसे नकारात्मकता साबित की जाए।

हॉल्टिंग प्रॉब्लम (एचपी) की अनिश्चतता का प्रमाण विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण है: मान लें कि एक मशीन जो एचपी तय कर सकती है ... ब्ला ब्ला ब्ला, विरोधाभास। इसलिए डी मौजूद नहीं है।DD

तो, को " D मौजूद है और HP तय कर सकता है"। मान लें कि P सच है ... ब्ला ब्ला ब्ला, विरोधाभास। इसलिए P झूठा है।PDPP

यह विरोधाभास द्वारा दूसरे प्रकार के सबूत की तरह दिखता है, इसलिए कोक में पड़ने वाली समस्या (एलईएम ग्रहण किए बिना) की अनिर्वायता साबित करना संभव है?

संपादित करें: मैं विरोधाभास का उपयोग करके इसे साबित करने के बारे में कुछ बिंदुओं को देखना चाहूंगा। मुझे पता है कि यह विकर्णीकरण का उपयोग करके भी साबित किया जा सकता है।


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@cody एक नकारात्मक बयान में विरोधाभास की आवश्यकता क्यों है? या आप कोक् को प्रतिबंधित कर रहे हैं?
डेविड रिचरबी

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@DavidRicherby मैं वास्तव में थोड़ा अतिरंजित कर रहा हूं, क्योंकि यह केवल स्वयंसिद्ध की अनुपस्थिति में सच है। उस मामले में, एक (कट-फ्री) सबूत का पहला (सबसे कम) कदम अंतर्ज्ञानवादी प्राकृतिक कटौती में नॉट-इंट्रो होना चाहिए। ऐसे मामले में जहां स्वयंसिद्ध / परिकल्पनाएं हैं, तो यह कदम पहले लागू करने के लिए कभी भी दर्द नहीं होता है, क्योंकि यह उलटा है, लेकिन कभी-कभी इसे टाला जा सकता है।
कोड़ी

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आप एक ही शीर्षक के साथ कागज के बारे में जानते हैं? (मुझे लगता है कि वहाँ मैं स्पष्ट रूप से बताता हूं कि हाल्टिंग ओरेकल के गैर-अस्तित्व का सामान्य प्रमाण रचनात्मक है।)
बाउर

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@AndrejBauer, मुझे नहीं पता। बस मिल गया। हां, आप कहते हैं कि "हाल्टिंग ऑरेकल के नोक्सिस्टेंस का सामान्य प्रमाण अभी तक उपेक्षा का एक रचनात्मक उदाहरण है।"
राफेल कास्त्रो

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@ राफेलकैस्ट्रो: एक स्नातक छात्र के रूप में आप अच्छे प्रश्न पूछ रहे हैं। मैं आपको केवल साहसपूर्वक प्रोत्साहित करने के लिए प्रोत्साहित कर रहा हूं जहां कोई भी स्नातक छात्र (या कम से कम बहुत अधिक नहीं) पहले गए हैं।
बाउर

जवाबों:


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आप बिल्कुल सही कह रहे हैं कि हॉल्टिंग समस्या "विरोधाभास द्वारा सबूत" के दूसरे प्रकार का एक उदाहरण है - यह वास्तव में सिर्फ एक नकारात्मक बयान है।

मान लीजिए decides_halt(M)कि एक विधेय है जो कहता है कि मशीन यह Mतय करती है कि उसका इनपुट एक ऐसी मशीन है जो हाल्ट करता है (यानी, Mएक प्रोग्राम है जो कुछ मशीन mऔर इनपुट iके लिए तय करता है कि mइनपुट पर रुका हुआ है i)।

इसे साबित करने के तरीके के बारे में एक पल के लिए भूल जाना, हॉल्टिंग समस्या का कथन है कि ऐसी कोई मशीन नहीं है जो हॉल्टिंग समस्या का फैसला करती है। हम इसे कोक के रूप में (exists M, decides_halt M) -> Falseबता सकते हैं, या शायद हम यह कहना चाहते हैं कि कोई भी मशीन रुकने की समस्या को हल नहीं करती forall M, decides_halt M -> False। यह पता चला है कि बिना किसी स्वयंसिद्ध के ये दोनों औपचारिकताएं Coq में बराबर हैं। (मैंने सबूत मिटा दिया है ताकि आप देख सकें कि यह कैसे काम करता है, लेकिन firstorderपूरी बात करेगा!)

Parameter machine:Type.
Parameter decides_halt : machine -> Prop.

(* Here are two ways to phrase the halting problem: *)

Definition halting_problem : Prop :=
  (exists M, decides_halt M) -> False.

Definition halting_problem' : Prop :=
  forall M, decides_halt M -> False.

Theorem statements_equivalent :
  halting_problem <-> halting_problem'.
Proof.
  unfold halting_problem, halting_problem'; split; intros.
  - exact (H (ex_intro decides_halt M H0)).
  - destruct H0.
    exact (H x H0).
Qed.

मुझे लगता है कि या तो बयान को एक विकर्ण तर्क के रूप में साबित करना मुश्किल नहीं है, हालांकि औपचारिक रूप से मशीनें, कम्प्यूटेबिलिटी, और रुकना संभवतः उचित रूप से चुनौतीपूर्ण है। एक सरल उदाहरण के लिए, कैंटर के विकर्ण प्रमेय को सिद्ध करना बहुत कठिन नहीं है ( एक प्रमाण के लिए https://github.com/bmsherman/finite/blob/master/Iso.v#L277-L291 देखें nat -> natऔर natयह आइसोमोर्फिक नहीं है)।

विकर्णन ऊपर कैसे आप के बीच एक समाकृतिकता से एक विरोधाभास पाने के बारे में जाना हैं इसका एक उदाहरण देता है nat -> natऔर nat। यहाँ उस प्रमाण का सार स्व-निहित उदाहरण के रूप में इनलाइन है:

Record bijection A B :=
  {  to   : A -> B
  ; from : B -> A
  ; to_from : forall b, to (from b) = b
  ; from_to : forall a, from (to a) = a
  }.

Theorem cantor :
  bijection nat (nat -> nat) ->
  False.
Proof.
  destruct 1 as [seq index ? ?].
  (* define a function which differs from the nth sequence at the nth index *)
  pose (f := fun n => S (seq n n)).
  (* prove f differs from every sequence *)
  assert (forall n, f <> seq n). {
    unfold not; intros.
    assert (f n = seq n n) by congruence.
    subst f; cbn in H0.
    eapply n_Sn; eauto.
  }
  rewrite <- (to_from0 f) in H.
  apply (H (index f)).
  reflexivity.
Qed.

विवरणों को देखे बिना भी, हम इस कथन से देख सकते हैं कि यह प्रमाण एक आक्षेप का मात्र अस्तित्व लेता है और यह असंभव होने के लिए प्रदर्शित करता है। हम पहले जीव के दो पक्षों को नाम देते हैं seqऔर index। कुंजी यह है कि विशेष अनुक्रम में जीव का व्यवहार f := fun n => S (seq n n)और इसका सूचकांक index fविरोधाभासी है। हॉल्टिंग समस्या का प्रमाण इसी तरह से एक विरोधाभास को प्राप्त करेगा, एक मशीन के बारे में अपनी परिकल्पना को त्वरित रूप से लागू करना जो ध्यान से चुनी गई मशीन के साथ हॉल्टिंग समस्या को हल करता है (और विशेष रूप से एक जो वास्तव में ग्रहण की गई मशीन पर निर्भर करता है)।


साइट पर आपका स्वागत है! मुझे आशा है कि आप के आसपास छड़ी - आप हमारी बहुत संक्षिप्त लेने के लिए पसंद कर सकते हैं दौरे कैसे स्टैक एक्सचेंज काम करता है के बारे में अधिक देखने के लिए।
डेविड रिचरबी

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मैं भूल गया कि यह समस्या एक विकर्ण तर्क द्वारा भी साबित होती है। आपका उत्तर दिलचस्प है, लेकिन मैं कुछ बिंदुओं को देखना चाहूंगा कि क्या सीओएम में विरोधाभास का उपयोग करके एचएम को साबित करना संभव है। मैं प्रश्न में इसे और स्पष्ट करूंगा।
राफेल कास्त्रो
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