क्या ट्यूरिंग मशीन (टीएम) यह तय कर सकती है कि रुकने की समस्या सभी टीएम पर लागू होती है या नहीं?

Question

इस साइट पर इस सवाल पर कई वेरिएंट हैं कि क्या टीएम हॉल्टिंग की समस्या को तय कर सकते हैं, चाहे अन्य सभी टीएम या कुछ सबसेट के लिए। यह सवाल कुछ अलग है।

यह पूछता है कि क्या यह तथ्य सभी टीएम पर लागू होने वाली रुकावट की समस्या एक टीएम द्वारा तय की जा सकती है। मेरा मानना ​​है कि उत्तर नहीं है, और मेरे तर्क की जांच करना चाहते हैं।

1. मेटा-हॉल्टिंग भाषा $L_{MH}$ को टीएम से बनी भाषा के रूप में परिभाषित करें जो यह तय करती है कि क्या TM रुकता है।

$$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$$

2. $L_{MH}= \emptyset$ समस्या के कारण।

इस प्रकार, शीर्षक प्रश्न और अधिक सटीक रूप से कहा गया है: क्या यह उचित है कि क्या $L_{MH} = \emptyset$ ?

3. राइस के प्रमेय के अनुसार, यह अस्वीकार्य है कि क्या कोई पुनः भाषा खाली है।
   दोनों ही मामलों में, यदि है या फिर नहीं है, यह है कि क्या अनिर्णनीय एल एम एच = ∅ ।$L_{MH}$$L_{MH} = \emptyset$

4. इसलिए, यह अयोग्य है कि ।$L_{MH} = \emptyset$

यह साबित करता है कि एक टीएम यह तय नहीं कर सकती है कि सभी टीएम पर हॉल्ट की समस्या लागू होती है या नहीं।

क्या मेरी समझ सही है?

अद्यतन: मैं यह दिखाने की कोशिश कर रहा हूं कि "साबित" की कुछ परिभाषा के लिए एक टीएम "हॉल्टिंग समस्या" को साबित नहीं कर सकता है जो सहज रूप से सही लगता है। नीचे एक दृष्टांत दिया गया है कि मुझे क्यों लगता है कि यह सही है।

हम एक टीएम बना सकते हैं जो निम्न तरीके से एल एम एच उत्पन्न करता है । TM एक tuple ( M i , M j , w k , s t e p s ) लेता है । यह simulates एम मैं ( एम जे , w कश्मीर ) के लिए रों टी ई पी एस पुनरावृत्तियों। यदि M i सभी को स्वीकार करता है ( M j , w k$M_{MH}$$L_{MH}$$(M_i,M_j,w_k,steps)$$M_i(M_j, w_k)$$steps$$M_i$$(M_j, w_k)$जोड़े कि पड़ाव, और खारिज कर दिया सभी दूसरों तो स्वीकार करता है एम मैं । अन्यथा, यह M i को अस्वीकार कर देता है यदि M i गलत तरीके से निर्णय लेता है या रुकने में विफल रहता है।$M_{MH}$$M_i$$M_i$$M_i$

रुकता नहीं है, क्योंकि इसमें प्रत्येक M i के लिए अनंत संख्या में जोड़े का मूल्यांकन करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, सभी M i रुकने में विफल रहेंगे। M M H किसी भी M i को स्वीकार या अस्वीकार करने में असमर्थ होगाक्योंकि यह अनुकार से नहीं पता होगा कि सभी M i रुकने में विफल होंगे। इस प्रकार, यह जिस भाषा को परिभाषित करता है वह फिर से नहीं है और न ही निर्णायक है।$M_{MH}$$M_i$$M_i$$M_{MH}$$M_i$$M_i$

मेरे अंतर्ज्ञान को दर्शाता है कि मुझे क्या लगता है कि टीएम के लिए इसका मतलब है कि हॉल्टिंग समस्या को साबित करना। अन्य सुझाव, जैसे कि M M H सभी M i को अस्वीकार करते हैंया एक ज्ञात प्रमाण को आउटपुट करते हैं M M H को पूर्व ज्ञान देते हैं कि रुकने की समस्या सभी M i पर लागू होती है। इसे M M H के रूप में गिननेसे कुछ साबित नहीं हो सकता क्योंकि M M H का आधार यह निष्कर्ष है कि यह साबित हो रहा है, और इस प्रकार परिपत्र है।$M_{MH}$$M_{MH}$$M_i$$M_{MH}$$M_i$$M_{MH}$$M_{MH}$

Comments

आपका फिक्स मदद नहीं करता है। कोई पैरामीटर के साथ कोई समस्या हमेशा निर्णायक होती है, या तो एक ट्यूरिंग मशीन द्वारा जो हमेशा YES आउटपुट करती है, या एक ऐसा जो हमेशा NO आउटपुट करता है। आपके तर्क की लाइन सिर्फ काम नहीं करती है, दुर्भाग्य से। गोडेल की प्रमेय का वास्तविक एनालॉग राइस का प्रमेय है।

— युवल फिल्मस Yu

"यह पूछता है कि क्या यह तथ्य सभी टीएम पर लागू होने वाली समस्या को एक टीएम द्वारा तय किया जा सकता है।" - उस क्वेरी का कोई मतलब नहीं है क्योंकि टीएम के सेट पर हॉल्टिंग समस्या "लागू नहीं" होती है। कम से कम, मुझे नहीं पता कि इसका क्या मतलब है।

— राफेल

आपने राइस के प्रमेय को गलत समझा है। राइस का प्रमेय (एक विशेष मामले में) बताता है कि भाषा अनिर्दिष्ट है। यह नहीं बताता है कि doesn't अनिर्दिष्ट है; वास्तव में, ∅ निर्णायक है। $\{ M : L(M) = \emptyset \}$$\emptyset$$\emptyset$

— युवल फिल्मस

मुझे लगता है कि गलतफहमी यह है कि अभिव्यक्ति "निर्णय एक्स" का क्या मतलब है। औपचारिक रूप से, एक्स को स्ट्रिंग्स पर एक विधेय होना चाहिए, और फिर एक्स तय करने वाली मशीन एक है जो इनपुट एस पर एक्स ( एस ) के सत्य मूल्य को आउटपुट करती है । आपके मामले में क्या विधेय है? इसका इनपुट क्या है, और यह कब सच है?

— युवल फिल्मस

प्रश्न श्रेणी की त्रुटि है। निर्णायकता भाषाओं की एक संपत्ति है (स्ट्रिंग्स का सेट), गणितीय प्रस्ताव नहीं। फॉर्म का कोई भी सवाल "क्या डिकिडेबल है?" जहां एक्स तार का एक सेट नहीं है बस समझ में नहीं आता है। $X$$X$

— डेविड रिचरबी

Answer 1

एक अन्य दृष्टिकोण: चलो बयान "का एक औपचारिक हो एल एम एच = ∅ " में ZFC ; (तुच्छ रूप से) हमारे पास है:$\varphi$$L_{MH} = \emptyset$

• सेट डिसाइडेबल है;$P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$

• आप भी एक टीएम निर्माण कर सकते हैं कि ZFC में सबूत और हाल्ट विश्लेषण करता है, तो इसके बारे में एक प्रमाण founds φ या का एक सबूत ¬ φ ; स्पष्ट रूप से एम हाल्ट;$M$$\varphi$$\neg \varphi$$M$

• सेट अनिर्णनीय$\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

Answer 2

ट्यूरिंग मशीनों की हॉल्टिंग समस्या का समाधान करने की भाषा निर्णायक है। एक ट्यूरिंग मशीन जो यह तय करती है कि वह हमेशा NO आउटपुट करती है।

दूसरे शब्दों में, डिसाइडेबल है।$\emptyset$

आप इस तथ्य से भ्रमित हो सकते हैं कि ट्यूरिंग मशीनों की भाषा जिनकी भाषा खाली है, अनिर्णायक है। यही है, कोई ट्यूरिंग मशीन नहीं है, जो इनपुट , यह तय करती है कि एल ( टी ) = no ।$T$$L(T) = \emptyset$

Comments

खाली भाषा निर्णायक है। हालत से समझौता करो।

— युवल फिल्मस Yu

रुकने की समस्या का फैसला करने वाली ट्यूरिंग मशीनों की भाषा खाली है। खाली भाषा निर्णायक है। इसलिए ट्यूरिंग मशीनों की हॉल्टिंग समस्या का समाधान करने की भाषा निर्णायक है।

— युवल फिल्मस

सवाल यह है कि क्या कोई टीएम ट्यूरिंग मशीनों की भाषा तय कर सकता है कि हॉल्टिंग समस्या क्या है। एक टीएम ऐसा नहीं कर सकता जैसा मैंने ऊपर दिखाया है।

— yters

@yters क्या आप पूछ रहे हैं कि क्या कोई TM साबित कर सकता है कि भाषा खाली है? यह आसानी से ऐसा कर सकता है, केवल एक मौजूदा ज्ञात प्रमाण को आउटपुट करके।

— user253751

TM को कुछ साबित करने के लिए भी इसका क्या मतलब है?

— युवल फिल्मस

Answer 3

आप चावल की प्रमेय को गलत समझते हैं।

इस संदर्भ में राइस प्रमेय का कहना है कि आप इस समस्या का निर्णय नहीं कर सकते हैं "क्या टी खाली भाषा को तय करता है?"।

आपकी समस्या यह तय करने के बारे में नहीं है कि क्या एक मनमानी ट्यूरिंग मशीन खाली भाषा का फैसला करती है। आपकी समस्या यह है कि वहाँ एक एम मौजूद है या नहीं जो खाली भाषा तय करता है।

और ऐसे M का वजूद है। आप इससे भी बेहतर कर सकते हैं: आप वास्तव में इस तरह के एम का निर्माण कर सकते हैं और एक प्रमाण प्रदान कर सकते हैं कि यह खाली भाषा तय करता है।

सामान्य समस्या निर्णायक नहीं होने का मतलब यह नहीं है कि आप विशिष्ट उदाहरणों को हल नहीं कर सकते। वास्तव में, सभी सबूतों की गणना करने के सामान्य उपकरण द्वारा, एक ट्यूरिंग मशीन मौजूद होती है:

• प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन को स्वीकार करता है जिसके लिए एक प्रमाण मौजूद है कि वह खाली भाषा को तय करता है
• प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन को खारिज कर देता है जिसके लिए एक सबूत मौजूद है कि यह खाली भाषा का फैसला नहीं करता है
• अगर यह किसी भी तरह से साबित नहीं किया जा सकता है तो रुकना नहीं है।

Answer 4

विकिपीडिया से पतनशीलता के बारे में परिभाषा :

एक पुनरावर्ती भाषा एक औपचारिक भाषा है, जिसके लिए एक ट्यूरिंग मशीन मौजूद है, जो किसी भी परिमित इनपुट स्ट्रिंग के साथ प्रस्तुत की जाती है , यदि स्ट्रिंग भाषा में है, और स्वीकार करती है और अन्यथा अस्वीकार करती है। ट्यूरिंग मशीन हमेशा रुकती है: इसे एक डिक्रिडर के रूप में जाना जाता है और कहा जाता है कि यह पुनरावर्ती भाषा तय करता है।

दूसरे शब्दों में, यह महत्वपूर्ण है यदि कोई ट्यूरिंग मशीन है जो सभी इनपुट स्ट्रिंग्स का निर्णय लेती है। यह प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन के लिए अशोभनीय है, यह सभी इनपुट स्ट्रिंग्स को तय नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि यह कोई भी या कुछ तार तय नहीं कर सकता है, लेकिन कम से कम एक है (लेकिन व्यावहारिक रूप से उनमें से कम से कम अनंत) यह तय नहीं कर सकता है।

आपके मामले में, तुच्छ ट्यूरिंग मशीन हर निवेश के लिए तय नहीं करता , चाहे एल = ∅ है, लेकिन यह विशेष रूप से जानना चाहता हूँ कि क्या होता है एल एम एच = ∅ ।$L$$L = \emptyset$$L_{MH} = \emptyset$