निर्णायक का रचनात्मक संस्करण?

Question

आज दोपहर के भोजन पर, मैंने अपने सहयोगियों के साथ इस मुद्दे को उठाया , और मेरे आश्चर्य के साथ, जेफ ई। का तर्क है कि समस्या का समाधान करने योग्य नहीं है, उन्हें मना नहीं किया ( यहां गणित पर एक निकट संबंधी पोस्ट)। एक समस्या कथन जो व्याख्या करना आसान है ("पी = एनपी है?") भी निर्णायक है: या तो हां या नहीं, और इसलिए दो टीएम में से एक जो उन उत्तरों को हमेशा आउटपुट करता है, समस्या का फैसला करता है। औपचारिक रूप से, हम सेट तय कर सकते हैं : या तो मशीन है कि आउटपुट केवल निवेश के लिए और अन्यथा यह फैसला करता है, या मशीन है कि निवेश के लिए ऐसा नहीं करता है ।$S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$$2$

उनमें से एक ने इसे मूल रूप से इस आपत्ति के लिए उकसाया: यदि वह कितनी कमजोर है, तो यह तय हो सकता है - कि प्रत्येक प्रश्न जिसे हम एक भाषा के रूप में औपचारिक रूप दे सकते हैं, जिसे हम परिमित होने के लिए दिखा सकते हैं, वह निर्णायक है - फिर हम एक मानदंड को निर्धारित कर सकते हैं किसी भी समस्या को बारी-बारी से कई संभावित उत्तरों के साथ प्रस्तुत नहीं करता है जो इस तरह से औपचारिक रूप से निर्णायक हैं। हालांकि निम्नलिखित संभवतः एक मजबूत मानदंड है, मैंने सुझाव दिया कि शायद इसे सटीक बनाकर आवश्यक किया जा सकता है कि निर्णायकता टीएम दिखाने में सक्षम होने पर निर्भर होना चाहिए, मूल रूप से इस मामले के अंतर्ज्ञानवादी दृष्टिकोण का प्रस्ताव करना (जो मैं इस ओर झुकाव नहीं करता हूं - और न ही मेरे किसी भी सहकर्मी को, उन सभी को बाहर रखे गए कानून को स्वीकार करना चाहिए)।

क्या लोगों ने औपचारिक रूप से औपचारिकता का अध्ययन किया है और निर्णायक क्षमता का निर्माण किया है?

Comments

यदि आपको लगता है कि कोई टैग उपयुक्त होगा, तो उन्हें जोड़ने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

— जी। बाक

Pfew। हालांकि आज दोपहर का भोजन आपके पास था।

— ऑबेरॉन

मेरा संदेह यह है कि रचनात्मक संगणना काफी उबाऊ होगी। (मैं उनकी आपत्ति परिभाषा वे के बारे में शिकायत की तुलना में कमजोर पाते हैं।)

— राफेल

ऐसी मशीन के बारे में जो और of और उसी के अनुसार कार्य करती है? यह मानते हुए कि प्रश्न निर्णायक है, मशीन हमेशा भाषा को रोकती है और स्वीकार करती है। क्या आप इसकी अनुमति देते हैं? $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— युवल फिल्मस

@ G.Bach आप इसे नहीं देखते क्योंकि हम नहीं जानते कि यह मौजूद है। लेकिन अगर आप मान लेते हैं कि स्वतंत्र नहीं है, तो प्रोग्राम काम करता है। यदि यह स्वतंत्र है, तो आपकी भाषा स्वयं मॉडल-निर्भर है, जो कुछ हद तक अजीब है। $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$

— युवल फिल्मस

Answer 1

मुझे लगता है कि आप जो प्रश्न पूछना चाह रहे हैं वह है "कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत रचनात्मक है?"। और यह एक दिलचस्प सवाल है, जैसा कि आप गणित की स्थापना सूची के आधार पर इस चर्चा से देख सकते हैं ।

अप्रत्याशित रूप से, यह माना गया है, क्योंकि रचनात्मक संवेदनशीलता और इसके विपरीत लोगों द्वारा बहुत अधिक पुनरावृत्ति सिद्धांत विकसित किया गया था। उदाहरण के लिए बेसन की पुस्तक और मेटामैटमैटिक्स का आदरणीय परिचय देखें । यह बहुत स्पष्ट है कि पुनरावृत्ति सिद्धांत के अध्यायों के पहले जोड़े न्यूनतम परिवर्तन के साथ एक रचनात्मक सेटिंग में चले जाते हैं: जैसे कि स्नम प्रमेय, राइस के प्रमेय या क्लेने रिकर्सन प्रमेय अपरिवर्तित जीवित रहते हैं।

हालांकि पहले अध्यायों के बाद, चीजें थोड़ी मुश्किल हो जाती हैं। विशेष रूप से, अंकगणितीय पदानुक्रम के उच्च स्तर को आमतौर पर सत्य की धारणा द्वारा परिभाषित किया जाता है। विशेष रूप से, व्यापक रूप से प्रयुक्त प्रमेय जैसे लो बेसिस प्रमेय स्पष्ट रूप से गैर-रचनात्मक प्रतीत होते हैं।

शायद, एक अधिक व्यावहारिक प्रतिक्रिया, हालांकि, यह है कि ये "विरोधाभासी रूप से कम्प्यूटेशनल भाषाएं" केवल एक मूर्खतापूर्ण हैं, जो वास्तविक लंबाई के गैर-मापने योग्य सेटों की तरह महान लंबाई पर अध्ययन किया जा सकता है (और!), लेकिन एक बार प्रारंभिक आश्चर्य हुआ है दूर, एक और अधिक दिलचस्प चीजों के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

Comments

वे महान संकेत की तरह लग रहे हैं, धन्यवाद! मैं एक या तीन दिन के लिए प्रश्न को खुला छोड़ दूंगा, बस यह देखने के लिए कि क्या किसी को पता है कि अन्य जांच के लायक है।

— जी। बछ

मैं कम्प्यूटैबिलिटी भी जोड़ूंगा: डगलस एस ब्रिजस द्वारा एक गणितीय स्केचबुक । उन्होंने परिचय में शास्त्रीय तर्क बनाम रचनात्मक तर्क के मुद्दे पर चर्चा की।

— केवह

Answer 2

शास्त्रीय तर्क में, प्रत्येक कथन किसी भी मॉडल में सही या गलत है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के बारे में कोई भी प्रथम-क्रम कथन "वास्तविक दुनिया" में सही या गलत है (इस संदर्भ में इसे वास्तविक अंकगणित के रूप में जाना जाता है )। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय के बारे में क्या, फिर? यह सिर्फ यह बताता है कि वास्तविक अंकगणित का कोई पुनरावर्ती गुणसूत्रीय स्वयंसिद्ध नहीं है।

के बारे में बनाम , सबसे शोधकर्ताओं का मानना है कि , कुछ है कि , और एक मुट्ठी भर का मनोरंजन विश्वास है कि यह (कहते हैं) ZFC से स्वतंत्र है। मान लीजिए कि आप यह स्वीकार करना चाहते हैं कि यह वास्तव में ZFC से स्वतंत्र नहीं है (उसी तरह जैसे आप स्वीकार करते हैं कि ZFC पहले स्थान पर है)। उस स्थिति में, एक पूरी तरह से स्पष्ट ट्यूरिंग मशीन है जो आपकी भाषा की गणना करती है। मशीन या तो या जब तक कि एक नहीं मिल जाता है, और फिर उसी के अनुसार आगे बढ़ता है। हम साबित कर सकते हैं$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ यह मशीन आपकी भाषा को स्वीकार कर लेती है, भले ही हम अभी भी यह नहीं जानते कि वह भाषा वास्तव में क्या है!

यदि आप स्वीकार नहीं करना चाहते हैं कि द्वारा ZFC द्वारा तय किया गया है, तो आप अभी भी पूछ सकते हैं कि क्या कोई स्पष्ट ट्यूरिंग मशीन है जो आपकी भाषा को स्वीकार करती है। मैं इस मनगढंत सवाल को इच्छुक पाठक पर छोड़ता हूँ।$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

Answer 3

(अस्वीकरण, एक फजी सवाल का एक अजीब जवाब जो शायद cstheory पर बेहतर फिट बैठता है )। constructibility एक "बड़ी बात" सैद्धांतिक गणित में है, लेकिन यह विशेष रूप से इस तरह के semifamous के रूप में निरंतर संदर्भों में दिखाई देता है Banach-Tarski विरोधाभास । ये विरोधाभास आमतौर पर "अधिक असतत" सीएस "अब तक" में नहीं दिखाया गया है । तो क्या (एनालॉग / समानांतर) सीएस में निर्माण क्षमता है? उत्तर इतना स्पष्ट नहीं है। सीएस और दो से अधिक गणित अनुसंधान में होने वाली इसकी अवधारणा इस विशेष क्रूक्स पर "बहुत दूर" से एक साथ बंधी हुई लगती है ।

एक उत्तर यह है कि निर्णायकता का सिद्धांत वास्तव में निर्माणता पर भिन्नता प्रतीत होता है अर्थात यह निर्धारित करने का एक सख्त तरीका है कि कौन से सेट कम्प्यूटेशनल हैं जो निकट से जुड़े हुए प्रतीत होते हैं।

दिल पर व्यवहार्यता "ZFC से स्वतंत्रता" के कुछ मुद्दों से संबंधित है और उन क्षेत्रों में इस पत्र में लंबाई पर विचार किया जाता है आरोनसन पीटी बनाम एनपी, पी बनाम एनपी औपचारिक रूप से स्वतंत्र है? ।

यह वास्तव में नहीं दिखाया गया है कि "विरोधाभास" रचनात्मक मुद्दों की ओर इशारा करते हैं, लेकिन कोई ऐसा हो सकता है जो किसी मोटे सादृश्य के लिए आरोनसंस पेपर के रूप में एक मोटा मार्गदर्शक के रूप में ले सकता है, जहां वह उदाहरण के लिए अलंकृत परिणाम देता है जो विशेष रूप से बेकर में कुछ "विरोधाभासी" स्वाद लगता है गिल सोलोवे 1975 परिणाम देते हैं कि ओर्कल्स दोनों ऐसे मौजूद हैं जैसे कि पी ^ए = एनपी ^ए और पी ^{बी B} एनपी ^बी । अन्य विरोधाभास जैसे थम्स ब्लम गैप और स्पीडअप प्रमेय हैं।

यह भी महज एक संयोग है कि सीएस अपने मूलभूत समय / स्थान पदानुक्रम प्रमेयों में "समय / स्थान" को रचनात्मक कार्यों पर केंद्रित करता है? (जो तब ब्लम जैसी विरोधाभासों को "डिजाइन द्वारा" लगभग बाहर कर देता है ?)

एक अन्य उत्तर यह है कि यह इस खोज की तरह सक्रिय जांच / अनुसंधान के तहत है। निर्माण को गणित में "बड़े कार्डिनल्स" के साथ बाँधने के लिए जाना जाता है: अनंत खेलों के लिए रणनीति जीतना: बड़े कार्डिनल से कंप्यूटर विज्ञान / रेसेयर तक।

"शार्प्स" के बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध प्रयोग का उपयोग करते हुए मार्टिन ने यह निर्धारित किया कि दो खिलाड़ियों के बीच सही जानकारी के हर अनंत खेल में खिलाड़ियों में से एक के लिए एक विजेता रणनीति का अस्तित्व है, बशर्ते कि किसी एक खिलाड़ी का विजेता सेट एक विश्लेषणात्मक हो। एक। मैं उसके सबूत को संशोधित और पूरक करता हूं ताकि राबिन, बुएची-लैंडवेबर, ग्यूरिच-हैरिंगटन प्रमेय की परिमित राज्य निर्धारकता का एक नया प्रमाण प्राप्त किया जा सके: एक विजेता राज्य मशीन द्वारा गणना की गई विजेता रणनीति का अस्तित्व, जब खिलाड़ी के जीतने वाले सेट खुद को परिमित करते हैं। राज्य ने स्वीकार किया।