यह कैसे निर्धारणीय है कि क्या हो सकता है

Question

हमें निम्नलिखित अभ्यास दिया गया था।

चलो

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

सिद्ध है कि गणना योग्य है।$f$

यह कैसे हो सकता है? जहाँ तक मुझे पता है, हम नहीं जानते कि wether में अंकों (या जो) के प्रत्येक अनुक्रम होते हैं और एक एल्गोरिथ्म निश्चित रूप से यह तय नहीं कर सकता है कि कुछ अनुक्रम घटित नहीं हो रहा है। इसलिए मुझे लगता है कि गणना योग्य नहीं है, क्योंकि अंतर्निहित समस्या केवल अर्ध-पतनशील है।$\pi$$f$

Comments

मुझे पूरी तरह से अनभिज्ञ होने के लिए क्षमा करें, मैं स्पष्ट रूप से प्रश्न के कुछ मूलभूत बिंदु को याद कर रहा हूं, लेकिन 0 ^ n हमेशा 0 नहीं है? 32 वें दशमलव स्थान के बाद से यदि पीआई 0 है, तो क्या इसका मतलब च (n) हमेशा 1 नहीं होगा?

— कोरी क्लेन

@CoryKlein: यह औपचारिक भाषा संकेतन है; सुपरस्क्रिप्ट यहाँ का मतलब है गुना संयोजन, यानी । यहां केवल एक प्रतीक है, संख्या नहीं। n एक 5 = एक एक एक एक एक $n$$n$$a^5 = aaaaa$$0$

— राफेल

Answer 1

विचार करने के लिए केवल दो संभावनाएं हैं।

• हर सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ , स्ट्रिंग $0^n$ के दशमलव प्रतिनिधित्व में प्रकट होता है $\pi$ । इस स्थिति में, जो एल्गोरिथ्म हमेशा 1 लौटाता है वह हमेशा सही होता है।

• वहाँ एक सबसे बड़ा पूर्णांक है $N$ ऐसी है कि $0^N$ के दशमलव प्रतिनिधित्व में प्रकट होता है $\pi$ । इस स्थिति में निम्न एल्गोरिथ्म (मान $N$ हार्ड-कोडित के साथ) हमेशा सही होता है:

  Zeros-in-pi(n):
   if (n > N) then return 0 else return 1
  

हमें पता नहीं है कि इनमें से कौन सी संभावना सही है, या दूसरे मामले में $N$ का सही मूल्य क्या है। फिर भी, इनमें से एक एल्गोरिथम सही होने की गारंटी है। इस प्रकार, वहाँ के एक स्ट्रिंग है कि क्या तय करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है $n$ शून्य में प्रकट होता है $\pi$ ; समस्या विकट है।

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गैलिस द्वारा प्रस्तावित निम्नलिखित प्रूफ स्केच के साथ सूक्ष्म अंतर पर ध्यान दें :

1. एक यादृच्छिक ट्यूरिंग मशीन और एक यादृच्छिक इनपुट लें।
2. या तो गणना हमेशा के लिए चलेगी या यह किसी बिंदु पर बंद हो जाएगी और इनमें से हर एक व्यवहार का वर्णन करने वाला एक (स्थिर) कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन है।
3. ???
4. फायदा!

एलेक्स दस कगार बताते हैं:

यह देखें कि हॉल्ट प्रमेय क्या कहता है: यह कहता है कि कोई एकल कार्यक्रम मौजूद नहीं है जो यह तय कर सकता है कि क्या दिया गया कार्यक्रम रुकता है। आप आसानी से दो प्रोग्राम बना सकते हैं जैसे कि या तो कोई गणना करता है कि क्या दिया गया प्रोग्राम रुकता है: पहला हमेशा कहता है कि 'यह रुकता है', दूसरा 'यह रुकता नहीं है' - एक प्रोग्राम हमेशा सही होता है, हम सिर्फ एक की गणना नहीं कर सकते उनमें से है!

sepp2k कहते हैं:

एलेक्स के उदाहरण के मामले में न तो एल्गोरिदम सभी इनपुट के लिए सही परिणाम देगा। इस सवाल के मामले में उनमें से एक होगा। आप दावा कर सकते हैं कि समस्या विकट है क्योंकि आप जानते हैं कि एक एल्गोरिथ्म है जो सभी इनपुट के लिए सही परिणाम देता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप जानते हैं कि कौन सा एल्गोरिथम है। 10

Comments

टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।

— गिल्स

यदि किसी ने यह साबित कर दिया कि "हर सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, स्ट्रिंग 0 ^ n decimal के दशमलव प्रतिनिधित्व में प्रकट होता है तो" क्या होगा? क्या हम अभी भी कहेंगे कि यह समस्या विकट है, इस तथ्य के बावजूद कि कोई भी सही एल्गोरिदम कभी नहीं बनाया जा सकता है?

— अन्य

@ पंख हाँ, हम करेंगे।

— जेफई

@ जेफ़े ठीक है। क्या अंतर्ज्ञानवादी तर्क में एक प्रमाण संभव है? या बाहर रखा गया मध्य का कानून यहाँ आवश्यक है?

— अन्य

$N$$M_N$

Answer 2

बस जेफ के जवाब पर थोड़ा विस्तार पोस्ट कर रहा हूं।

हम जानते हैं कि दो फ़ंक्शन / मामले मौजूद हैं जो फ़ंक्शन को गणना कर सकते हैं f (n):

1. एक फ़ंक्शन जो हमेशा सच होता है (सभी एन के लिए, लगातार 0 की संख्या मौजूद है)
2. एक फ़ंक्शन जो सच में वापस आ जाएगा यदि n एक पूर्णांक N से छोटा है, जहां N को लगातार 0 की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है जो दिए गए अपरिमेय संख्या में मौजूद है (अन्यथा यह गलत है)।

इन कार्यों में से एक और केवल एक ही सही हो सकता है। हम नहीं जानते कि कौन सा है, लेकिन हम निश्चित रूप से जानते हैं कि उत्तर मौजूद है। कम्प्यूटेबिलिटी के लिए आवश्यक है कि एक ऐसा फंक्शन मौजूद हो जो कदमों की सीमित मात्रा में उत्तर निर्धारित कर सके।

केस 1 में चरणों की संख्या तुच्छ रूप से सिर्फ 1 लौटने के लिए बाध्य है।

$N$$T_N(n)$$n < N$$N$$N$$T_N(n)$$n < N$

हालांकि दो मामलों के बीच चयन करना संभव नहीं है (हालांकि एक दूसरे की तुलना में अधिक संभावना है), हम जानते हैं कि उनमें से एक को सही होना चाहिए।

एक साइड नोट के रूप में: हमारा समाधान यह बताता है कि जब हम यह निर्धारित नहीं कर सकते हैं कि कौन सा फ़ंक्शन एक सही मूल्य प्राप्त करेगा, तो संगणना का सार प्रमाण के निर्माण पर निर्भर नहीं करता है। शुद्ध अस्तित्व पर्याप्त है।

Comments

सभी गणितज्ञ इसे स्वीकार नहीं करते हैं - जैसे अंतर्ज्ञानवादी नहीं।

— रीइनियरियरपोस्ट

$P\lor\lnot P$

Answer 3

निम्नलिखित प्रमाण प्रयास का चरण 5 अन्यायपूर्ण है, और वास्तव में गलत है - एक प्रतिधारण यहां पाया जा सकता है । (धन्यवाद, युवल; यह स्केचिएस्ट स्केच के हिस्से जैसा महसूस हुआ)। मैंने उत्तर यहां छोड़ दिया है क्योंकि मुझे लगता है कि गलती शिक्षाप्रद है।

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पहला उतर: जेफ की जोड़ी पर्याप्त है; f या तो संगणक है।

$\pi$
$\pi$
$\pi$

$\pi$
$\pi$

Comments

$\pi$$\pi$

आह, आगमनात्मक छलांग के खतरे: पी अच्छा पकड़, धन्यवाद।

— स्टीफन वोरिस

संयोग से, यदि निष्कर्ष गलत है, तो क्या मेरे लिए इसे हटाने या इसे छोड़ने और संपादित करने के माध्यम से स्वीकार करने का अधिक अर्थ है कि यह गलत है?

— स्टीफन वोरिस

$\pi$$b$$b$

@DavidRicherby बड़ी खुली समस्या, आप कहते हैं? हाँ, यह जानना अच्छा है। मुझे लगता है कि यह एक यथोचित शैक्षिक गलती है, क्योंकि ओपी का सवाल कितना मुश्किल है, इस बात के प्रमाण इस तरह हैं - जाहिर है कि मैं भी गलत हो सकता हूं, इसको देखते हुए।

— स्टीफन वोरिस