"न्यूनतम" अंतर्ज्ञान प्रकार के सिद्धांत?

Question

मुझे आश्चर्य है कि लोग नए प्रकार के सिद्धांतों को जोड़ते रहते हैं, लेकिन कोई भी एक न्यूनतम सिद्धांत का उल्लेख नहीं करता है (या मुझे नहीं मिल सकता है)। मैंने सोचा कि मठवासी कम से कम सामान पसंद करते हैं, नहीं?

यदि मैं सही ढंग से समझता हूं, तो एक प्रकार के सिद्धांत में एक impredicative Prop, λ-abstraction और Π- type पर्याप्त के साथ। प्रत्यय कहकर मेरा मतलब है कि इसे अंतर्ज्ञानवादी तर्क के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। अन्य प्रकारों को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

$$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\ $$

मेरा पहला सवाल यह है कि क्या वे ( λ, Π) वास्तव में पर्याप्त हैं? मेरा दूसरा सवाल यह है कि अगर हमारे पास एमएलटीटी में एक impredicative नहीं है, तो हमें न्यूनतम क्या चाहिए Prop? MLTT में, चर्च / स्कॉट / जो भी एन्कोडिंग काम नहीं करता है।

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Comments

एक "न्यूनतम" प्रकार क्या सम्मान होगा। आपकी राय में इसके कौन से गुण होंगे?

— राफेल

कोक क्या साबित कर सकता है? मैं मानता हूं कि मेरे मन में कोई स्पष्ट उत्तर नहीं है D:

— '

लेकिन मैंने सुना है कि Coq ने ब्रह्मांड बहुरूपता को जोड़ा है, जो कि न्यूनतम प्रणाली जिसे मैंने प्रस्तावित किया है वह स्पष्ट रूप से काम नहीं करता है। "एमएलटीटी (सामान्य अर्थों में) क्या साबित कर सकता है?" मैंने सोचा कि डब्ल्यू-प्रकारों को अनुकरण किया जा सकता है? हालाँकि मैंने अपना सिर सामान्य रूप से इसके चारों ओर नहीं लपेटा है।

— ।

रुको, ऐसा लगता है कि अप्रत्यक्ष के साथ Propहमें समानता की भी आवश्यकता नहीं है।

— 盛安安

Answer 1

गैलिस के स्पष्टीकरण के बारे में विस्तार से बताने के लिए, एक प्रकार का सिद्धांत, जिसमें प्रतिपादक प्रोप और आश्रित प्रकार हैं, को निर्माणों के कलन के कुछ उपतंत्र के रूप में देखा जा सकता है, जो आमतौर पर चर्च के प्रकार सिद्धांत के करीब होता है । चर्च के प्रकार सिद्धांत और सीओसी के बीच संबंध इतना सरल नहीं है, लेकिन यह खोज की गई है, विशेष रूप से गेवर्स उत्कृष्ट लेख द्वारा ।

अधिकांश उद्देश्यों के लिए, हालांकि, सिस्टम को समकक्ष के रूप में देखा जा सकता है। तब वास्तव में, आप बहुत कम के साथ प्राप्त कर सकते हैं, विशेष रूप से यदि आप शास्त्रीय तर्क में रुचि नहीं रखते हैं, तो केवल एक चीज जो आपको वास्तव में चाहिए वह है अनंत का एक स्वयंसिद्ध : यह सीओसी में साबित नहीं है कि किसी भी प्रकार में 1 से अधिक तत्व हैं! लेकिन केवल एक स्वयंसिद्ध व्यक्त करने के साथ कि कुछ प्रकार असीम है, इंडक्शन सिद्धांत और एक्सिमॉम साथ एक प्राकृतिक संख्या प्रकार कहें , आप बहुत दूर प्राप्त कर सकते हैं: इस प्रणाली में अधिकांश स्नातक गणित को औपचारिक रूप दिया जा सकता है (जैसे, यह कठिन है अपवर्जित मध्य के बिना कुछ चीजें करने के लिए)।$0\neq 1$

इमप्रोडक्टिव प्रॉप के बिना, आपको थोड़ा और काम करने की आवश्यकता है। के रूप में टिप्पणी में बताया गया है, एक extensional प्रणाली (समानता के संबंध में कार्यात्मक extensionality के साथ एक प्रणाली) बस के साथ द्वारा प्राप्त कर सकते हैं और Π -types, बी ओ ओ एल , खाली और इकाई प्रकार ⊥ और ⊤ , और डब्ल्यू प्रकार के। यह संभव नहीं है कि आयामी सेटिंग में: आप कई और अधिक प्रोत्साहन की जरूरत है। ध्यान दें कि उपयोगी डब्ल्यू-प्रकारों का निर्माण करने के लिए, आपको B o o l से अधिक प्रकारों का निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए जैसे:$\Sigma$$\Pi$$\mathrm{Bool}$$\bot$$\top$$\mathrm{Bool}$

$$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$$

मेटा-गणित करने के लिए आपको शायद कम से कम एक ब्रह्मांड की आवश्यकता होगी (कहते हैं, हेमिंग अंकगणित का एक मॉडल बनाने के लिए)।

यह सब बहुत कुछ लगता है, और यह एक सरल प्रणाली की तलाश में ललचाता है, जिसमें सीओसी की पागल छाप नहीं है, लेकिन कुछ नियमों में लिखना अभी भी अपेक्षाकृत आसान है। हाल ही में एक ऐसा करने के लिए प्रयास है प्रणाली$\Pi\Sigma$ Altenkirch द्वारा वर्णित एट अल । यह पूरी तरह से संतोषजनक नहीं है, क्योंकि स्थिरता के लिए आवश्यक सकारात्मकता की जाँच प्रणाली "जैसा है" का हिस्सा नहीं है। मेटा-थ्योरी को अभी भी बाहर करने की आवश्यकता है।

एक उपयोगी अवलोकन लेख है ZF एक हैक? फ्रीक विडिजक द्वारा, जो वास्तव में इन सभी प्रणालियों (नियमों और स्वयंसिद्धों की संख्या) पर कठिन संख्याओं की तुलना करता है।

Comments

$\Sigma$

वास्तव में नहीं, मेरा मानना ​​है कि आपको उन लोगों को भी संभालने की जरूरत है। मेरी गलती।

— कोड़ी

Answer 2

चर्च एन्कोडिंग के साथ समस्या यह है कि आप अपने प्रकारों के लिए प्रेरण सिद्धांत प्राप्त नहीं कर सकते हैं, जब वे उनके बारे में बयान देने की बात करते हैं तो वे बहुत बेकार हैं।

प्रणाली की न्यूनतमता के संदर्भ में, टिप्पणियों में उल्लिखित एक मार्ग कंटेनर और (W / M) का उपयोग करना है, लेकिन वे बल्कि बहुआयामी हैं ताकि वास्तव में Coq या Agda जैसी प्रणालियों में काम करना सुविधाजनक न हो।

$\Pi$$\Sigma$$\mu$$\nu$

$\mu$$\nu$