3 प्रतीक एक आयामी सेलुलर ऑटोमेटा के लिए रुकने की समस्या क्या है?

Question

मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं कि 3-प्रतीक एक-आयामी सेलुलर ऑटोमेटा के लिए हॉल्टिंग की समस्या क्या है।

परिभाषा चलो समय चरण i पर सिस्टम के विन्यास को दर्शाता है । अधिक औपचारिक रूप से च : एक * × एन → एक * है, जहां एक वर्णमाला है।$f(w,i)$$i$$f:A^*\times \mathbb{N} \to A^*$$A$

परिभाषा। एक सेलुलर automaton विन्यास में रोक दिया है , अगर ∀ कश्मीर ∈ एन हम उस राशि च ( डब्ल्यू , मैं ) = च ( डब्ल्यू , मैं + कश्मीर ) ।$f(w,i)$$\forall k\in \mathbb{N}$$f(w,i)=f(w,i+k)$

किसी दिए गए सेलुलर ऑटोमेटन के लिए रुकने की समस्या इस प्रकार है:

इनपुट: एक परिमित शब्द प्रश्न: होगा कुछ राज्य में automaton पड़ाव रों ?$w$
$s$

प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटा (2 प्रतीकों के साथ) यहां परिभाषित किए गए हैं । मैं उसी तरह के सेलेरर ऑटोमेटा पर केंद्रित हूं, सिवाय इसके कि मैं सीए के मामले में केवल 2 प्रतीकों के बजाय 3 प्रतीकों के साथ दिलचस्पी रखता हूं।

अब से, मैं के रूप में मेरे नियमों को निरूपित होगा , जिसका अर्थ है कि 3 पड़ोसी प्रतीकों उनके नीचे एक और एक का उत्पादन।$***\to*$

प्राथमिक, 2-प्रतीक सेलुलर ऑटोमेटा के लिए रुकने की समस्या निर्णायक है

मैं एक सफेद सेल को निरूपित करने के लिए और एक काले रंग को दर्शाने के लिए 1 का उपयोग करूंगा ।$0$$1$

अगर हमारे नियम , ००१ → १ , १०० → १ हैं, तो हम जानते हैं कि ऑटोमेटन रुकेंगे नहीं। क्योंकि पहले नियम के साथ, चूंकि हमारा ग्रिड अनंत है, इसलिए हमारे पास हमेशा 3 सफेद कोशिकाएं होंगी जो एक ब्लैक सेल उत्पन्न करेंगी। दूसरे और तीसरे नियम के साथ इस शब्द का विस्तार पक्षों तक होगा और ऑटोमेटन कभी भी बंद नहीं होगा।$000 \to 1$$001 \to 1$$100 \to 1$

बाकी मामलों में हम इसे चरणों के लिए विकसित करने दे सकते हैं और देखें कि क्या यह रुकता है। यदि यह रुकता है, तो ठीक है, यह रुक जाता है, अगर यह नहीं है तो यह कुछ संयोजनों को दोहरा रहा है और एक लूप में फंस गया है, इसलिए हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह रुक नहीं जाएगा।$2^n$

मैं 3 प्रतीक मामले के लिए क्या पता लगा है

यह स्पष्ट है कि यह रुक नहीं जाएगा यदि हमारे पास या 000 → 2 नियम हैं । लेकिन फॉर्म के पक्ष नियम 00 x → y और x 00 → y का विश्लेषण करना कठिन है, क्योंकि क्या होगा यदि हमारे पास नियम 002 → 1 और 001 → 0 हैं ?$000 \to 1$$000 \to 2$$00x \to y$$x00 \to y$$002 \to 1$$001 \to 0$

यहाँ मैं क्या लेकर आया हूँ:

आइए ऐसे नियमों के सभी संयोजनों पर विचार करें:

1. और 002 → $001 \to 0$$002 \to 0$
2. और 002 → $001 \to 0$$002 \to 1$
3. और 002 → $001 \to 0$$002 \to 2$
4. और 002 → $001 \to 1$$002 \to 0$
5. और 002 → $001 \to 1$$002 \to 1$
6. और 002 → $001 \to 1$$002 \to 2$
7. और 002 → $001 \to 2$$002 \to 0$
8. और 002 → $001 \to 2$$002 \to 1$
9. और 002 → $001 \to 2$$002 \to 2$

मैंने प्रपत्र के नियमों के लिए मामले नहीं लिखे , क्योंकि वे सममित हैं।$x00 \to y$

इसलिए, पहले मामले में यह स्पष्ट है कि इनपुट शब्द पक्षों तक विस्तारित नहीं होगा, क्योंकि वे साइड सिंबल नियम शून्य उत्पन्न करते हैं।

5, 6, 8, 9 के मामलों में यह स्पष्ट है कि ऑटोमेटन कभी भी बंद नहीं होगा, क्योंकि इनपुट शब्द का विस्तार होगा।

मामले 2,3,4,7 अधिक दिलचस्प हैं। सबसे पहले, आइए ध्यान दें, कि केस २ केस that के समान है और केस ३ केस ४ के समान है। इसलिए, आइए केवल २ और ३ मामलों पर विचार करें।

मैं केस 3 पर विचार करने जा रहा हूं, क्योंकि यह आसान है।

हमारे पास और 002 → 2 है । यह स्पष्ट है कि यदि हमारे इनपुट शब्द का पहला या अंतिम प्रतीक 2 है , तो हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऑटोमेटन रुक नहीं जाएगा। लेकिन अगर वे '1' हैं, तो हमें अधिक सामान देखना होगा, विशेष रूप से, नियमों को देखें जो अंतिम या पहले प्रतीकों को 2 में बदल सकते हैं , क्योंकि यदि हमारे पास हैं, तो उसके बाद वे 2 का उत्पादन करते हैं , हम यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि ऑटोमेटन रुक नहीं पाएगा। (यह शब्द पक्ष (नों) तक विस्तारित होगा।$001 \to 0$$002 \to 2$$2$$2$$2$

यहां सभी संयोजन दिए गए हैं, जिन पर हमें विचार करने की आवश्यकता है:

010 011 012
 0   0   0
 0   0   1
 0   0   2
 0   1   0
 0   1   1
........... etc

यदि उपरोक्त तालिका में पहला ट्रिपल है तो क्या होता है, इसका स्पष्टीकरण

$w$$1$$010 \to 0$$011 \to 0$$012 \to 0$$2$$002 \to 2$$|w|/2$

सामान्यीकृत मामला 3

$3^n$$2$

जहां मैं फंस जाता हूं

अब आइए केस 2 पर विचार करें।

$001 \to 0$$002 \to 1$

और यहाँ है जहाँ मैं फंस गया और पता नहीं क्या करना है।

$1$$2$$2's$$1$$01x \to y$

यहाँ तालिका है:

010 011 012
 0   0   0
 0   0   1
 0   0   2
 0   1   0
 0   1   1
 0   1   2
 0   2   0
 0   2   1
 0   2   2
 1   0   0
 1   0   1
 1   0   2
 1   1   0
 1   1   1
 1   1   2
 1   2   0
 1   2   1
 1   2   2
 2   0   0
 2   0   1
 2   0   2
 2   1   0
 2   1   1
 2   1   2
 2   2   0
 2   2   1
 2   2   2

$2$$3^n$$2$

$2$

क्या आप लोग मुझे बता सकते हैं कि इसे कैसे हल किया जाए? मैं इसके चारों ओर अपना सिर लपेटने के लिए प्रतीत नहीं हो सकता।

या, यदि यह 3 प्रतीक सेलुलर ऑटोमेटन कुछ ऐसा दिखता है, जिसके लिए रुकने की समस्या अनिर्दिष्ट साबित हुई है, तो मैं उस 3 प्रतीक सेलुलर ऑटोमेटा को कैसे कम कर सकता हूं?

Comments

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— गिल्स एसओ- बुराई को रोकना '

Answer 1

मुझे यह लेख मिला है: http://www.dna.caltech.edu/~woods/download/NearyWoodsMCU07.pdf और दिखाएगा कि कैसे साबित करना है कि हॉल्टिंग समस्या 15-सिंबल ऑटोमेटा के लिए अनिर्दिष्ट है।

आइए ट्यूरिंग मशीन के विशिष्ट निर्देशों को देखें, हमारे पास है:

$q,x\to p,y,L$

$q,x\to p,y,R$

$x$$q$$x$$y$$p$

$A$$R$$Q$$\Sigma=A\bigcup Q\bigcup \{q'|\forall q \exists r\in R, r=p,x\to q,y,L\}$$q$$p,x\to q,y,L$$q'$

$s=...xabqzyk...$$q\in Q$$q$$z$

आइए देखें कि हम टीएम के संचालन को कैसे अनुकरण कर सकते हैं। आइए पहले दूसरे पर विचार करें:

$q,z\to p,y,R$

$s=...xabqzyk...$$...xabypyk...$

$qz\alpha\to p, \forall \alpha \in \Sigma$

$\alpha qz\to y, \forall \alpha \in \Sigma$

पहला मामला थोड़ा और जटिल है, हमारे पास है:

$q,z\to p,y,L$

$s=...xabqzyk...$$...xapbyyk...$$abq\to p$$abq$

पहला कदम:

$qz\alpha\to y, \forall \alpha \in \Sigma$

$\alpha qz\to p', \forall \alpha \in \Sigma$

दूसरा कदम:

$\alpha \beta p'\to p, \forall \alpha, \beta \in \Sigma$

$\alpha p' \beta\to \beta, \forall \alpha, \beta \in \Sigma$

अन्य सभी CA नियमों के लिए, जिनके लिए TM में कोई नियम नहीं है, हम निम्नलिखित लिखेंगे:

$\alpha \beta \gamma \to \beta, \forall \alpha,\beta,\gamma \in \Sigma$

$U_{6,4}$

$q'$$p,x\to q,y,L$$u_1, u_3, u_4, u_5, u_6$

तो, अब 2 और 15 प्रतीकों (अनन्य) के बीच एक अंतर है, जिसके बारे में हमें पता नहीं है।