हॉल्टिंग समस्या कम्प्यूटेशन के उच्च-स्तरीय विवरण से बचकर "हल" हो सकती है?

Question

मैंने हाल ही में एक दिलचस्प सादृश्य सुना है, जो बताता है कि ट्यूरिंग समस्या के अनिर्णयता का ट्यूरिंग प्रमाण रसेल के नाई के विरोधाभास के समान है।

इसलिए मुझे आश्चर्य हुआ: गणितज्ञों ने अंततः क्षेत्र के कैंटर के अनुभवहीन निर्माण से एक्सीमोंस (जेडएफसी सेट सिद्धांत) के एक अधिक जटिल प्रणाली के लिए संक्रमण करके सुसंगत सिद्धांत बनाने का प्रबंधन किया, जिससे महत्वपूर्ण बहिष्करण (प्रतिबंध) और परिवर्धन हो गए।

तो क्या यह संभव हो सकता है और ट्यूरिंग मशीनों की तुलना में सामान्य गणना का एक अमूर्त विवरण है जो अधिक शक्तिशाली और अधिक अभिव्यंजक है, और जिसके साथ या तो कोई अस्तित्वगत प्रमाण प्राप्त कर सकता है या शायद हल करने की समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म भी प्राप्त कर सकता है। एक मनमानी ट्यूरिंग-मशीन?

Comments

कंप्यूटर विज्ञान स्टैक एक्सचेंज में आपका स्वागत है। कृपया cs.stackexchange.com/tour.if पढ़ें आपने अभी तक ऐसा नहीं किया है। --- आपने टीएम से अधिक शक्तिशाली मॉडल के लिए क्या प्रयास किया? आपको क्या रोक रहा है?

— Babou

@ बबाऊ इसके विपरीत, आपको कम शक्तिशाली मॉडल की आवश्यकता है ।

— युवल फिल्मस जूल

@YuvalFilmus खैर, ओपी एक अधिक शक्तिशाली मॉडल के लिए पूछ रहा है, कमजोर नहीं। --- H2CO3 के लिए माफी के साथ ... मेरा सवाल वास्तव में एक मजाक था क्योंकि यह एक मानक सवाल है जब लोग सवाल के रूप में अपना होमवर्क जमा करते हैं। यह निश्चित रूप से यहां उचित नहीं था, क्योंकि कोई भी उम्मीद नहीं कर रहा है कि आपको ऐसा कोई मॉडल मिलेगा। मुझे उम्मीद है कि आप इसे बहुत अम्लीय रूप से नहीं लेंगे।

— Babou

आप Hypercomputation en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputation के बारे में पढ़ना पसंद कर सकते हैं ।

— एरिक टॉवर्स

Answer 1

आप वास्तव में तुलना नहीं कर सकते। Naive सेट सिद्धांत में विरोधाभास थे जिन्हें ZFC सेट सिद्धांत द्वारा समाप्त कर दिया गया था। सिद्धांत को संगति के लिए सुधारना होगा, क्योंकि वैज्ञानिक कार्य की एक मूल धारणा यह है कि संगति प्राप्त करने योग्य है (अन्यथा तर्क एक परिवर्तनशील व्यवसाय बन जाता है)। मुझे लगता है कि गणितज्ञों को उम्मीद थी कि यह संभव हो सकता है, और इस मुद्दे को हल करने के लिए काम किया।

गणना सिद्धांत और रुकने की समस्या के साथ ऐसी कोई स्थिति नहीं है। कोई विरोधाभास नहीं है, कोई असंगति नहीं है। यह सिर्फ इतना होता है कि कोई ट्यूरिंग मशीन नहीं है जो टीएम हॉल्टिंग की समस्या को हल कर सकती है। यह केवल एक प्रमेय है, विरोधाभास नहीं।

तो यह हो सकता है कि ब्रह्मांड के बारे में हमारी समझ में कुछ सफलता की गणना करने के लिए हम आगे क्या कल्पना कर सकते हैं। इस तरह की एकमात्र घटना, बहुत कमजोर रूप में, जो टीएम दायरे में रहती है, संभवतः क्वांटम कंप्यूटिंग थी। यह बहुत ही कमजोर उदाहरण के अलावा जो जटिलता को छूता है (कम्प्यूटिंग में कितना समय लगता है?) कम्प्यूटेबिलिटी के बजाय?

इसके अलावा, रुकने की समस्या इस तथ्य का एक सीधा परिणाम है कि ट्यूरिंग मशीन पाठ के एक परिमित टुकड़े द्वारा वर्णन योग्य हैं, प्रतीकों का एक क्रम। यह वास्तव में हमारे सभी ज्ञान (जहां तक ​​हम जानते हैं) के बारे में सच है, और यही कारण है कि भाषण और किताबें इतनी महत्वपूर्ण हैं। यह साक्ष्यों और अभिकलनों का वर्णन करने के लिए हमारी सभी तकनीकों का सच है।

यहां तक ​​कि अगर हम गणना करने के तरीके को खोजने के लिए भी थे, तो टी + मशीनों के साथ कहें। या तो इसका मतलब यह होगा कि हमने परिमित दस्तावेज लिखने से परे ज्ञान को व्यक्त करने का एक तरीका खोज लिया है, जिस स्थिति में पूरी चीज मेरे अधिकार क्षेत्र से बाहर हो जाती है (मैं पूर्ण अक्षमता का दावा करता हूं) और शायद किसी और की। या यह अभी भी परिमित दस्तावेजों में स्पष्ट होगा, जिस स्थिति में यह टी + मशीनों के लिए अपनी स्वयं की समस्या है। और आप फिर से सवाल पूछ रहे होंगे।

वास्तव में वह स्थिति रिवर्स में मौजूद है। कुछ प्रकार की मशीनें ट्यूरिंग मशीनों की तुलना में कमजोर हैं, जैसे कि लाइनियर बाउंडेड ऑटोमेटा (एलबीए)। वे हालांकि काफी शक्तिशाली हैं, लेकिन यह बिल्कुल वैसा ही दिखाया जा सकता है जैसा कि टीएम के लिए किया जाता है कि एलबीए एलबीए के लिए समस्या को हल नहीं कर सकता है। लेकिन टीएम इसे एलबीए के लिए हल कर सकते हैं।

अंत में, आप ओरेकल की शुरुआत करके अधिक शक्तिशाली कम्प्यूटेशनल मॉडल की कल्पना कर सकते हैं, यह ऐसे उपकरण हैं जो विशिष्ट समस्याओं के जवाब दे सकते हैं, और जवाब के लिए एक टीएम द्वारा बुलाया जा सकता है, लेकिन दुर्भाग्य से शारीरिक रूप से मौजूद नहीं है। इस तरह के ओरेकल-विस्तारित टीएम को टी + मशीन का एक उदाहरण है जिसे मैंने ऊपर माना है। उनमें से कुछ टीएम हॉल्टिंग की समस्या को हल कर सकते हैं (अमूर्त रूप से, वास्तविक के लिए नहीं), लेकिन अपनी खुद की हॉल्टिंग समस्या को हल नहीं कर सकते हैं, यहां तक ​​कि सार भी।

Comments

ZFC को मानना सुसंगत है, यह अभी भी अधूरा है , ऐसे वाक्य हैं जिन्हें हम ZFC से न तो प्रमाणित कर सकते हैं और न ही अस्वीकृत कर सकते हैं, और यह स्पष्ट रूप से समस्या को हल करने से संबंधित नहीं है, यदि पड़ाव हल कर रहे थे तो हम सभी वाक्यों को साबित या अस्वीकार कर सकते थे। यह गणित है, और यह हल करने के लिए एक असंगति नहीं है, बल्कि एक प्रमेय (गोडेल)

— हर्नान_शे जूल

@ हरनान_चाहे ... हाँ और ... क्या ...? अगर आपको लगता है कि असंगति अधूरेपन से बदतर नहीं है, तो यह आपके लिए व्यक्तिगत निर्णय है। मुझे संदेह है कि अधिकांश गणितज्ञ सहमत होंगे। आप TM को पसंद नहीं कर सकते जो समाप्त नहीं करता है। लेकिन क्या आप उन्हें एक ही इनपुट पर कभी-कभी हां और कभी-कभी नहीं कहते हुए हमेशा के लिए समाप्त करना बेहतर चाहेंगे। आप क्या जवाब देंगे? और अगर आप गैर-निर्धारणवाद सोचते हैं ... दो बार सोचें।

— बाबू जूल

मैंने केवल यह स्पष्ट करने के लिए टिप्पणी की है कि कंप्यूटर विज्ञान और गणित एक ही समस्याओं से लड़ते हैं, पाठकों को उत्तर का गलत अर्थ निकालने से बचने के लिए जैसे कि गणित को जेडएफसी के साथ अपनी नींव की समस्याओं को हल किया गया था और समस्या को हल करना सिर्फ एक कंप्यूटर विज्ञान की समस्या थी, ऐसा नहीं है, अपूर्णता और हॉल्टिंग समस्या के बीच एक से एक पत्राचार है, यह एक ही मुद्दा है। मैं नहीं समझता कि अपूर्णता असंगतता से भी बदतर या बेहतर है, लेकिन मुझे लगता है कि यदि आप उच्चतर व्यवस्था का निर्माण करना चाहते हैं तो अपूर्णता असंगतता बन जाएगी।

— हर्नान_शेले जूल २15

Answer 2

खैर, आप हमेशा ट्यूरिंग मशीन को साधारण ट्यूरिंग मशीन हॉल्टिंग समस्या के लिए एक ओरेकल से लैस मान सकते हैं। यही है, आपकी नई मशीन में एक विशेष टेप है, जिस पर वह एक साधारण ट्यूरिंग मशीन और उसके इनपुट का विवरण लिख सकता है और पूछ सकता है कि क्या यह मशीन उस इनपुट पर टिका है। एक ही चरण में, आपको एक उत्तर मिलता है, और आप इसका उपयोग आगे की गणना करने के लिए कर सकते हैं। (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह एक एकल चरण में है या नहीं: यदि यह कुछ चरणों में सीमित संख्या में होने की गारंटी है तो यह पर्याप्त होगा।)

हालांकि, इस दृष्टिकोण के साथ दो समस्याएं हैं।

1. इस तरह के एक ओरेकल से लैस ट्यूरिंग मशीनें अपनी हॉल्टिंग समस्या का फैसला नहीं कर सकती हैं: ट्यूरिंग का साधारण हॉल्टिंग समस्या की अशुद्धि का प्रमाण आसानी से इस नई सेटिंग में बदल सकता है। वास्तव में, एक अनंत पदानुक्रम है, जिसे "ट्यूरिंग डिग्री" के रूप में जाना जाता है, जो पिछले एक की हॉल्टिंग समस्या के लिए पदानुक्रम के अगले स्तर को देकर उत्पन्न होता है।

2. किसी ने कभी भी ऐसा कोई सुझाव नहीं दिया है जिसमें इस तरह का एक दैहिक रूप से लागू किया जा सके। यह एक सैद्धांतिक उपकरण के रूप में बहुत अच्छी तरह से है, लेकिन किसी को कोई सुराग नहीं है कि किसी को कैसे बनाया जाए।

इसके अलावा, ध्यान दें कि ZFC एक मायने में, भोले सेट सिद्धांत से कमजोर है, मजबूत नहीं है। ZFC रसेल के विरोधाभास को व्यक्त नहीं कर सकता है, जबकि भोले सेट सिद्धांत कर सकते हैं। जैसे, एक बेहतर सादृश्य यह पूछना होगा कि क्या ट्यूरिंग मशीनों की तुलना में कमजोर मॉडलों की गणना के लिए हॉल्टिंग समस्या विकट है। उदाहरण के लिए, नियतात्मक परिमित ऑटोमेटा (डीएफए) के लिए हॉल्टिंग की समस्या कम होती है, क्योंकि डीएफए की गारंटी हर इनपुट के लिए दी जाती है।

Comments

मुझे लगता है कि ऑटोमेटा इफ के किसी भी परिवार द्वारा इसकी स्वयं की समस्या को हल किया जा सकता है यदि यह तुच्छ है, या तो वे सभी को रोकते हैं या उनमें से कोई भी ऐसा नहीं करता है (जो इस मामले में अजीब माना जा सकता है)।

— बबौ

@ बबौ: ऑटोमेटा के बारे में क्या है जहां मशीन 0 लूप्स हमेशा के लिए है, मशीन 1 एफएएलएसई को आउटपुट करती है यदि इसका इनपुट 0 है और आउटपुट TRUE है और फिर रुका है। अन्य सभी मशीनें FALSE और फिर हाल्ट का उत्पादन करती हैं। क्या ऑटोमेटा का कोई परिवार 1 प्रोग्राम में गैर-तुच्छ पड़ाव समस्या हल करता है? या यह भी एक संपत्ति नहीं है, कुछ संपत्ति, जैसे किसी भी तरह की रचना के कारण एक ऑटोमेटन परिवार नहीं है?

— स्टीव जेसोप

@SteveJessop खैर, आप (और डेविस रिचरबी) एक अर्थ में शायद सही हैं। मुझे क्या परेशान करता है कि यह एक आकस्मिक उदाहरण है। आप एक बहुत ही कमजोर परिवार का निर्माण करते हैं जैसे कि परिवार में एक मशीन पूरे परिवार के लिए एक रुकने का काम करती है। लेकिन, जैसा कि आप खुद पर संदेह करते हैं (रचना के बारे में आपकी टिप्पणी), कुछ बुनियादी बंद संपत्ति हो सकती है जो गायब है ताकि समस्या को तुच्छ बनाया जा सके। मेरे पास एक तैयार उत्तर नहीं है, और मैं इस बात से सहमत हूं कि मेरी टिप्पणी में ऑटोमेटा के परिवार का गठन करने के लिए और अधिक योग्यता की आवश्यकता है, लेकिन आपका प्रति-उदाहरण मुझे असंबद्ध छोड़ देता है।

— बबलू

Answer 3

चेतावनी: एक दार्शनिक / गैर-कठोर जवाब

यह थोड़ा "दार्शनिक" हो सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह आपके प्रश्न की भावना को फिट बैठता है।

एक गैर-दोहराने वाली मशीन

हॉल्टिंग समस्या के प्रमाण का एक कोने का पत्थर यह है कि ट्यूरिंग मशीन एक फ़ंक्शन की तरह व्यवहार करती है: एक ही इनपुट के लिए यह हमेशा एक ही आउटपुट देता है। यदि आप इस संपत्ति को हटा देते हैं, तो आपको "सामान्य" समस्या से निपटने की ज़रूरत नहीं है, इस अर्थ में कि मशीन अपने गुणों की खोज कर सकती है। लेकिन आप इस तरह की मशीन के वांछनीय सैद्धांतिक गुणों का एक बहुत ढीला कर देते हैं।

गुणों को हटाना

यह एक छोटे से सेट सिद्धांत से श्रेणी सिद्धांत पर जाने जैसा है: आपने कुछ "विरोधाभासों" को सीमाओं को खो कर ढीला कर दिया। लेकिन परिणाम को संभालना अधिक कठिन है।

इस मामले में इसका मतलब है: आपको पता नहीं होगा कि मशीन आपको "सही" परिणाम प्रस्तुत करती है। जैसे ही आप हमेशा यह तय कर सकते हैं कि कौन सा परिणाम सही है, आपको मशीन को स्वयं लागू करके और विरोधाभास का निर्माण करके किसी प्रकार की "समस्या को रोकने" से निपटना होगा। तो ऐसी मशीन शायद बहुत उपयोगी नहीं होगी।

Comments

धन्यवाद, वह "नॉन-रिपीटेबल मशीन" चीज काफी दिलचस्प लगती है, वास्तव में। मैं खुद को इतना सक्षम महसूस नहीं कर पा रहा हूँ कि मैं खुद को स्मार्ट सेल्फ-इंस्पेक्टिंग प्रोग्राम के बारे में कुछ समझदारी से कह सकूँ (क्योंकि मेरी आंत की प्रवृत्ति यह है कि वे अभी भी ट्यूरिंग मशीन के रूप में स्पष्ट हैं), लेकिन मुझे लगता है कि वे कुछ समस्याओं के सेट के लिए बहुत अच्छी तरह से उपयोगी हो सकते हैं।

— H2CO3

गैर-दोहराव का उदाहरण कैसे देंगे? उस स्थिति में आप कैसे ठहराव को परिभाषित करेंगे। एक बड़ी कठिनाई यह है कि जब आप अजीब संगणना मॉडल को परिभाषित करने का प्रयास करते हैं, तो आमतौर पर गेदेंकें, आपको रुकने के अर्थ को परिभाषित करना होगा, और निर्णायक मशीन किस तरह के इनपुट का विश्लेषण करने वाली है, और संभवतः कुछ अन्य गैर-तुच्छ चीजें। उदाहरण के लिए गैर-नियतत्ववाद का मामला देखें । एक कम्प्यूटेशनल मॉडल (शायद मशीनों का एक तदर्थ संग्रह नहीं) के रूप में इस मुद्दे का उल्लेख नहीं किया जा सकता है।

— Babou

@ H2CO3 एक गैर-दोहराई जाने वाली मशीन केवल एक प्रकार का "गेडैंकेन प्रयोग" है जिस पर आपको "सामान्य रुकने की समस्या" से बाहर निकलने के लिए किस संपत्ति का त्याग करना पड़ता है (मशीन का निरीक्षण करके खुद को विरोधाभास पैदा करता है)। आपको एक ऐसी मशीन मिल जाएगी जो कभी-कभी ही सही होती है, लेकिन आप नहीं जानते कि कब। यह उस कार्यक्रम की तरह है जो अगले सप्ताह के लिए लॉटरी की संख्या की गणना करता है। मैं आपको आसानी से इस तरह का कार्यक्रम प्रदान कर सकता हूं। आपके लिए यह तय करना कठिन हिस्सा है, कि मैं आपको कौन-कौन से प्रोग्राम दूंगा, इनमें से एक सही है ...

— stefan.schwetschke

Answer 4

हेलिंग समस्या को ट्यूरिंग मशीनों की सीमाओं को व्यक्त करने के लिए तैयार नहीं किया गया था, बल्कि सभी तर्क प्रणालियों की एक सीमा को व्यक्त करने के लिए जो कि प्रतीकों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। एक बार एक तर्क प्रणाली में कुछ जटिलता की समस्याओं के समाधान को व्यक्त करने की क्षमता होती है, यह उन समस्याओं को व्यक्त करने की क्षमता भी होगी जो इसे हल नहीं कर सकती हैं। पहले से हल नहीं कर सकने वाली सभी समस्याओं के समाधानों को व्यक्त करने के लिए तर्क प्रणाली के किसी भी विस्तार को नई समस्याओं को व्यक्त करने की क्षमता शामिल होगी जो इसे हल नहीं कर सकती है।

किसी विशेष "बढ़ी हुई ट्यूरिंग मशीन" विनिर्देश को देखते हुए, "सुपर-एन्हांसर ट्यूरिंग मशीन" को निर्दिष्ट करना संभव होगा जो ईटीएम के लिए एक कार्यक्रम की जांच कर सकता है और रिपोर्ट कर सकता है कि क्या यह रुकेगा, लेकिन एसईटीएम केवल कार्यक्रमों का विश्लेषण करने में सक्षम होगा ETM - यह SETM कार्यक्रमों का विश्लेषण करने में सक्षम नहीं होगा। एक मशीन को परिभाषित करने का कोई तरीका नहीं है जो स्वयं के लिए कार्यक्रमों का विश्लेषण कर सकता है और यह निर्धारित कर सकता है कि क्या वे रुकते हैं क्योंकि नई सुविधाओं को जोड़ने का कार्य एक आत्म-विश्लेषक के लिए नई आवश्यकताएं पैदा करेगा, और आवश्यकताओं को "कैच अप" करने के लिए कोई रास्ता नहीं है। ।

Answer 5

ऐसी मशीनों की कल्पना की गई है, और उन्हें सुपर-ट्यूरिंग मशीन कहा जाता है । सुपर-ट्यूरिंग मशीन के कई प्रमुख वर्ग हैं

• वास्तविक संख्या मशीनें (यानी एनालॉग कंप्यूटर)
• ट्यूरिंग मशीनों को अनंत समय दिया गया
• Nondeterministic ट्यूरिंग मशीन

सभी सुपर-ट्यूरिंग मशीनें हॉल्टिंग की समस्या को हल नहीं कर सकती हैं (नोंडेटर्मिनिस्टिक ट्यूरिंग मशीन, विशेष रूप से, नहीं)। हालाँकि, वैचारिक मशीनें बनाई गई हैं, कम से कम विचार प्रयोगों में।