पूर्णांक, तर्कसंगत और वास्तविक की मानक रचनात्मक परिभाषाएँ?

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प्राकृतिक संख्याओं को सीधे रूप में परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के रूप में Coq सिंटैक्स का उपयोग करना)

Inductive nat: Set :=
| O: nat
| S: nat -> nat.

क्या पूर्णांकों को परिभाषित करने के लिए मानक तरीका है (और तर्कसंगत और वास्तविक जैसे अन्य सेट) रचनात्मक रूप से?

arithmetic dependent-types coq

— एलेक्स
स्रोत

1

रचनात्मक परिभाषा क्या है?

— Trismegistos

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गणितीय संरचना को परिभाषित करने के कई तरीके हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि आप किन गुणों को परिभाषा मानते हैं। समतुल्य चरित्रों के बीच, जिसे आप परिभाषा के रूप में लेते हैं और जिसे आप वैकल्पिक लक्षण वर्णन के रूप में लेते हैं, वह महत्वपूर्ण नहीं है।

रचनात्मक गणित में, एक परिभाषा चुनना बेहतर होता है जो रचनात्मक तर्क को आसान बनाता है। प्राकृतिक संख्याओं के लिए, तर्क का मूल रूप प्रेरण है, जो पारंपरिक शून्य या उत्तराधिकारी परिभाषा को बहुत उपयुक्त बनाता है। संख्या के अन्य सेटों में ऐसी कोई प्राथमिकता नहीं है।

जब गैर-रचनात्मक सेटिंग में, कोटेशन पर तर्क दिया जाता है, तो यह कहा जाता है कि "समतुल्यता वर्ग का सदस्य चुनें"। रचनात्मक सेटिंग में, किसी सदस्य को कैसे चुनना है, इसका वर्णन करना आवश्यक है। इससे परिभाषाओं के साथ जाना आसान हो जाता है जो समतुल्य वर्गों के निर्माण के बजाय, प्रकार के प्रत्येक सदस्य के लिए एक वस्तु का निर्माण करते हैं।

उदाहरण के लिए, को परिभाषित करने के लिए, एक गणितज्ञ प्राकृतिक संख्याओं के अंतर के साथ खुश हो सकता है: जबकि इस पर एक स्पष्ट भावना है (कोई "यह या यह"), रचनात्मक तर्क के लिए, यह सरल है अगर वस्तुओं की समानता प्रतिनिधित्व की समानता के साथ मेल खाती है। , इसलिए हम सापेक्ष पूर्णांकों को या तो प्राकृतिक संख्या के रूप में परिभाषित कर सकते हैं या किसी प्राकृतिक संख्या के ऋणात्मक को घटा सकते हैं: $\mathbb{Z}$

Z := N^{2} / {((x, y), (x^{'}, y^{'})) ∣ x + y^{'} = x^{'} + y}

$\mathbb{Z} := \mathbb{N}^2 / \{((x,y),(x',y')) \mid x + y' = x' + y\}$

Inductive Z1 :=
  | Nonnegative : nat -> Z1   (* ⟦Nonnegative x⟧ = ⟦x⟧ *)
  | Negative : nat -> Z1.     (* ⟦Negative x⟧ = -⟦x⟧-1 *)

हालांकि, यह परिभाषा विषम रूप से विषम है, जो शून्य के लिए दो अलग-अलग अभ्यावेदन स्वीकार करने के लिए बेहतर बना सकती है:

Inductive Z2 :=
  | Nonnegative : nat -> Z2   (* ⟦Nonnegative x⟧ = ⟦x⟧ *)
  | Nonpositive : nat -> Z2.  (* ⟦Nonpostitive x⟧ = -⟦x⟧ *)

या हम एक इमारत ब्लॉक के रूप में भीलों का उपयोग किए बिना सापेक्ष पूर्णांक बना सकते हैं:

Inductive Pos3 :=
  | I : Pos3                  (* ⟦I⟧ = 1 *)
  | S3 : Pos3 -> Pos3         (* ⟦S3 x⟧ = ⟦x⟧+1 *)
Inductive Z3 :=
  | N3 : Pos3 -> Z3           (* ⟦N3 x⟧ = -⟦x⟧ *)
  | O3 : Z3                   (* ⟦O3⟧ = 0 *)
  | P3 : Pos3 -> Z3           (* ⟦P3 x⟧ = ⟦x⟧ *)

Coq मानक पुस्तकालय अभी तक एक और परिभाषा का उपयोग करता है: यह उनके अंकन से धनात्मक पूर्णांक का निर्माण करता है, आधार 2 है, क्योंकि अंक 1 एक अनुक्रम 0 या 1 के अनुक्रम के बाद है। यह फिर ऊपर से Zजैसे निर्माण करता Z3है Pos3। इस परिभाषा में प्रत्येक पूर्णांक के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व भी है। द्विआधारी संकेतन का उपयोग करने का विकल्प आसान तर्क के लिए नहीं है, लेकिन कार्यक्रमों से साक्ष्य से निकाले जाने पर अधिक कुशल कोड का उत्पादन करने के लिए।

तर्क में आसानी एक परिभाषा चुनने में एक प्रेरणा है, लेकिन यह कभी भी एक बीमा कारक नहीं है। यदि कुछ निर्माण किसी विशेष प्रमाण को आसान बनाते हैं, तो कोई उस परिभाषा का उपयोग उस विशेष प्रमाण में कर सकता है, और यह साबित कर सकता है कि निर्माण अन्य निर्माण के बराबर है जिसे मूल रूप से परिभाषा के रूप में चुना गया था।

तर्कसंगत संख्याओं के लिए, कोटेशन से बचना मुश्किल है, जब तक कि हम पूर्णांक का प्रतिनिधित्व कारकों के एक उत्पाद के रूप में शुरू नहीं करते हैं (जो कि कुछ मूलभूत संचालन जैसे कि जोड़ और कुल मिलाकर को परिभाषित करना मुश्किल है)। Coq मानक पुस्तकालय परिभाषित करता है के रूप में (अंश और हर), और एक ऑपरेटर को परिभाषित करता है की दो तत्वों की तुल्यता परीक्षण करने के लिए । यह परिभाषा बहुत आम है क्योंकि यह जितना आसान है उतना ही आसान है। $\mathbb{N}$ Q $\mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$ =?=Q

वास्तविक संख्या मछली की पूरी अलग-अलग केतली है क्योंकि वे रचनात्मक नहीं हैं। वास्तविक संख्याओं को एक प्रेरक प्रकार के रूप में परिभाषित करना असंभव है (सभी आगमनात्मक प्रकार इनकार करने योग्य हैं)। इसके बजाय, वास्तविक संख्याओं की किसी भी परिभाषा को स्वयंसिद्ध, यानी गैर-रचनात्मक होना चाहिए। वास्तविक संख्याओं के मूल्य-उप सबसेट का निर्माण संभव है; ऐसा करने का तरीका इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस सबसेट का निर्माण करना चाहते हैं।

— गिल्स 'SO- बुराई होना बंद करो'
स्रोत

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गणनीय वास्तविक संख्या , सबसे उचित उम्मीदवार होने लगते हैं के रूप में वास्तविक संख्या के ज़्यादातर उपयोग कुछ फैशन में अपने सामान्य आदेश से बंधी हैं।

— १६:१५ बजे

5

"रचनात्मक" का क्या अर्थ है? मैं केवल "रचनात्मक सेट" के लिए एक ला सेट सिद्धांत से अवगत हूं, लेकिन अब आपका मतलब है। इसके अलावा, जबकि यह मामला है कि वास्तविक मछली की पूरी तरह से अलग केतली है, यह सच नहीं है कि "वास्तविक संख्या की किसी भी परिभाषा को स्वयंसिद्ध होना चाहिए, अर्थात, गैर-रचनात्मक"। और होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत में वास्तविक की एक उच्च प्रेरक-प्रेरक परिभाषा है।

— बाउर

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गाइल्स का उत्तर एक अच्छा है, वास्तविक संख्याओं पर पैराग्राफ को छोड़कर, जो पूरी तरह से गलत है, इस तथ्य को छोड़कर कि वास्तविक संख्याएं वास्तव में मछली की एक अलग केतली हैं। क्योंकि इस तरह की गलत जानकारी काफी व्यापक है, मैं यहां एक विस्तृत खंडन रिकॉर्ड करना चाहूंगा।

यह सच नहीं है कि सभी आगमनात्मक प्रकार इनकार करने योग्य हैं। उदाहरण के लिए, आगमनात्मक प्रकार

Inductive cow := 
   | nose : cow
   | horn : (nat -> cow) -> cow.

यह स्वीकार्य नहीं है, किसी भी अनुक्रम के लिए c : nat -> cowहम फार्म कर सकते हैं horn cजो कि मवेशियों की अच्छी तरह से स्थापना द्वारा अनुक्रम में नहीं है। यदि आप फ़ॉर्म का एक सही विवरण चाहते हैं "सभी आगमनात्मक प्रकार गणनीय हैं" तो आपको अनुमत निर्माणों को गंभीर रूप से सीमित करना होगा।

वास्तविक संख्याओं को आसानी से एक प्रेरक प्रकार के रूप में निर्मित नहीं किया जा सकता है, सिवाय इसके कि होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत में उन्हें एक उच्च प्रेरक-प्रेरक प्रकार के रूप में निर्मित किया जा सकता है, HoTT पुस्तक के अध्याय 11 देखें । यह तर्क दिया जा सकता है कि यह धोखा है।

की एक संख्या हैं रचनात्मक परिभाषाएँ और reals, गाइल्स दावा के विपरीत के निर्माण। उन्हें मोटे तौर पर दो वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

कॉची-प्रकार के निर्माण जिसमें तर्कसंगत संख्याओं के मीट्रिक पूरा होने के रूप में देखा गया। इस तरह के निर्माण में अक्सर कोटेशन की आवश्यकता होती है, हालांकि कोई एक सह-प्रवाहात्मक परिभाषा के साथ दूर होने में सक्षम हो सकता है, यह निर्भर करता है कि कोई समानता का इलाज कैसे करता है। एक अनुभवहीन निर्माण के लिए आमतौर पर गिनने योग्य विकल्प की आवश्यकता होती है, लेकिन फ्रेड रिचमैन ने एक पूरी प्रक्रिया दी जो बिना किसी विकल्प के रचनात्मक रूप से काम करती है, उसकी वास्तविक संख्या और अन्य पूर्णियां देखें ।
डेडेकिंड-प्रकार का निर्माण जिसमें रियल को दो-तरफा (तर्कसंगत) के रूप में देखा जाता है। इस तरह के निर्माण के लिए आमतौर पर पावरसेट या एक समान डिवाइस की आवश्यकता होती है, हालांकि यह सिर्फ कुछ बुनियादी -calculus और Sierpinski अंतरिक्ष के स्वयंसिद्धता के साथ करना संभव है , सार स्टोन दोहरीता में Dedekinds देखें । $\lambda$ $\Sigma$

कार्यान्वयन पक्ष में, हमारे पास रियल के विभिन्न रचनात्मक औपचारिकताएं हैं (लेकिन कोक मानक पुस्तकालय में एक भी नहीं है जो सिर्फ भयानक है), उदाहरण के लिए, रॉबट क्रेबर्स और बेस में स्पिटर्स के कंप्यूटर प्रमाणित कुशल सटीक यथार्थ हैं ।

सटीक वास्तविक संख्याओं के वास्तविक क्रियान्वयन के लिए मैं आपको नॉर्बर्ट मुलर के इरम के बारे में बताता हूं ।

अंत में, वास्तविक के सबसेट उपसमूह के बारे में गाइल्स टिप्पणी निशान से दूर है। आप जो भी रचनात्मक सेटिंग में रहते हैं, उसमें बेशुमार सेटों का निर्माण या परिभाषित करना पूरी तरह से संभव है। उदाहरण के लिए, बेयर स्थान संख्या के सभी दृश्यों की है alway अगणनीय, यहां तक कि अगर आपको लगता है कि हर समारोह ट्यूरिंग-गणना कर सका है कि - देख मेरा ब्लॉग पोस्ट एक स्पष्टीकरण के लिए। $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— लेडी बाउर
स्रोत

आप वास्तव में Coq में असली बंद क्षेत्रों के सिद्धांत को स्वयंसिद्ध कर सकते हैं ...

— छद्म नाम

हां, आप कर सकते हैं, और सिरिल कोहेन ने इसे किया था, देखें hal.inria.fr/hal-00671809v1/Nocument । तुम्हारा मतलब क्या है?

— बाउर

1

मेरे पास कोई बात नहीं है, यह सिर्फ एक अनुमान था।

— छद्म नाम