क्या परिणाम को उलट-पलट कर हॉल्टिंग समस्या की अनिर्वायता का प्रमाण धोखा देता है?

Question

मुझे ट्यूरिंग की रुकने की समस्या को समझने में परेशानी होती है।

उनका प्रमाण मानता है कि एक जादुई मशीन मौजूद है जो यह निर्धारित कर सकती है कि कंप्यूटर किसी दिए गए इनपुट के लिए हमेशा के लिए बंद हो जाएगा या लूप करेगा। फिर हम एक अन्य मशीन संलग्न करते हैं जो आउटपुट को उलट देती है और हमारे पास एक विरोधाभास है और इसलिए एच मौजूद नहीं हो सकता है।$H$$H$

मेरी चिंता यह है कि ऐसा लगता है जैसे हम कह रहे हैं कि एक उत्तर गलत है क्योंकि हमने इसे उलट दिया है। एक सादृश्य के रूप में, यदि कोई मशीन है जिसे कहा जाता है जो कुछ इनपुटों पर एक सही उत्तर और दूसरों पर एक गलत उत्तर देता है। फिर हम एक और मशीन संलग्न करते हैं जो ए के परिणाम को उलट देता है इसलिए संयोजन दो मशीनों के साथ एक विरोधाभास है कि ए को कैसे परिभाषित किया गया है। दो मशीनें अब इनपुट के लिए गलत उत्तर उत्पन्न करती हैं कि ए को आउटपुट के सही उत्तर में परिभाषित किया गया है और इनपुट से सही उत्तर को आउटपुट के लिए परिभाषित किया गया है कि ए गलत आउटपुट से परिभाषित होता है। क्या इसे विरोधाभास कहा जाएगा, और इसलिए ऐसी मशीन मौजूद नहीं है जो कुछ इनपुटों पर सही उत्तर देती है और दूसरों पर गलत उत्तर देती है?$A$$A$$A$$A$$A$

Answer 1

लघु संस्करण: मशीनों के आउटपुट सही या गलत नहीं हैं, वे सिर्फ विरोधाभासी हैं, जो साबित करता है कि प्रारंभिक मशीन जो यह तय करती है कि इनपुट मशीन दिए गए स्ट्रिंग पर टिका है या नहीं मौजूद नहीं है।

लंबा संस्करण : पहले हम प्रूफ को स्केच करेंगे (या इसके कम से कम एक संस्करण - कई हैं)।

1. मान लें कि हमारे पास एक ट्यूरिंग मशीन जो यह तय करती है कि ट्यूरिंग मशीन M इनपुट x पर टिका है या नहीं।$\mathrm{HALT}(\langle M\rangle, x)$$M$$x$
2. का उपयोग करते हुए हम एक मशीन का निर्माण एफ एल मैं पी ( ⟨ एम ⟩ , एक्स ) जो उपयोग करता एच ए एल टी जांच करने के लिए एम पर हाल्ट एक्स या नहीं, तो विपरीत, यानी करता है, तो एम पर हाल्ट एक्स , एफ एल मैं पी , लूप अगर एम पर रोक नहीं है x , एफ एल मैं पी रुक जाता है।$\mathrm{HALT}$$\mathrm{FLIP}(\langle M\rangle, x)$$HALT$$M$$x$$M$$x$$\mathrm{FLIP}$$M$$x$$\mathrm{FLIP}$
3. अंत में हम टीएम एक बनाने (मैं अच्छा नाम से बाहर भाग), जो एक टीएम का वर्णन लेता है और चलाता है एफ एल मैं पी इनपुट के साथ ( ⟨ एम ⟩ , ⟨ एम ⟩ ) , outputting जो कुछ भी एफ एल मैं P आउटपुट।$\mathrm{C}(\langle M \rangle)$$\mathrm{FLIP}$$(\langle M \rangle, \langle M \rangle)$$\mathrm{FLIP}$

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जब तक डिकेडर मौजूद रहता है, इन चरणों में से प्रत्येक को लागू करना सरल है; F L I P को बस क्या करना है यह जांचने के लिए H A L T का उपयोग करना पड़ता है, और F सिर्फ F L I P को पास करने के लिए इसके इनपुट को डुप्लिकेट करता है ।$\mathrm{HALT}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{HALT}$$\mathrm{C}$$\mathrm{FLIP}$

विरोधाभास पैदा होती है जब हम क्या होता है जब हम चलाते हैं पर देखने के । इनपुट के रूप में दिए जाने पर या तो C रुकता है या नहीं। एच ए एल टी यह तय करेगा:$\mathrm{C}(\langle\mathrm{C}\rangle)$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$

• यदि इनपुट पर रुक जाता है तो⟩ C input , H A L T कहेगा Y e s , लेकिन फिर F L I P लूप करेगा, इसलिए C , H A L T का विरोध करेगा ।$\mathrm{C}$$\langle\mathrm{C}\rangle$$\mathrm{HALT}$$\mathsf{Yes}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$
• अगर इनपुट पर लूप ⟨ सी ⟩ , एच ए एल टी कहेंगे एन ओ , लेकिन फिर एफ एल मैं पी , को रोकती है तो सी भी पड़ाव होगा, विपरीत एच ए एल टी ।$\mathrm{C}$$\langle\mathrm{C}\rangle$$\mathrm{HALT}$$\mathsf{No}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$

$\mathrm{HALT}$$\mathrm{HALT}$$\mathrm{HALT}$

Comments

$C$$M$

Answer 2

आप "विरोधाभास" के दो अलग-अलग अर्थों पर चर्चा कर रहे हैं।

आपके सादृश्य में, मशीन A और उसके फ़्लिप किए गए संशोधन एक-दूसरे के विपरीत इस अर्थ में हैं कि उनके आउटपुट हमेशा अलग होते हैं। (उदाहरण के लिए, वे पूर्णांक पर दो परीक्षण कार्य लागू कर सकते हैं, " x ” 5? "और" x > 5? ") यह निश्चित रूप से एक बात है कि" विरोधाभास "हर रोज़ उपयोग में हो सकता है, लेकिन यह तार्किक में इसका मतलब नहीं है सबूत।

तार्किक प्रमाणों में, इसका अर्थ कुछ मजबूत है: कुछ ऐसा जो असंभव है। उदाहरण के लिए, एक ऐसा फंक्शन जो "इनपुट" को 5 से अधिक इनपुट पर और "झूठे" को 10 से कम के सभी इनपुट पर लौटाता है - जो कि इस मजबूत अर्थ में विरोधाभासी है, क्योंकि, 7 के लिए, इसका आउटपुट दोनों "सही" होना चाहिए। और "झूठे", लेकिन वे समान नहीं हैं। ट्यूरिंग के तर्क से पता चलता है कि रुकने का कार्यक्रम मजबूत अर्थों में विरोधाभासी है: यह मानकर कि ऐसा कुछ है जो असंभव है, या पहले से ही गलत है।

Answer 3

$x$$x$$f(n)$$n$

$f(m)$

$m$$m$

$m$$P_m$$f(m)+1$$P_m$$P_m$$m$$m$$|m|$$|m|$$m$$|m| \approx \log_{10} m$$T$$P_m$$T + \log_{10} m$$m$$m=2T$$T + \log_{10} m \leq m$$f(m)$$P_m$$f(m) \geq f(m) + 1$। हम एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं।