बिंदु दूरी द्वारा भारित किनारों के साथ एक ग्राफ से एक बिंदु एम्बेडिंग पुनर्प्राप्त करना

Question

मान लीजिए कि मैं आपको भारित किनारों के साथ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ देता हूं, और आपको बताता हूं कि प्रत्येक नोड 3 डी अंतरिक्ष में एक बिंदु से मेल खाती है। जब भी दो नोड्स के बीच एक बढ़त होती है, तो किनारे का वजन अंकों के बीच की दूरी होती है।

आपका लक्ष्य केवल उपलब्ध दूरी (एज वेट द्वारा प्रतिनिधित्व) को देखते हुए, अंकों के सापेक्ष पदों को फिर से बनाना है। उदाहरण के लिए, यदि मैंने आपको , तो आप जानते हैं कि अंक एक टेट्राहेड्रोन के कोने हैं। आप यह नहीं जानते हैं कि यह मूल के सापेक्ष कहां है, या इसके अभिविन्यास के लिए, या यदि यह प्रतिबिंबित किया गया है, लेकिन आप इसे एक टेट्राह्रॉन बता सकते हैं।$d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1$

सामान्य तौर पर, समस्या आसान है अगर मैं आपको सभी किनारे की लंबाई देता हूं। बस मनमाने ढंग से एक बिंदु लेने पर होना , तो एक पड़ोसी बिंदु लेने और पर यह जगह , तो एक आम पड़ोसी XY पर triangulated हो जाता है विमान, फिर एक अंतिम आम पड़ोसी अर्ध-अंतरिक्ष में त्रिकोणीय हो जाता है और शेष समरूपता को तोड़ता है (यह मानते हुए कि आप पतित अंक नहीं लेते)। आप उन चार बिंदुओं का उपयोग शेष सभी को त्रिकोणित करने के लिए कर सकते हैं। ( 0 , 0 , 0 ) p 1 ( d 0 , 1 , 0 , 0 ) p 2 p 3 z > $p_0$$(0,0,0)$$p_1$$(d_{0,1},0,0)$$p_2$$p_3$$z > 0$

दूसरी ओर, जब कुछ किनारे की लंबाई गायब होती है, तो एम्बेडिंग को पुनर्प्राप्त करना संभव नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई ऐसा शीर्ष है जो काटे जाने पर ग्राफ को काटता है, तो दो घटक इसे अलग कर देंगे यदि हटाए गए एक दूसरे के सापेक्ष घूम सकते हैं।

जो सवाल उठाता है:

• समाधान खोजना कितना महंगा है?
• यदि आप एक समाधान अद्वितीय है, तो अनुवाद / रोटेशन / मिररिंग तक कैसे निर्धारित करते हैं? 3-कनेक्टिविटी पर्याप्त है? ज़रूरी?
• किस तरह की स्थितियां समस्या को तुच्छ बनाती हैं?
• अगर मैं किनारे के वज़न का वादा नहीं करता हूँ, तो वास्तव में दूरी पाप 3 डी के अनुरूप है, यह निर्धारित करना कितना महंगा है अगर एक एम्बेडिंग संभव है?

Comments

मेरे लिए एक मशीन सीखने की समस्या की तरह लगता है ...

— vzn

मेरे पास कोई विचार नहीं है जो चयन करने के लिए उत्तर देता है। वे सभी गैर-अतिव्यापी तरीकों से अच्छे हैं। शीर्ष मतदान एक यह है!

— क्रेग गिदनी

Answer 1

इस समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम दृष्टिकोण: इसे नोड्स के एक सेट के रूप में मानते हैं, स्प्रिंग्स द्वारा जुड़ा हुआ है, फिर उन्हें आकार में व्यवस्थित / आराम करने दें।

प्रत्येक किनारे एक वसंत से मेल खाती है; यदि अंक और बीच की दूरी माना जाता है , तो वसंत को चुना जाता है, इसलिए यह आदर्श रूप से लंबाई का होना चाहता है (यह लंबा या छोटा हो सकता है, लेकिन इससे ऊर्जा खर्च होती है )। अब हम कुल ऊर्जा को कम करने वाले पदों के एक समूह के लिए हल करना चाहते हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक शीर्ष को बिंदु । तब इस व्यवस्था की कुल ऊर्जा होगीवी डब्ल्यू डी वी , डब्ल्यू डी वी , डब्ल्यू वी एक्स वी ∈ आर$(v,w)$$v$$w$$d_{v,w}$$d_{v,w}$$v$$x_v \in \mathbb{R}^3$

$$E(x) = \sum_{(v,w) \in E} (\text{distance}(x_v,x_w) - d_{v,w})^2.$$

यहां 's दिए गए हैं (वे किनारों पर भार हैं), और हम लिए हल करना चाहते हैं (वे बिंदुओं के निर्देशांक हैं)। एक्स $d_{v,w}$$x_v$

हम एक व्यवस्था लिए हल कर सकते हैं जो इस कुल ऊर्जा को कम करता है। यह व्यवस्था तब बिंदुओं के पदों के लिए एक उचित उम्मीदवार प्रदान करती है। यह एक अनुकूलन समस्या है, और इस तरह की अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए मानक तकनीकें हैं। देखें, उदाहरण के लिए, एरिका कल्रिच द्वारा लेख नेटवर्क सॉल्यूशंस ।$x$

मुझे नहीं लगता कि इसमें कोई गारंटी है जो सही वांछित समाधान प्रदान करेगा। यह संभव है कि अनुकूलन समस्या एक अलग इष्टतम के लिए व्यवस्थित हो सकती है जो आपके लिए देख रहे बिंदुओं की वास्तविक व्यवस्था को प्रतिबिंबित नहीं करती है। हालांकि, यदि आपका ग्राफ पर्याप्त रूप से घना है, तो मुझे संदेह है कि यह अक्सर काम कर सकता है और आपको वांछित समाधान दे सकता है।

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फुटनोट: निश्चित रूप से सबसे अच्छे मामले में भी हम केवल इस समस्या को अनुवाद, रोटेशन और प्रतिबिंब तक ही हल कर सकते हैं क्योंकि उन परिवर्तनों से सभी दूरियां सुरक्षित रहती हैं। इस प्रकार, आप एक अद्वितीय समाधान की उम्मीद नहीं कर सकते - लेकिन आप उम्मीद कर सकते हैं कि समाधान अनुवाद, रोटेशन और प्रतिबिंब तक अद्वितीय है।

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अंत में, एम्बेडिंग की विकृति को कम करते हुए ग्राफ को अंतरिक्ष में एम्बेड करने पर बहुत काम होता है । वह बहुत संबंधित है; आप मूल रूप से में एम्बेड करने वाले शून्य-विरूपण के लिए पूछ रहे हैं । इस प्रकार, उस संदर्भ में विकसित तकनीकें आपकी समस्या के लिए भी उपयोगी हो सकती हैं। आमतौर पर, वह काम कम-विरूपण एम्बेडिंग खोजने पर केंद्रित होता है, क्योंकि वह काम उस मामले पर केंद्रित होता है जहां कोई पूर्ण एम्बेडिंग नहीं होती है जो सभी दूरियों को बिल्कुल मेल खाती है, इसलिए इसके बजाय यह कम-विरूपण समाधान (एक जहां सबसे किनारे की दूरी) के लिए दिखता है मैच काफी अच्छी तरह से) - ताकि काम थोड़ा अलग समस्या पर केंद्रित हो। हालाँकि, यह संभव है कि उनकी तकनीक आपकी स्थिति में भी प्रभावी हो। यह आजमाने के काबिल है।ℓ $\ell_2$$\ell_2$

Answer 2

समस्या एनपी-पूर्ण है । अंकों की स्थिति एक अच्छा प्रमाण पत्र है, इसलिए यह एनपी में है, और आप सर्किट को "बिंदुओं का संतोषजनक सेट है?" मुसीबत।

सर्किट इवैलुएशन से डिस्टेंस एंबेडिंग में कमी

हम एक समन्वय प्रणाली बनाकर, उसमें तार्किक बिट्स डालते हैं, बिट्स को बराबर करने के लिए, और नॉट और गेट्स के लिए विजेट्स बनाकर एक दूरी की एम्बेडिंग समस्या में सर्किट मूल्यांकन को कम करने जा रहे हैं।

1. निर्देशांक । हमें किसी प्रकार की समन्वय प्रणाली की आवश्यकता है जिससे हम बिंदुओं को जोड़ सकें। अंकों का "आधार" टेट्राहेड्रॉन बनाकर ऐसा करें। सभी चार बिंदुओं को एक दूसरे से दूरी पर घोषित करें । यह उन चार बिंदुओं के आकार को टेट्राहेड्रॉन में बदल देता है। हम आधार के चार कोनों में से प्रत्येक के लिए उनकी दूरी निर्दिष्ट करके हमारे टेट्राहेड्रोन समन्वय प्रणाली के सापेक्ष अन्य बिंदुओं को स्थिति में ला सकते हैं। टेट्राहेड्रोन का अनुवाद किया जा सकता है और घुमाया और प्रतिबिंबित किया जा सकता है, लेकिन यही बात अन्य सभी बिंदुओं के साथ भी होगी।$1$

2. काटता है । एक बिट बनाने के लिए, हम बेस टेट्राहेड्रोन के सापेक्ष बिंदुओं का एक त्रिकोण बनाते हैं। त्रिकोण का सामान्य Z अक्ष के साथ ऊपर की ओर इंगित करना चाहिए, ताकि त्रिकोण XY विमान (tetrahedron निर्देशांक में) के समानांतर हो। इसके किनारों की लंबाई होनी चाहिए । उस काम के साथ, हम एक "मान" बिंदु जोड़ते हैं , जो अन्य तीन से दूरी के लिए निर्दिष्ट है । हम को आधार समन्वय प्रणाली से नहीं जोड़ते हैं । यह इसे दो संभावित स्थान देता है: त्रिकोण के ऊपर या नीचे, एक टेट्राहेड्रोन के अंतिम कोने के रूप में केंद्रित । यदि बिंदु त्रिभुज के ऊपर है तो बिट ऑन है, और यदि यह नीचे है तो इसे बंद कर दें।v १ v $1$$v$$1$$v$$\frac{1}{\sqrt{3}}$

3. तार । हम दो बिट्स को समान होने के लिए बाध्य कर सकते हैं, उनके मान बिंदुओं के बीच की दूरी उनके त्रिकोण के केंद्रों के बीच की दूरी के बराबर है। एक अपवाद है: जब बिट्स में से किसी एक के ऊपर या नीचे का कोने दूसरे के केंद्र तल के साथ ठीक होता है। उस स्थिति में, हम पहले बिट्स में से एक को लंबवत रूप से स्थानांतरित करने के लिए एक तार का उपयोग करते हैं।

4. नहीं है । हम एक दूसरा मान बिंदु जोड़कर एक सा का निषेध प्राप्त कर सकते हैं ही त्रिकोण है, लेकिन आवश्यकता होती है कि की दूरी हो से । यह बलों की स्थिति विपरीत लेने के लिए त्रिकोण के संबंध में, हमें विपरीत मूल्य के साथ एक सा दे रही है।डब्ल्यू $w$$w$ वीडब्ल्यू$\frac{2}{\sqrt{3}}$$v$$w$$v$

5. प्रभाव । तारों के साथ काम करने के लिए हमें जो समसामयिक मुद्दा था वह वास्तव में काफी उपयोगी है। जब बिट्स उस तरीके से ऊपर उठती हैं, जिसे हम एक ऊर्ध्वाधर तार के साथ बाध्य कर सकते हैं, तो उच्चतर का मतलब निचले वाले से होता है। यदि उच्चतर सत्य है, तो केवल निम्न का शीर्ष सही दूरी है। यदि उच्चतर गलत है, तो ऊपर और नीचे दोनों सही दूरी पर हैं।

6. और । बिट को और बराबर बनाने के लिए , और सहमत होने पर हमें समानता के लिए दो निहितार्थ और एक विजेट की आवश्यकता होती है । निहितार्थ सिर्फ और । विजेट बनाने के लिए हम और घुमाते हैं, ताकि वे समान स्तर पर हों और एक दूरी को अलग कर दें, फिर हम को उनके बीच समवर्ती बनाते हैं। फिर हम और से और एक दूरी जोड़ते हैं।A B A B $C$$A$$B$$A$$B$$C \implies A$ए बी $C \implies B$$A$$B$ सीएसएएसबी$\frac{2}{\sqrt 3}$$C$$S_A$$S_B$ एबीएसएएसबी$\frac{\sqrt 2 - 1}{2 \sqrt 3}$$A$$B$क्रमशः मूल्य अंक, और और बीच की दूरी को लिए बाध्य करें । हम यह भी एक बिंदु जोड़ने एक दूरी दोनों से और । यह और के मान बिंदुओं के बीच एक श्रृंखला बनाता है , जिसमें चेन के केंद्र में होता है। जब , श्रृंखला सीमा तक खिंच जाती है और के त्रिकोण के केंद्र में होता । जब जंजीर लिंक को धक्का देते हुए सटीक विपरीत दिशाओं में जाने के लिए मजबूर किया जाता है$S_A$$S_B$ एससी$\frac{\sqrt 2 + 1}{\sqrt 3}$$S_C$$\frac{\sqrt 2 + 1}{2 \sqrt 3}$$S_A$$S_B$$A$$B$$S_C$$A \neq B$$S_C$$C$$A = B$यह सीमा तक है और को के मान बिंदु बराबर रखता है । बाध्य करने के लिए के मूल्य बिंदु, हम एक बिंदु डालने एक दूरी दोनों से और मूल्य बिंदु '। जब , तो यह का मान बिंदु नहीं , लेकिन तब बाध्य करता है ।$S_C$$C$$A$$C$$S_D$$\frac{1}{2 \sqrt 3}$$S_C$$C$$C$$A \neq B$$A=B=C$$A=B$

उन तत्वों के साथ, आप किसी भी सर्किट को एक दूरी एम्बेडिंग में एन्कोड कर सकते हैं। निविष्टियाँ बिट्स बन जाती हैं, गेट नॉट्स और एंड्स में विघटित हो जाते हैं और नए बिट्स को आवश्यक रूप से पेश करते हैं, और यह बात है। आउटपुट की स्थिति को सही होने के लिए बाध्य करें, और आपको अपनी संतुष्टि की समस्या मिलती है।

Answer 3

विशिष्टता पर आंशिक उत्तर : 3-कनेक्टिविटी पर्याप्त नहीं है ।

न्यूनतम काउंटर उदाहरण: क्यूब ग्राफ ( हाइपरक्यूब ग्राफ परिवार का )$Q_3$

यह देखने के लिए कि में सभी किनारों की लंबाई कैसे तय की है, 3-डी स्पेस में कोने को स्थिति नहीं देता है जो अनुवाद / रोटेशन / मिररिंग के लिए अद्वितीय है, आप एक कार्डबोर्ड बॉक्स को कैसे समतल कर सकते हैं (2 विरोधी चेहरों को हटाकर देखें) ।$Q_3$

कार्डबोर्ड बॉक्स के कोनों को ब्याज के कोने पर ले जाएं। कार्डबोर्ड बॉक्स के प्रत्येक कोने में अन्य कोनों से दूरी तय की गई है, जिसके साथ यह बॉक्स के चेहरे को साझा करता है।

जबकि परिणामी ग्राफ में तुलना में अधिक किनारे हैं , फिर भी यह कार्डबोर्ड बॉक्स को समतल करने की अनुमति देता है --- एक परिवर्तन जिसे अनुवाद / रोटेशन / मिररिंग द्वारा उत्पादित नहीं किया जा सकता है।$Q_3$

Comments

मैं काफी फॉलो नहीं करता। हालांकि, मैंने महसूस किया कि आप एक-दूसरे के ऊपर अंक लगाकर 3-कनेक्टिविटी को प्रभावी रूप से 1-कनेक्टिविटी में बदल सकते हैं। इसलिए कच्ची 3-कनेक्टिविटी पर्याप्त नहीं हो सकती है।

— क्रेग गिदनी

@DW मैं सुझाव के अनुसार तर्क का विस्तार करता हूं। मैंने आपको तर्क नहीं दिया क्योंकि four points laying above or below the other fourमिररिंग द्वारा एक दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है।

— एपीवाट चेंटावीबुल

$K_4$

$K_4$$K_4$

Answer 4

यह निम्नलिखित समस्या के रूप में जाना जाता है और उदाहरण के लिए सेंसर नेटवर्क से निर्देशांक के पुनर्निर्माण के साथ होता है जो पास के नोड्स से दूरी को माप सकता है, और यह पेपर अग्रणी एल्गोरिदम (एस) के साथ एक मिनी-सर्वेक्षण के रूप में काम कर सकता है। एक प्रमुख विधि एकवचन मान प्रोजेक्शन के रूप में जानी जाती है, एक और विलक्षण मूल्य थ्रेशहोल्डिंग। एल्गोरिदम आमतौर पर मैट्रिक्स बीजगणित और रैंक में कमी पर आधारित होते हैं। पेपर दोनों एल्गोरिदम को लागू करता है और कुछ अनुभवजन्य विश्लेषण देता है।

यूक्लिडियन आंशिक दूरी सूचना जू, चेन से पुनर्निर्माण