ट्यूरिंग पूर्णता सही क्यों है?


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मैं इस संदेश को लिखने के लिए एक डिजिटल कंप्यूटर का उपयोग कर रहा हूं। ऐसी मशीन में एक संपत्ति होती है, जो यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो यह वास्तव में काफी उल्लेखनीय है: यह एक मशीन है , जिसे यदि उचित रूप से क्रमादेशित किया जाता है, तो यह किसी भी संभावित गणना का प्रदर्शन कर सकता है

बेशक, एक तरह की मशीनों की गणना या दूसरे पुरावशेष वापस चले जाते हैं। लोगों ने ऐसी मशीनें बनाई हैं जो जोड़ और घटाव (जैसे, एक एबेकस), गुणा और भाग (जैसे, स्लाइड नियम) और ग्रहों की स्थिति के लिए कैलकुलेटर जैसे अधिक डोमेन-विशिष्ट मशीनों का निर्माण करती हैं।

कंप्यूटर के बारे में हड़ताली बात यह है कि यह किसी भी संगणना का प्रदर्शन कर सकता है । किसी भी गणना। और सभी मशीन rewire किए बिना। आज हर कोई इस विचार को स्वीकार कर लेता है, लेकिन अगर आप इसे रोकते हैं और इसके बारे में सोचते हैं, तो यह आश्चर्यजनक है कि ऐसा उपकरण संभव है।

मेरे दो वास्तविक प्रश्न हैं :

  1. मानव जाति ने कब पता लगाया कि ऐसी मशीन संभव थी? क्या कभी इस बारे में कोई गंभीर संदेह है कि क्या यह किया जा सकता है? यह कब तय किया गया था? (विशेष रूप से, यह पहले वास्तविक कार्यान्वयन से पहले या बाद में तय किया गया था?)

  2. गणितज्ञों ने कैसे साबित किया कि ट्यूरिंग-पूरी मशीन वास्तव में सब कुछ गणना कर सकती है?

वह दूसरा वाला फिजूल है। हर औपचारिकता में कुछ चीजें होती हैं जिनकी गणना नहीं की जा सकती है। वर्तमान में "कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन" को "कुछ भी एक ट्यूरिंग-मशीन गणना कर सकता है" के रूप में परिभाषित किया गया है । लेकिन हम कैसे जानते हैं कि कुछ अधिक शक्तिशाली मशीन नहीं है जो अधिक सामान की गणना कर सकती है? हम कैसे जानते हैं कि ट्यूरिंग-मशीनें सही अमूर्तता हैं?


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कंप्यूटर (और उनके सैद्धांतिक मॉडल, जैसे ट्यूरिंग मशीन) सब कुछ गणना नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए हाल्टिंग समस्या की जाँच करें ।

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दूसरे प्रश्न का उत्तर: हम यह साबित नहीं करते हैं; यह परिभाषा की बात है; यह पता चलता है कि हम "कम्प्यूटेबल" के बारे में सहज रूप से सोचते हैं कि ट्यूरिंग मशीन (या कुछ भी समतुल्य) द्वारा गणना योग्य है। इस दावे को चर्च-ट्यूरिंग थीसिस के रूप में जाना जाता है ।
sdcvvc


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आपके पीसी जैसी मशीनें जिनके पास परिमित मेमोरी है, ट्यूरिंग समतुल्य नहीं हैं। ट्यूरिंग मशीनों में एक अनबाउंड टेप होता है, जिसका अर्थ है कि जितनी अधिक समय तक गणना जारी रहेगी, उतनी ही अधिक मेमोरी वे संभावित रूप से उपयोग कर सकते हैं। पीसी कम्प्यूटेशन का काम नहीं कर सकते हैं, जिसमें समय लगता है, लेकिन इसके लिए उन्हें अधिक स्टोरेज की आवश्यकता होती है।
माइक सैमुअल

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@ मायकेसमुएल यह एक पांडित्यपूर्ण भेद है और यह कहना कि "ब्रह्मांड में कणों की एक सीमित संख्या है, इस प्रकार सब कुछ परिमित अवस्था है"। यह एक सच्चा कथन है, लेकिन उपयोगी नहीं है। यह एक वास्तविक दुनिया कंप्यूटर को एक परिमित राज्य मशीन के रूप में मॉडल करने के लिए बहुत उपयोगी है।
आर्टेम काज़नाचेव

जवाबों:


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मानव जाति गणना औपचारिक और के मौलिक कागजात के साथ 1936 में इसके लिए दो प्रणाली विकसित की अलोंजो चर्च पर -calculusλ और एलन ट्यूरिंग पर (आज, 23 जून 2012, नीच परिस्थितियों अपने प्रारंभिक गुजर करने के लिए अग्रणी के लिए चालू करेंगे, जो 100 वर्ष नहीं तो) जिसे ट्यूरिंग-मशीन के रूप में जाना जाता है। दोनों गणितज्ञ एंत्सेचिदंगस्प्रोब्लेम हल कर रहे थे ।

हालाँकि चर्च का पेपर थोड़ा पहले प्रकाशित किया गया था, लेकिन ट्यूरिंग इससे अनजान थे जब उन्होंने अपने विचारों को विकसित किया, और ट्यूरिंग का दृष्टिकोण वास्तविक-विश्व मशीनों के डिजाइन के लिए अधिक उपयोगी साबित हुआ। ऐसा इसलिए था क्योंकि उन्होंने दिखाया कि यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन को कैसे डिज़ाइन किया जा सकता है जिसे किसी भी संगणना को चलाने के लिए प्रोग्राम किया जा सकता है। जॉन वॉन न्यूमैन के काम पर आधारित एक ठोस वास्तुकला के साथ यह सार्वभौमिक मशीन, उस मशीन के पीछे मूल विचार है जिस पर आप अपना जवाब पढ़ रहे हैं।

जैसा कि आपने उल्लेख किया है, कम्प्यूटेबल को "ट्यूरिंग मशीन पर कम्प्यूटेबल" के रूप में परिभाषित किया गया है और गणना के अन्य सभी उचित मॉडल उनकी शक्ति के बराबर साबित हुए हैं। यह धारणा कि संगणना के सभी उचित मॉडल क्या निर्णय समस्याओं में समतुल्य हैं, उन्हें चर्च-ट्यूरिंग थीसिस के रूप में जाना जाता है । अपने मूल रूप में, यह लगभग पूरी तरह से सीखा समुदाय द्वारा माना जाता है। वास्तव में यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि चर्च-ट्यूरिंग थीसिस को साबित / अक्षम करने का क्या मतलब होगा ; बहुत तरह से यह एक अनुभवजन्य प्रश्न बन जाता है।

λ कम्प्यूटेबल) क्वांटम कंप्यूटिंग अभी भी ट्यूरिंग के मॉडल के बराबर है।


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ट्यूरिंग का 1936 का पेपर, उस समय के चर्च के काम की तुलना में, इसके तर्क में बहुत अधिक सम्मोहक था कि किसी भी संख्यात्मक कार्य को मानव द्वारा एल्गोरिथ्म में गणना की जा सकती है जिसे ट्यूरिंग मशीन द्वारा गणना की जा सकती है। चर्च की औपचारिकताओं में स्पष्ट रूप से वह संपत्ति नहीं थी, और आज तक ट्यूरिंग मशीनों के लिए अन्य कम्प्यूटेशनल प्रणालियों की कमी ट्यूरिंग मशीनों के मूल विश्लेषण के कारण महत्वपूर्ण हो सकती है।
कार्ल मम्मर्ट

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@ कार्लम्यूमर मैं निश्चित रूप से सहमत हूं, लेकिन चर्च के काम को पूर्णता के लिए उल्लेख किया जाना चाहिए। इसके अलावा, यह बिल्कुल महत्वहीन नहीं है, जबकि थ्योरी ए का अधिकांश टीएम के आसपास बनाया गया है, थ्योरी बी अधिक लंबो-कैल्क अनुकूल है। तो यह आंशिक रूप से संस्कृतियों का अंतर भी है।
आर्टेम काज़नाचेव

रुको - तो आप कह रहे हैं कि यह साबित नहीं हुआ है कि कोई अधिक शक्तिशाली कम्प्यूटेशनल सिस्टम नहीं है? यह केवल एक धारणा है ?
गणितऑर्किड

@मैटामिकल ऑर्कुटिड सभी संगणना के उचित मॉडल (उचित रूप से इसका अर्थ है: एक समय में केवल वस्तुओं के परिमित खंडों पर काम करना और केवल बहुत से विकल्पों में से एक करना) जिससे मैं परिचित हूं, उसे ट्यूरिंग मशीनों के बराबर दिखाया गया है।
आर्टेम काज़नाचेव

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@ मैमेटेमिकलऑर्चिड आपके अनुवर्ती प्रश्न का संभावित रूप से अधिक सरल उत्तर प्रदान करने के लिए: सही है, किसी ने यह साबित नहीं किया है कि टीएम की तुलना में गणना का कुछ उचित मॉडल अधिक शक्तिशाली नहीं है। "संचय" इसके लिए एक शब्द है; "परिकल्पना" एक और है। हम कल उठ सकते हैं और सीएनएन पर कंप्यूटिंग के एक नए, बेहतर मॉडल के बारे में देख सकते हैं। यह संभव नहीं है, लेकिन संभव है।
पैट्रिक87

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वहाँ एक कारण यह एक ट्यूरिंग मशीन कहा जाता है, और यह इसलिए है क्योंकि यह एलन ट्यूरिंग द्वारा आविष्कार किया गया था। उन्होंने इन अवधारणाओं को स्थापित करते हुए, इस पर 1936 का पेपर किया। यदि आप ट्यूरिंग मशीन के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो कागज की जांच करें। इससे पहले कि वह एनिग्मा को क्रैक करता है, डिजाइन और निर्माण करने से पहले इस पर गंभीरता से संदेह किया गया था, कि यह अवधारणा वास्तव में काम कर सकती है। हालाँकि अंग्रेज बहुत हताश थे और वह एक प्रतिभाशाली व्यक्ति था, इसलिए उन्होंने उस पर भरोसा किया और इसने बड़े पैमाने पर भुगतान किया।

हालांकि, जब आप इसके बारे में कुछ और सोचते हैं, तो यह वास्तव में बिल्कुल आश्चर्यजनक नहीं है। ट्यूरिंग से बहुत पहले यह ज्ञात था कि गणित के सभी को स्वयंसिद्ध के कुछ सेट तक कम किया जा सकता है। आपको बस इतना करना होगा कि इन स्वयंसिद्ध प्रदर्शनों को करने के लिए निर्देश सेट करें, और आप जाएं।


ट्यूरिंग ने एनगामा का डिजाइन या निर्माण नहीं किया (हालांकि उन्होंने एक और कंप्यूटर डिज़ाइन किया था जो कभी नहीं बनाया गया था)। आपका दूसरा पैराग्राफ अच्छी तरह से बना है: ट्यूरिंग के समय के आसपास बहुत अधिक उत्तेजना (और वास्तव में यह उनके अपने पेपर का बिंदु था) संगणना की सीमाओं से संबंधित है।
मार्सिन

हमने उस पर भरोसा किया? केवल जब तक वह परंपरागत रूप से समलैंगिक साबित नहीं हुआ था, तब तक हमने उसके लिए उसे मार डाला था। यह भी सिद्ध किया गया है कि ऐसी समस्याओं का एक समूह है जो किसी भी स्वयंसिद्ध ढांचे के भीतर कहा जा सकता है जो उन स्वयंसिद्धताओं के साथ कभी भी सिद्ध नहीं हो सकता है।

@ टोनीहोपकिंसन: मुझे पता है। हालांकि, टीएम का काम हर चीज की गणना करना नहीं है , बल्कि केवल गणना करना है कि क्या गणना की जा सकती है। आपका कथन केवल यही कहता है कि कुछ गणनाएँ हैं जो सही साबित नहीं हो सकती हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि वे नहीं किया जा सकता है।

@ मारकिन: मैंने कभी भी, इसका अर्थ यह नहीं लगाया कि ट्यूरिंग ने एनिग्मा का डिजाइन या निर्माण किया है। मैं ने कहा कि वह मशीन है, जिसमें एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई फटा पहेली।

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यह उत्तर गलत है । ट्यूरिंग ने एनिग्मा को क्रैक करने के लिए एक टीएम डिजाइन नहीं किया, उन्होंने बॉम्बे को डिजाइन करने में मदद की जो कि एनिग्मा सिफर पर हमला करने के लिए एक विशेष मशीन थी और सार्वभौमिक नहीं थी। इसके अलावा, यह ज्ञात नहीं था कि गणित को स्वयंसिद्ध के कुछ सेट तक कम किया जा सकता है। वास्तव में 1931 में गोडेल इसके विपरीत साबित हुए और यह इस प्रमाण के विचारों पर है कि ट्यूरिंग का कार्य आधारित था। यहां तक ​​कि ट्यूरिंग के मूल पेपर को पढ़ने के बारे में शुरुआती टिप्पणी भी भ्रामक है। हालांकि पेपर बहुत अच्छा है, अगर आप मूल बातें सीखना चाहते हैं, तो Sipser जैसी आधुनिक पाठ्यपुस्तकें बेहतर हैं।
आर्टेम काज़नाचेव
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