तार्किक न्यूनतम कट एनपी-पूर्ण है?

Question

लॉजिकल मिन कट (LMC) समस्या परिभाषा

मान लीजिए कि एक अनवील डगआउट है, s और t , V के दो कोने हैं , और t s से पहुंच योग्य है । LMC समस्या का अध्ययन करता है कि कैसे हम निम्नलिखित बाधाओं को G के कुछ किनारों को हटाकर s से t को अगम्य बना सकते हैं :$G = (V, E)$$s$$t$$V$$t$$s$$t$$s$$G$

1. हटाए गए किनारों की संख्या न्यूनतम होनी चाहिए।
2. हम के किसी भी शीर्ष के प्रत्येक निकास किनारे को नहीं हटा सकते हैं (यानी, आउटगोइंग किनारों वाले किसी भी शीर्ष पर इसके सभी आउटगोइंग किनारों को हटाया नहीं जा सकता है)।$G$

इस दूसरे अवरोध को तार्किक निष्कासन कहा जाता है। तो हम G के कुछ किनारों को तार्किक, कम से कम हटाने की तलाश करते हैं , ताकि t s से पहुंच से बाहर हो ।$G$$t$$s$

समाधान के प्रयास

अगर हम LMC समस्या के तार्किक निष्कासन की कमी को नजरअंदाज करते हैं , तो यह अनवीटेड डिग्राफ में न्यूनतम कटौती की समस्या होगी, इसलिए यह सॉल्व करने योग्य बहुपद (अधिकतम-प्रवाह मिन-कट प्रमेय) होगा।$G$

अगर हम LMC समस्या के न्यूनतम हटाने बाधा की अनदेखी, यह एक DAG में फिर से व्याख्या करने योग्य polynomially हो जाएगा: लगता है एक शीर्ष ऐसी है कि कश्मीर से पहुंचा जा सकता है रों और टी से पहुंच योग्य नहीं है कश्मीर । फिर एक पथ p पर विचार करें जो कि s से k तक का एक मनमाना मार्ग है । अब पथ p को G के उपसमूह के रूप में मानें : उत्तर सबग्राफ p के प्रत्येक निकास किनारे होगा । यह स्पष्ट है कि शीर्ष k को बहुपद समय में DFS द्वारा G में पाया जा सकता है । दुर्भाग्य से यह एल्गोरिथ्म सामान्य रूप से काम नहीं करता है$k$$k$$s$$t$$k$$p$$s$$k$$p$$G$$p$$k$$G$ एक मनमाने ढंग से निर्देशित ग्राफ के लिए।

मैंने एक गतिशील प्रोग्रामिंग तकनीक द्वारा LMC समस्या को हल करने की कोशिश की लेकिन समस्या को हल करने के लिए आवश्यक राज्यों की संख्या घातीय हो गई। इसके अलावा, मैंने कुछ एनपी-कंप्लीट समस्याओं जैसे 3-सैट, मैक्स 2 सेट, मैक्स-कट और एलएमसी समस्या को कम करने की कोशिश की जिसे मैंने कम करने के लिए प्रबंधित नहीं किया।

मुझे व्यक्तिगत रूप से लगता है कि LMC समस्या NP- पूर्ण है भले ही एक द्विआधारी DAG हो (यानी, एक DAG जहाँ कोई नोड 2 से अधिक नहीं है)।$G$

प्रशन

1. क्या एलएमसी समस्या एनपी-पूर्ण एक मनमाना डिजीट ? (मुख्य प्रश्न)$G$
2. क्या एलएमसी समस्या एनपी-पूर्ण एक डीएजी ?$G$
3. क्या एलएमसी समस्या एनपी-पूर्ण एक मनमाना बाइनरी डीएजी ?$G$

Comments

मुझे पूरा यकीन है कि यदि आपका ग्राफ़ अप्रत्यक्ष है तो समस्या पी में है । क्या यह आपके प्रश्न का पर्याप्त उत्तर होगा? $\mathrm{P}$

— एलेक्स दस ब्रिंक

@ सईदअमीरि: और टी के लिए एक मिनट काटें । यदि यह एक शीर्ष को काटता है, तो इस शीर्ष को s या t होना चाहिए । यदि यह दोनों है, तो ऐसा कोई न्यूनतम कटौती नहीं है। मान लीजिए टी डिस्कनेक्टेड वर्टेक्स है और ( टी , वी ) एज है। इस बढ़त निकालें और पर एक मिनट कट प्रदर्शन रों और वी रिकर्सिवली। $s$$t$$s$$t$$t$$(t,v)$$s$$v$

— एलेक्स दस ब्रिंक

एक साधारण अवलोकन द्वारा, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि यदि निम्न समस्या एनपी-पूर्ण है तो एलएमसी समस्या एनपी-पूर्ण भी होगी (मैं यह सुनिश्चित नहीं कर सकता कि उलटा सच है)। मान लीजिए कि एक खुदाई है। हम कैसे पर एक मिनट कट हो सकता है जी (विभाजन वी के एस और टी सेंट से किनारों की संख्या एस के टी कम है) और वहाँ एक शीर्ष मौजूद नहीं है v से संबंधित वी सेंट के हर बाहर निकलने के किनारे के प्रमुख वी अंतर्गत आता है से T (एग्जिट एज S से S तक है$G=(V,E)$$G$$V$$S$$T$$S$$T$$v$$V$$v$$T$$S$ )। $T$

— अमीर

क्रॉसपोस्ट: mathoverflow.net/questions/95239/…

— Tsuyoshi Ito

अमीर, सिर्फ बाधा (2) के साथ समस्या के लिए, एल्गोरिथ्म जो आप सुझाते हैं, जैसा कि मैं समझता हूं, यह काफी सही नहीं है। एक समाधान हो सकता है, भले ही सभी नोड्स v के लिए, s से v तक का मार्ग हो और v से t तक का मार्ग हो। ग्राफ पर विचार के साथ वी = { रों , टी , एक } और ई = { ( रों , टी ) , ( रों , एक ) , ( एक , एस ) } ।$G=(V,E)$$V=\{s,t,a\}$$E=\{(s,t),(s,a),(a,s)\}$

— नील युवा

Answer 1

बता दें कि G = (V, E) भारित DAG है, s और t, G के दो कोने हैं, और LSTMC = (G, s, t) तार्किक सेंट मिन-कट समस्या का एक उदाहरण है। यह स्पष्ट है कि LSTMC समस्या NP.N है, हमें यह दिखाना चाहिए कि LSTMC NP-Hard है। हम LSTMC समस्या से टकराने की समस्या को कम करते हैं। S = {s1, s2, ..., sn} दिए गए सेट हो सकते हैं और {a1, a2, ..., am} सभी सेटों का मिलन होना चाहिए। संख्या k1 को देखते हुए, हिटिंग सेट समस्या की निर्णय समस्या बताती है कि क्या कोई सेट k1 तत्वों के साथ मौजूद है जैसे कि S के प्रत्येक तत्व (प्रत्येक सेट si st i = 1..n) में A का कम से कम एक तत्व होता है। एचएस (एस) के रूप में हिटिंग सेट समस्या को निरूपित करें। हम एल्गोरिथम HS2LSTMC द्वारा सेट S से भारित DAG G D का निर्माण करते हैं। यह एल्गोरिथम डीएजी जी as के स्रोत शीर्ष के रूप में मानता है। HS सेट i = 1..n के प्रत्येक सेट के लिए, एल्गोरिथ्म इसी शीर्ष को मानता है, सी, और प्रत्येक सी से अनंत भार के साथ एक बढ़त जोड़ता है। फिर, इनपुट के संघ के प्रत्येक तत्व aj के लिए st j = 1..m सेट होता है, एल्गोरिथ्म इसी शीर्ष, aj पर विचार करता है, और HS में किसी भी aj st aj insi से प्रत्येक सी से शून्य भार के साथ एक बढ़त जोड़ता है। अंत में, एल्गोरिथ्म t और k नामक दो अंतिम लंबों को मानता है, और प्रत्येक aj st j = 1..m से दोनों किनारों को दोनों अंतिम शीर्षों में जोड़ता है। यह स्पष्ट है कि जी। को बहुपद समय में बनाया जा सकता है।

अब, हमें यह प्रदर्शित करना चाहिए कि एचएस (एस) का k1 तत्वों के साथ एक उत्तर है यदि और केवल अगर LSTMC = (G t, s, t) कुछ तार्किक रूप से हटाए गए किनारों के साथ उत्तर है जैसे कि हटाए गए किनारों के भार का योग। k1।

सादगी के लिए, हम उदाहरण देकर, प्रमाण के इस हिस्से का प्रदर्शन करते हैं:

निम्नलिखित आकृति में, मान लीजिए कि S = {s1, s2, s3} ऐसा है कि s1 = {1, 2, 3}, s2 = {1, 4}, और s3 = {2, 5}। चित्र 2 हिट सेट समस्या एचएस (एस) के अनुरूप LSTMC समस्या का भारित DAG G ′ दिखाता है। इस उदाहरण में, सेट ए, अर्थात् एस के सभी तत्वों का संघ ए = {1, 2, 3, 4, 5} है। हमारे पास | एस | = 3 और | ए | = 5. यह उदाहरण दिखाता है कि भारित डीएजी में तार्किक सेंट मिन-कट समस्या के एक विशिष्ट उदाहरण की मदद से हिट सेट समस्या का एक मनमाना उदाहरण कैसे हल किया जा सकता है। यदि हम LSTMC = (G s, s, t) के उत्तर की गणना करते हैं और उत्तर के उन हटाए गए किनारों पर विचार करते हैं जो (a, t) के रूप में होते हैं जिन्हें E1 (1 ≤ j) m) कहा जाता है, तो पूंछ सेट E1, HS (S) का उत्तर है। LSTMC समस्या का उत्तर एज सेट E1 = {(s1, 2), (s1, 3), (s2, 4), (s3, 5), (1, t), (2, t)} है। तो, सबसेट E2 = {(1, t), (2,) का टेल सेट

Answer 2

यहाँ (मनमाने ढंग से द्विआधारी डीएजी पर एलएमसी के लिए एक बहुपद-काल एल्गोरिदम का प्रयास) है ।$G$

यह प्रश्न # 3 का उत्तर देता है। (समय से पहले गड़बड़ लिखने के लिए खेद है। :))

शुरू करने के लिए, "हमेशा के लिए" बाहर फेंक दें कोई भी शीर्ष से उपलब्ध नहीं है । हम इन के बारे में परवाह नहीं करते हैं, क्योंकि वे किसी भी s - t पथ का हिस्सा नहीं हैं ।$s$$s$$t$

अगला, उप-डीएजी और बी को परिभाषित करें , शुरू में खाली। फिर, सभी चक्करों के लिए ∈ G - { s , t } ,$A$$B$$v \in G-\{s, t\}$

टेस्ट करें कि क्या से टी तक का रास्ता है । यदि हां, तो v को A में जोड़ें । यदि नहीं, तो v को B में जोड़ें ।$v$$t$$v$$A$$v$$B$

के किनारों चलो और बी (अब के लिए प्रत्येक समूह में कोने से प्रेरित उन हो, से किसी भी किनारों की अनदेखी रों को एक , से एक करने के लिए टी , और से एक करने के लिए बी , यह भी ध्यान रखें की ओर से कोई किनारों देखते हैं बी करने के लिए टी द्वारा निर्माण)।$A$$B$$s$$A$$A$$t$$A$$B$$B$$t$

फिर, के सकर्मक समापन की गणना करें । अर्थात्, हम कोने के कुछ सेट ढूँढने में दिलचस्पी कर रहे हैं { एक * } कि उप DAG की "पत्ते" कर रहे हैं एक ।$A$$\{a^*\}$$A$

किसी भी तरह के ठीक । गौर करें कि वहाँ से एक निर्देशित धार होना चाहिए एक * करने के लिए टी । इसका कारण यह है निर्माण के द्वारा, (मैं) है एक है रों - टी के माध्यम से पथ एक * , (ii) की ओर से कोई पथ देखते हैं एक * के माध्यम से बी , और (iii) के बाद से एक अपने आप में एक DAG है और एक * एक पत्ता है की एक , वहाँ से कोई मार्ग है एक * का एक और शीर्ष के माध्यम से एक करने के लिए टी ।$a^*$$a^*$$t$$s$$t$$a^*$$a^*$$B$$A$$a^*$$A$$a^*$$A$$t$

अब, वहाँ भी प्रत्येक शिखर से एक निर्देशित धार होना चाहिए में कुछ शीर्ष करने के लिए बी , या के कुछ { एक * } के लिए एक एकल बढ़त हासिल है टी । या तो मामले में, हम किसी भी नष्ट करने के लिए अनुमति दी जाती है एक * → टी धार।$\{a^*\}$$B$$\{a^*\}$$t$$a^*\rightarrow t$

अगर = 1, तो या तो हम किनारे अद्वितीय से हटाना होगा एक * → टी , या वहाँ पहले एक शीर्ष में है रों - टी युक्त पथ एक * करने के लिए दो रास्ते है कि टी के माध्यम से एक - एक * और सीधे एक। मामले कि बाद हो सकता है पकड़ है, हम रिकॉर्ड में एक * → टी "पीछे की ओर लालच से" और आगे बढ़ना (इस नीचे के बारे में विवरण)।$|\{a^*\}|$$a^*\rightarrow t$$s$$t$$a^*$$t$$a^*$$a^*\rightarrow t$

$|\{a^*\}|$$\{a^*\}\rightarrow t$$k < |\{a^*\}|$$A$$s$$\{a^*\}$$t$

$G$

$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$B$

$\{a^*\}$$\{a^*\}$$t$$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$t$$s$

$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$t$$\{a^*\}$$t$$s$$t$$s$

$A$

$O(|E|)$$O(|E|^2)$$O(|E|)$।

$O(|V|\cdot(|V|+|E|))$$O(|V|^3)$$O(|E|^2)$$O(|V|^2+|E||V|+|V|^3+|E|^2) = {\bf O(|V|^3+|E|^2)}$

$s$$t$

Comments

$\{a^∗\}$$B$$\{a^∗\}$$t$$(a^∗,t)$$a^*$$\{a^*\}$

$s$$\{a*\}$$a$$A$

मैं आखिरकार यह साबित करने में कामयाब रहा कि यह समस्या एनपी-पूर्ण है।

— अमीरव

@amirv ओह, कृपया कर शेयर एक जवाब के रूप में सबूत की एक रूपरेखा!

— राफेल

समस्या एनपी-पूर्ण है, भले ही अंतर्निहित डिग्राफ एक अनवेटेड बाइनरी डीएजी हो।

— अमीर