आश्रित प्रकार के सिद्धांत में विश्वविद्यालय

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मैं होमोटॉपी टाइप थ्योरी ऑनलाइन पुस्तक में आश्रित प्रकार के सिद्धांत के बारे में पढ़ रहा हूं ।

टाइप थ्योरी अध्याय के खंड 1.3 में , यह यूनिवर्स की पदानुक्रम की धारणा का परिचय देता है : , जहां $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$

हर ब्रह्मांड अगले ब्रह्मांड का एक तत्व है । इसके अलावा, हम मानते हैं कि हमारे ब्रह्मांड संचयी हैं, अर्थात सभी तत्व ब्रह्मांड भी ब्रह्मांड के तत्व हैं। $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_{i+1}$ $i^{\mathrm{th}}$ $(i+1)^{\mathrm{th}}$

फिर भी, जब मैं परिशिष्ट A में विभिन्न प्रकारों के लिए गठन नियमों को देखता हूं, पहली नज़र में, यदि कोई ब्रह्मांड एक आधार के रूप में बार के ऊपर दिखाई देता है, तो वही ब्रह्मांड नीचे दिखाई देता है। उदाहरण के लिए प्रतिरूप प्रकार गठन नियम के लिए:

\frac{Γ ⊢ A : U_{i} Γ ⊢ B : U i}{Γ ⊢ A + B : U_{i}} (+ - F O R M)

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

तो मेरा सवाल यह है कि एक पदानुक्रम क्यों आवश्यक है? आपको किस परिस्थिति में एक ब्रह्मांड से एक उच्चतर पदानुक्रम में कूदने की आवश्यकता है? यह वास्तव में मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि कैसे के किसी भी संयोजन को देखते हुए , आप एक प्रकार से खत्म कर सकते हैं वह यह है कि नहीं में । अधिक विवरण में: परिशिष्ट A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2 के वर्गों में गठन नियम या तो उल्लेख करते हैं आधार और निर्णय में, या सिर्फ निर्णय में। $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_i$

पुस्तक यह भी संकेत देती है कि ब्रह्मांडों को निर्दिष्ट करने का एक औपचारिक तरीका है:

यदि कोई तर्क सही है, इस बारे में कोई संदेह है, तो इसे जांचने का तरीका यह है कि इसमें दिखाई देने वाले सभी ब्रह्मांडों को लगातार स्तर प्रदान करने का प्रयास करें।

लगातार स्तरों को असाइन करने की प्रक्रिया क्या है?

$\mathcal{U}:\mathcal{U}$ रसेल विरोधाभास की ओर ले जाएगा । रसेल विरोधाभास से बचने का स्पष्ट रूप से पुस्तक में उल्लेख किया गया है (पृष्ठ 24)। यह अधिक विवरण पृष्ठ ५४, ५५ में भी जाता है जो "टार्स्की-शैली के ब्रह्मांडों" के बजाय "रसेल-शैली के ब्रह्मांड" का उपयोग करता है। इसलिए बहुत उच्च स्तर पर, मैं इस बात को स्वीकार करता हूं कि सिद्धांत विरोधाभास से बचना चाहता है। दुर्भाग्य से मेरे पास सीधे तौर पर समझ बनाने के लिए पृष्ठभूमि नहीं है। क्या मैं इस सवाल में के बाद कर रहा हूँ, वास्तव में सिर्फ में चीजों के कुछ उदाहरण हो रही द्वारा सतह खरोंच है और में नहीं के लिए और कुछ और है कि मुझे एक महसूस हो सकता है कैसे पदानुक्रम काम करते हैं। $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— huynhjl
स्रोत

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@huynhjl विरोधाभासों से बचने के लिए ब्रह्मांड का उपयोग करना आवश्यक नहीं है, उदाहरण के लिए न तो जेडएफ सेट सिद्धांत और न ही क्वीन का एनएफ, दो वैकल्पिक गणितीय नींव उनका उपयोग करते हैं। यूनिवर्स विरोधाभासों से बचने का एक सुविधाजनक तरीका है (या इसलिए हमें उम्मीद है) जबकि एक ही समय में बहुत अभिव्यंजक प्रकारों के निर्माण की क्षमता है।

— मार्टिन बर्गर

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ब्रह्मांड से लेकर उच्चतर पदानुक्रम में हमें किन परिस्थितियों में कूदने की आवश्यकता है, यह एक अच्छा सवाल है। पदानुक्रम और उस पर चढ़ने की क्षमता होना महत्वपूर्ण है। जब आप किसी ब्रह्मांड को एक प्रकार या एक प्रकार के भाग के रूप में मानना चाहते हैं, तो आपको स्तरों को कूदने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए (गैर-निर्भर) के कार्यों को परिभाषित करने के लिए आपको दिखाना होगा कि एक ब्रह्मांड में है। लेकिन यह या कुछ छोटे ब्रह्मांड नहीं हो सकता । तो हम क्या करे? समस्या से निपटने के लिए (बिना उपयोग के ), हमें एक ब्रह्मांड को कूदने की आवश्यकता है। नियम जो हमें इस कूदने में सक्षम बनाता है वह है -Intro

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$

\frac{⊢ Γ : c t x}{Γ ⊢ U_{i} : U_{i + 1}},

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$ परिशिष्ट A.2.3 में दिए गए । ब्रह्मांडों के पदानुक्रम का बहुत बिंदु यह है कि हम ऐसा कर सकते हैं। यह एक सुरक्षित सन्निकटन के रूप में देखा जा सकता है जिसमें ब्रह्मांड स्वयं होते हैं।

— मार्टिन बर्जर
स्रोत

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$X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{i}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{i}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

$\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{max (i, j)}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j} i \leq k j \leq k}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{k}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— प्रेमिका बाउर
स्रोत