टाइप करते समय एक गलत प्रस्ताव का उदाहरण: प्रकार

Question

टाइप थ्योरी में यदि कोई टाइप को खुद का सदस्य बनाने की अनुमति देता है, तो यह सिद्धांत को असंगत बना देता है। मैं इसे सेट थ्योरी में रसेल के विरोधाभास के अनुरूप समझ रहा हूं, लेकिन इसे टाइप थ्योरी में देखना पसंद करूंगा। क्या टाइप थ्योरी में समकक्ष का एक छोटा उदाहरण है?

Answer 1

प्रासंगिक साहित्य निम्नलिखित है:

थिएरी Coquand प्रकार सिद्धांत (लिंक) में एक नया विरोधाभास । वह एक प्रणाली में अपने विरोधाभास का वर्णन करता है जो कुछ हद तक कमजोर है

Type : Type

लेकिन वह आसानी से ऊपर ले जाया जा सकता है। मुख्य विचार रेनॉल्ड्स प्रमाण ले रहा है कि सेट सिद्धांत में सिस्टम एफ के कोई मॉडल नहीं हैं। प्रपत्र के प्रारंभिक बीजगणित के निर्माण से यह होता है:

$$A\simeq (A \rightarrow \mathrm{2}) \rightarrow \mathrm{2}$$

जहां 2 तत्वों के साथ एक सेट है, और एक कार्डिनिटी तर्क द्वारा एक विरोधाभास प्राप्त कर रहा है। Coquand शो$\mathrm{2}$

1. आप इस तर्क को उपरोक्त प्रकार के सिद्धांत में ले सकते हैं
2. वहाँ है कि सिद्धांत रूप में प्रणाली एफ के एक मॉडल। इससे विरोधाभास पैदा होता है।

दूसरा लेख एंटोनियस हर्केंस का है, और गिरार्ड के विरोधाभास (लिंक) का एक सरलीकरण शीर्षक है । प्रमाण में "सभी प्रकार के प्रकारों का निर्माण" शामिल है। मुझे यह स्वीकार करना चाहिए कि सामान्य विचार स्पष्ट लगता है, लेकिन विवरण काफी शैतानी है।

मुझे डर है कि कोई भी आसान, में विरोधाभास को समझने में आसान नहीं है । हालांकि विरोधाभास से प्राप्त सबूत-शब्द अपेक्षाकृत अधिक ट्रैक्टेबल हैं: केवल कुछ पंक्तियां उन्हें परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं।$\mathrm{Type} : \mathrm{Type}$

एलेक्जेंडर मिकेल ने अपनी थीसिस शोध प्रबंध में दिखाया कि कोई व्यक्ति इन असंगत प्रकार के सिस्टम में सेट के एक ग्राफ ग्राफ व्याख्या का उपयोग करके भोले सेट सिद्धांत का एक मॉडल बना सकता है। वह सीधे रसेल के विरोधाभास को लागू कर सकता है। दुर्भाग्य से मॉडल निर्माण में थोड़ा काम लगता है, और शोध प्रबंध फ्रेंच में है।