क्या न्यूनतम चाल से डिब्बे को भरना मुश्किल है?

Question

हैं डिब्बे और गेंदों के प्रकार। वें बिन लेबल है a_ {i, j} के लिए 1 \ Leq जे \ Leq मीटर , यह प्रकार की गेंदों की अपेक्षित संख्या है जे ।$n$$m$$i$$a_{i,j}$$1\leq j\leq m$$j$

आप टाइप j की $b_j$ गेंदों से शुरू करते हैं । टाइप जे की प्रत्येक गेंद का वजन w_j होता है , और गेंदों को ऐसे डिब्बे में डालना चाहते हैं कि बिन i का वजन c_i हो । गेंदों का ऐसा वितरण जो पिछली स्थिति को धारण करता है, एक व्यवहार्य समाधान कहलाता है।$j$$j$$w_j$$i$$c_i$

के साथ एक संभव समाधान पर विचार करें $x_{i,j}$ प्रकार की गेंदों $j$ बिन में $i$ , तो लागत है $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}|$। हम न्यूनतम लागत संभव समाधान खोजना चाहते हैं।

यह समस्या स्पष्ट रूप से NP-hard है यदि $\{w_j\}$ पर कोई प्रतिबंध नहीं है । सब्मिट योग समस्या एक संभव समाधान के अस्तित्व को कम करती है।

हालाँकि, अगर हम ऐसी शर्त जोड़ते हैं कि $w_j$ हर j के लिए $w_{j+1}$ को विभाजित करता है , तो सब्मिट राशि में कमी अब काम नहीं करती है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि परिणामी समस्या NP-hard बनी हुई है या नहीं। एक व्यवहार्य समाधान के अस्तित्व के लिए जाँच करने में केवल O (n \ _ m) समय लगता है (प्रश्न के अंत में संलग्न), लेकिन यह हमें न्यूनतम-लागत संभव समाधान नहीं देता है।$j$$O(n\,m)$

समस्‍या के समतुल्य पूर्णांक प्रोग्राम सूत्रीकरण है। दिए गए $a_{i,j},c_i,b_j,w_j$ लिए $1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$ : \ start

$$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m x_{i,j}w_j = c_i \text{ for all } 1\leq i\leq n\\ & \sum_{i=1}^n x_{i,j} \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ & x_{i,j}\geq 0 \text{ for all } 1 \leq i\leq n, 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$$

मेरा सवाल यह है कि,

क्या उपरोक्त पूर्णांक प्रोग्राम NP- हार्ड है जब $w_j$ सभी j के लिए $w_{j+1}$ को विभाजित करता है ?$j$

एक एल्गोरिथ्म तय करने के लिए कि क्या $O(n\,m)$ समय में कोई संभव समाधान है :

परिभाषित करें $w_{m+1}=w_m(\max_{j} c_j + 1)$ और $d_j = w_{j+1}/w_j$ । जब a को b से विभाजित किया जाता है, तो $a\%b$ ही रहने दें ।$a$$b$

1. यदि कोई $c_i$ मौजूद है जो w_1 द्वारा विभाज्य नहीं है , तो "कोई व्यवहार्य समाधान नहीं" $w_1$ । (अपरिवर्तनीय $c_i$ विभाजन $w_j$ को हमेशा निम्नलिखित लूप में बनाए रखा जाएगा)

2. के लिए $j$ से $1$ करने के लिए $m$ :

   1. $k \gets \sum_{i=1}^n (c_i/w_j)\%d_j$ । (वजन की न्यूनतम गेंदों की न्यूनतमआवश्यकता$w_j$ )
   2. यदि $b_j<k$ , "कोई व्यवहार्य समाधान नहीं" लौटाएं।
   3. $c_i \gets c_i - ((c_i/w_j)\% d_j)$ सभी के लिए । (वजन की आवश्यक गेंदों की न्यूनतम संख्या को )$i$$w_j$
   4. $b_{j+1} \gets \lfloor (b_j-k)/d_j \rfloor$ । (बड़ी गेंद में समूह की छोटी गेंदें)
3. वापसी "एक व्यवहार्य समाधान है"।

विशेष मामले के लिए एक बहुपद समय समाधान जहां , और एस की शक्ति है$n=1$$w_j$$2$

यह ज्ञात है कि यदि और सभी शक्तियां हैं , तो इस विशेष मामले को बहुपद समय में हल किया जा सकता है। $n=1$$w_j$$2$

$$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{j=1}^m |a_j-x_j| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m w_j x_j = c\\ & 0 \leq x_j \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$$

समाधान को यूज़ो गु द्वारा संकेत दिया गया था , और यहां एक लेख लिखा जा सकता है ।

Answer 1

कुछ पृष्ठभूमि। उपरोक्त समस्या प्रतिबंधों के साथ समस्या है। के साथ या बिना प्रतिबंधों के सबसे कुशल knapsack समस्या समाधान pseudopolynomial समय में हल किया जा सकता है, फिर भी NP-Hard। कुछ बदलावों के लिए, https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Definition देखें । इस भिन्नता में पहला प्रतिबंध यह है कि नैकपैक (डिब्बे) में रखी जाने वाली वस्तुओं (गेंदों) का मूल्य मायने नहीं रखता है। समस्या तब होती है जब आइटम को नैकपैक में रखने के लिए समय की मात्रा तक सीमित होता है। मूल समस्या के लिए सबसे मूल्यवान वस्तुओं को कम से कम समय में रखा जाना चाहिए। इस संस्करण के साथ एक और प्रतिबंध यह है कि भार और अन्य सभी तर्क पूर्णांक हैं। और ब्याज की प्रतिबंध यह है कि वजन है$w_j$सभी लिए w j + 1 को विभाजित करें । नोट: आंशिक फ्रैपटैक समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है, लेकिन मूल समस्या का सबसे व्यावहारिक समाधान प्रस्तुत नहीं करता है। यह समस्या पूर्णांक का उपयोग करती है जो समान रूप से विभाजित होती है (कोई तर्कसंगत समाधान नहीं)। शायद देखते हैं कि नैकलैस समस्या के साथ क्या बड़ी बात है? ।$w_{j+1}$$j$

मुख्य प्रश्न शायद "होना चाहिए" क्या यह समस्या अभी भी एनपी-हार्ड है जब एक बहुपद द्वारा अनुरूप है , क्योंकि समस्या कम जटिल है (P में) जब यह बाध्य होता है? कारण मैं यह कहता हूं क्योंकि समस्या है? में तब दिखाया जाना चाहिए जब और NP-Hard जब आवश्यक रूप से विभाजित नहीं करता है$w_j$$i$$w_j$$w_j$$w_{j+1}$समान रूप से (वजन केवल यादृच्छिक हैं), सभी प्रतिबंध इस समस्या की जटिलता को इन दो स्थितियों तक सीमित करते हैं। ये स्थितियाँ (1. आइटम-मूल्य प्रतिबंध के बिना यादृच्छिक वजन कम करने की समस्या और आइटम-मूल्य प्रतिबंध के बिना 2. विभाज्य वजन घटाने की समस्या) जटिलता को कम करने के संदर्भ में एक-दूसरे को नकारते हैं, क्योंकि भार के उद्धरण स्वयं यादृच्छिक हो सकते हैं ( विशेष रूप से अनबाउंड), इस प्रकार घातांक समय गणना (यह नीचे दिए गए उदाहरण में दिखाया जाएगा)। इसके अतिरिक्त, क्योंकि विभाजित होता है , आकार में प्रत्येक लिए तेजी से बढ़ता है$w_j$$w_{j+1}$$w_j$$j$। इसका कारण यह है कि यादृच्छिक भारित वस्तुओं (गेंदों का जिनकी इकाई का वजन सभी 100 या 50 या 10 के तहत इकाई भार तक सीमित हो सकता है) का उपयोग करने के बजाय, प्रतिबंध समय की जटिलता के कारण के अंकों की संख्या पर निर्भर करता है , जैसा कि परीक्षण प्रभाग, जो घातीय है।$w_j$

तो हाँ, उपरोक्त पूर्णांक प्रोग्राम होने पर भी NP- हार्ड बना रहता है$w_j$ divides $w_{j+1}$ for all $j$. And this is easily observed.

Example 1: let $n = 1$ and $w_p$ be powers of two. Because of constant two, the entire problem is solved in quadratic time, as your example shows. The weights are not random and therefore the calculation is solved efficiently.

Example 2: let $w_{j+1}$ be defined as $w_j * p$, where $p$ is the prime number corresponding to $j$, such that $p=2, j=1: p=3, j=2, p=5, j=3, p=7, j=4,...,P, J$. This is applicable, as $w_j$ divides $w_{j+1}$ for all $j$. We get each $w_j$ is the product of all the primes up to $j$. The values of the unit weights increase as such: $1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, ...$. Since there is a bound ($p_j$ ~ $j log (j)$, via the prime number theorem), as the quotients are all primes, we get the complexity NP-Intermediate.

Example 3: let $w_{j+1}$ be defined as $w_j * R_p$, where $R_p$ is a randomly chosen prime number from two to infinity, corresponding to $j$. This is applicable to this problem, as $w_j$ divides $w_{j+1}$ for all $j$. We get the first 5 quotients (randomly falling from two to infinity), as $101, 2657, 7, 3169, 2$. We see that even at the 5th ball, the weight has eleven digits. Fortunately, the fifth quotient was two and not a prime in the order of $10^{100}$ or larger.

Example three above is what happens when $w_j$ is not bounded (random weights) by a polynomial corresponding to $i$. The time complexity is exponential, NP-Hard. For some perspective, just add up all the weights, see if they fit. But there isn’t a solution to solving it significantly faster by making the weights divisible than trying each subset to see if it works. After a few dozen balls, you are still entering the realm of even the trillions of subsets or trillions of digits.

Comments

But prime factorization is considered not to be NP-hard. It is considered to be NP-indermediate.

— rus9384

I don't see a reduction here. What is the actual reduction? Taking input of prime factorization, and somehow output the factorization using solution of the integer program.

— Chao Xu

Would do you mean by "the above integer program is NP-hard"? An individual program cannot be NP-hard.

— Yuval Filmus

In fact prime factorization is in $\mathsf{NP\cap coNP}$. So, it is $\mathsf{NP}$-hard if $\mathsf{NP=coNP}$.

— rus9384

Unfortunately, the additional edits did not clear it up. An actual reduction would be helpful.

— Chao Xu