क्या सभी Integer रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याएँ NP-Hard हैं?

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जैसा कि मैं समझता हूं, असाइनमेंट की समस्या पी में है क्योंकि हंगेरियन एल्गोरिथ्म इसे बहुपद समय में हल कर सकता है - ओ (एन ³ )। मैं यह भी समझता हूं कि असाइनमेंट समस्या एक पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या है, लेकिन विकिपीडिया पृष्ठ बताता है कि यह एनपी-हार्ड है। मेरे लिए, यह एनपी-हार्ड में असाइनमेंट की समस्या है।

लेकिन निश्चित रूप से असाइनमेंट की समस्या पी और एनपी-हार्ड दोनों में नहीं हो सकती है, अन्यथा पी एनपी के बराबर होगा? क्या विकिपीडिया पृष्ठ का सीधा मतलब है कि सभी ILP समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिथ्म NP-Hard है? कुछ अन्य स्रोत बताते हैं कि ILP NP-Hard है इसलिए यह वास्तव में जटिलता वर्गों की मेरी समझ को सामान्य रूप से भ्रमित कर रहा है।

— मैट
स्रोत

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एनपी-हार्ड का अर्थ है कि (जब तक कि पी = एनपी) हर पॉलीटाइम निर्धारक एल्गोरिथ्म कुछ (अनंत) उदाहरणों के सेट पर विफल नहीं होता है । आमतौर पर आसान उदाहरणों के सेट होते हैं।

— साशो निकोलेव

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ध्यान दें कि बयान "हर आईपी एनपी-हार्ड नहीं है" लेकिन " हर आईपी को हल करना एनपी-हार्ड है"।

— राफेल

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एक टिप्पणी के रूप में, निश्चित आयाम के लिए आईपी पी में है

— ए स्चुलज़

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यदि कोई समस्या NP-Hard है तो इसका मतलब है कि उस समस्या के उदाहरणों का एक वर्ग मौजूद है, जो NP-Hard हैं। यह अन्य विशिष्ट वर्गों के उदाहरणों के लिए बहुपद समय में हल करने के लिए पूरी तरह से संभव है।

उदाहरण के लिए एक ग्राफ के 3-रंग को खोजने की समस्या पर विचार करें । यह एक प्रसिद्ध एनपी-हार्ड समस्या है। अब कल्पना करें कि इसके उदाहरण ग्राफ़ के लिए प्रतिबंधित हैं, उदाहरण के लिए, पेड़। स्पष्ट रूप से आप बहुपदों के समय में एक पेड़ का 3-रंगकरण आसानी से पा सकते हैं (वास्तव में आप एक 2-रंग भी पा सकते हैं)।

एक सेकंड के लिए निर्णय समस्याओं पर विचार करें। निर्णय की समस्या की कठोरता को साबित करने का एक तरीका एक बहुपद (Karp) कमी को एक अन्य समस्या से घटा रहा है जिसे NP-Hard के नाम से जाना जाता है। इस कमी में आपको बताएंगे कि वहां मौजूद है कि एक समारोह कि प्रत्येक उदाहरण के नक्शे समस्या का समस्या का एक उदाहरण के लिए ऐसी है कि: के लिए एक हाँ उदाहरण है के लिए एक हाँ उदाहरण है । इसका तात्पर्य यह है कि को हल करने से " को हल करने में कम से कम" मुश्किल "होना चाहिए । $P$ $Q$ $f$ $q$ $Q$ $P$ $q$ $Q \iff f(q)$ $P$ $f(q)$ $q$

ध्यान दें कि की छवि के उदाहरणों के सेट के बराबर होने के लिए यह कैसे आवश्यक नहीं है । इसलिए यह समस्या के लिए पूरी तरह से कमजोर है कठिन नहीं होने के लिए उदाहरणों के कुछ सबसेट तक सीमित है। $f$ $P$ $P$

अपने मूल प्रश्न पर लौटने के लिए:

असाइनमेंट की समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है, अर्थात, असाइनमेंट समस्या के प्रत्येक उदाहरण का समाधान बहुपद समय में गणना की जा सकती है।
आईएलपी एनपी-हार्ड है: सामान्य तौर पर आईएलपी समस्या के समाधान की गणना करना कठिन हो सकता है, यानी आईएलपी के ऐसे उदाहरण हैं जो कठिन हैं।
आईएलपी के कुछ विशिष्ट उदाहरणों को बहुपद समय में हल किया जा सकता है।

— स्टीवन
स्रोत

क्या आप समझा सकते हैं कि क्या यह आवश्यक है

f

$f$ के प्रत्येक उदाहरण को मैप करने के लिए

Q

$Q$ क्या हम एक सबसेट का नक्शा नहीं बना सकते

Q

$Q$ ? की पूर्व-छवि है

f

$f$ सभी का होना चाहिए

Q

$Q$ ?

— Mat

यह आवश्यक नहीं है

f

$f$ के प्रत्येक उदाहरण को मैप करने के लिए

Q

$Q$ जब तक यह (अनंत) वर्ग के कठिन उदाहरणों का मानचित्र बनाता है

Q

$Q$ । उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए

P

$P$ एनपी-हार्ड है, जो प्लानर ग्राफ़ के लिए प्रतिबंधित 3-रंग की समस्या से एक कमी प्रदान कर सकता है।

— स्टीवन

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नहीं, विशेष मामले आसान हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, इस आईपी पर विचार करें $a_i \geq 0$ के लिये $i \in [1..n]$ :

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

st और लिए । $\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$ $i \in [1..n]$

यह (जिसके लिए, अनिवार्य रूप से, को एक इष्टतम समाधान में) के बीच न्यूनतम पाता है । नंबरों के मिनियम को खोजना स्पष्ट रूप से एक बहुपद समस्या है। $a_1, \dots, a_n$ $x_i=1$ $n$

— राफेल
स्रोत

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आप एक आईपी के रूप में एक बहुपत्नी हल समस्या मॉडल कर सकते हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि समस्या एनपी-हार्ड है। इसका सीधा सा मतलब है कि आपकी समस्या के आईपी मॉडल को हल करने के लिए कोई ज्ञात बहुपद एल्गोरिथ्म नहीं है (जब तक कि पी = एनपी)।

तो जैसा कि आपने सुझाव दिया था, असाइनमेंट की समस्या P में है, लेकिन आपका IP मॉडल NP-hard है।

— ऑस्टेन
स्रोत

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राफेल के जवाब में आईपी बहुपद समय में हल किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सामान्य रूप से हमें आईपी को हल करने के लिए एक तेज़ एल्गोरिथम का पता नहीं है, लेकिन आईपी समस्याओं के विशेष मामले हैं जिनके लिए हमारे पास तेज़ एल्गोरिदम हैं।

— जुहो २२'१३

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नहीं, एक विशेष प्रकार के पूर्णांक कार्यक्रम हैं, यदि बाधा मैट्रिक्स TUM (पूरी तरह से एककोशिकीय मैट्रिक्स) है, तो इसे रैखिक कार्यक्रम में आराम दिया जा सकता है, जिसे बहुपद समय में हल किया जा सकता है।

— जियान्हो मा
स्रोत

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असाइनमेंट की समस्या ILP नहीं है, लेकिन LP समस्या है और इसलिए NP-hard नहीं है।

— जूलिया
स्रोत

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मुझे यकीन नहीं है कि आपको क्यों लगता है कि असाइनमेंट की समस्या ILP नहीं है। ऐसा होता है कि, इस मामले में, रैखिक कार्यक्रम का इष्टतम समाधान पूर्णांक रैखिक कार्यक्रम का इष्टतम समाधान भी है ... लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यह आईएलपी का उदाहरण नहीं है।

— DW

इसके अलावा, स्वयं के द्वारा व्यक्तिगत उदाहरण कभी भी एनपी-हार्ड नहीं होते हैं। आप कहना चाहते हैं "यह वास्तव में एक आसान उदाहरण है", लेकिन यह बहुत अधिक जटिल कथन है ("आसान" को परिभाषित करें)।

— राफेल