क्या हिडोकू एनपी पूर्ण है?

Question

हिडोकू एक $n \times n$ ग्रिड है जिसमें 1 से तक कुछ पूर्व-पूर्ण पूर्णांक हैं $n^2$। लक्ष्य ग्रिड में क्रमिक पूर्णांक (1 से $n^2$ ) का मार्ग खोजना है । अधिक ठोस, ग्रिड की प्रत्येक कोशिका के लिए 1 से एक अलग पूर्णांक शामिल होना चाहिए $n^2$ और मूल्य के साथ प्रत्येक कोशिका $z ≠ n^{2}$ मूल्य के साथ एक पड़ोसी सेल होना आवश्यक है $z + 1$ (भी तिरछे हो सकता है)।

क्या यह तय करना मुश्किल है कि किसी दिए गए हिडोकू को हल करना है? क्या कमी का उपयोग किया जा सकता है?

संपादित करें: टिप्पणियों के अनुसार, मैं थोड़ा स्पष्टीकरण देता हूं। यह देखते हुए कि कोशिकाओं का एक ग्रिड है, उनमें से कुछ में पहले से ही मान हैं (1 से n² तक पूर्णांक)। हमें 1 से तक पूर्णांक के साथ शेष सभी कोशिकाओं को भरना चाहिए $n^2$, जैसे कि किसी भी दो कोशिकाओं का समान मूल्य नहीं है और मान value प्रत्येक सेल का मान z + 1 है । यही है, कोशिकाओं को भरने के बाद, हमें पथ 1, 2, 3, \ cdots, n ^ 2 का पता लगाना चाहिए । ग्रिड में, जो तार्किक रूप से प्रत्येक सेल पर जाता है।$z ≠ n²$$z + 1$$1, 2, 3,\cdots, n^2$

हिडोकु वूड का एक उदाहरण http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif हो । एक पहले से ही हल किया गया Hidoku http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20160070172340.gif है , जहां आप वह पथ देख सकते हैं जिसका मैं उल्लेख कर रहा था।

Comments

सहज रूप से, इसके माध्यम से ज्यादा सोचने के बिना, यह पहली नज़र में बहुविध विलायक लगता है। अनुमत ( ) और कोने ( ) पर गतिशील प्रोग्रामिंग की तरह कुछ । समय में हल करने योग्य लगता है । v 1 , … v n O ( n 3$1, \dots, n^2$$v_1, \dots v_n$$O(n^3)$

— पाएल जीडी

इसे ग्राफ के रूप में समान रूप से मॉडल किया जा सकता है, अगर वे में उत्तराधिकारी हैं, तो किनारों को नोड्स से जोड़ते हैं । फिर, आप एक हैमिल्टन मार्ग की तलाश कर रहे हैं। इटाई एट अल द्वारा ग्रिड ग्राफ में हैमिल्टन पथ के अनुसार । (1982) यह समस्या ग्रिड ग्राफ में एनपी-पूर्ण है। यह आपकी समस्या को तुरंत फिट नहीं करता है क्योंकि आप विकर्ण कनेक्शन की अनुमति देते हैं, लेकिन यह बुरी तरह से काटता है। $\mathbb{N}$

— राफेल

@ राफेल ने ग्राफ को DAG नहीं बनाया है?

— पाएल जीडी

मैं यह नहीं देखता कि यह डीएजी कैसे है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, इनपुट एक (अप्रत्यक्ष) ग्रिड ग्राफ है (विकर्ण किनारों से युक्त) और लक्ष्य हैमिल्टन मार्ग ढूंढना है, जहां पथ पर कुछ नोड्स की स्थिति दी गई है।

— जॉर्ज

@ जॉर्ज ओके, मैंने एक ग्रिड में बढ़ते मूल्यों का अधिकतम मार्ग खोजने के रूप में प्रश्न की व्याख्या की!

— पाएल जीडी

Answer 1

मुझे लगता है कि यह अपूर्ण है: जैसा कि राफेल द्वारा देखा गया है, छेद की समस्या के साथ ग्रिड ग्राफ पर हैमिल्टनियन चक्र एनपी-पूर्ण ( एलोन इटाई, क्रिस्टोस एच। पापाडिमित्रिउ, जेमे लुइज़ स्ज़्वेसकाइटर: हैमिल्टन पाथ इन ग्रिड ग्राफ़्स। सियाम जे। कंपुत) 11 (4): 676-686 (1982) )।$\sf{NP}$

तो छेदों के साथ एक ग्रिड ग्राफ दिया गया है , आप आसानी से एक समान हिडोकू गेम का निर्माण कर सकते हैं जहां प्रारंभिक निश्चित कोशिकाएं सभी समान विकर्णों को भरती हैं; खाली विषम विकर्ण एक अप्रत्यक्ष ग्राफ बनाते हैं जो मूल ग्रिड ग्राफ G के समान होता है और Hidoku में एक समाधान होता है यदि और केवल मूल ग्रिड ग्राफ में हैमिल्टन पथ हो।$G$$G$

चित्र 1: छेद वाला ग्रिड ग्रिड और समतुल्य हिडोकू पहेली (नीली कोशिकाएँ प्रारंभिक नियत संख्या कोशिकाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं ( 1 पहली है, 144 अंतिम है), सफेद कोशिकाएं कोशिकाएं हैं जिन्हें खिलाड़ी को भरना चाहिए, बैंगनी रेखा प्रारंभिक नियत संख्या कोशिकाओं के अनुक्रम को इंगित करता है)।$12 \times 12$$1$$144$

सहायक (भरी हुई) लाइनों को एक वर्ग बनाने के लिए नीचे या दाईं ओर जोड़ा जा सकता है।

ग्रिड ग्राफ से एक हिडोकू पहेली में कमी का एक और उदाहरण: 6x4 ग्रिड ग्राफ 13x13 ग्रिड में बड़ा है; यहां तक ​​कि विकर्णों को निश्चित संख्याओं से भरा जाता है, और शेष मुक्त कोशिकाएं मूल ग्रिड ग्राफ के बराबर होती हैं।

परिवर्तन के साथ पूरी तस्वीर यहां डाउनलोड की जा सकती है ।

उत्तर को पूरा करने के लिए कुछ अतिरिक्त नोट्स:

• समस्या को हिदातो के नाम से भी जाना जाता है ; बोर्ड में एक मनमाना आकार हो सकता है (लेकिन वर्ग मामले के सामान्यीकरण के रूप में, यह एनपी-हार्ड रहता है);

• जैसा कि स्टीवन स्टैडनिक ने अपने उत्तर में स्पष्ट रूप से स्पष्ट किया है कि यह स्पष्ट नहीं है कि समस्या एनपी में है यदि प्रारंभिक आंशिक रूप से भरे हुए ग्रिड को सरणी के पूर्णांक के रूप में नहीं दिया गया है, लेकिन कुछ संक्षिप्त प्रतिनिधित्व में दिया गया है ; हालांकि यह एनपी में स्पष्ट रूप से है यदि प्रारंभिक बोर्ड को पूर्णांक प्रतिनिधित्व की उचित सूची का उपयोग करके दिया गया है ;$n \times n$

• मुझे लगता है कि खेल के मूल नियम कहते हैं कि समाधान अद्वितीय होना चाहिए ; इसलिए समस्या यूएस (यूएस-हार्ड) में है, और एनपी में होने की संभावना नहीं है।

सारांश में, यदि हम अनूठे समाधान की कमी को छोड़ते हैं और पूर्णांकों की सूची के साथ प्रारंभिक बोर्ड निर्दिष्ट करते हैं तो खेल N P -complete है।$n^2$$\sf{NP}$

Comments

क्या यह डीएजी नहीं है? क्या मैंने सवाल को पूरी तरह से गलत समझा है?

— पेल जीडी

@ PålGD: नहीं, मुझे नहीं लगता कि यह एक DAG है, यह तिरछे किनारों के साथ एक अप्रत्यक्ष ग्रिड ग्राफ है। खेल आंशिक रूप से भरे बोर्ड के साथ शुरू होता है और खिलाड़ी को सेल 1 से शुरू होना चाहिए और अंतिम एक बनाने वाले ऑर्थोगोनल या विकर्ण चरणों तक पहुंचना चाहिए (लेकिन शायद मैं नियमों को बहुत अच्छी तरह से याद नहीं करता ... अब मैं इसे

— जांचता

लेकिन यह कहता है "क्रमिक पूर्णांकों का मार्ग खोजें"।

— पाएल जीडी

शायद इसका सीधा सा मतलब है कि यह एक ही कोशिका का दो बार दौरा नहीं कर सकता है, और सभी कोशिकाओं का दौरा किया जाना चाहिए

— Vor

"लक्ष्य ग्रिड में क्रमिक पूर्णांक ( से n 2 तक ) का मार्ग खोजना है "? $1$$n^2$

— पाएल जीडी

Answer 2

एक सूक्ष्म पकड़: जबकि मुझे लगता है कि Vor के जवाब का कारण बताते हुए यह एनपी मुश्किल होगा की एक बहुत अच्छा काम करता है, यह तुरंत स्पष्ट नहीं कर रहा है कि समस्या यह है में एनपी, आप इनपुट आकार के रूप में क्या परिभाषित पर निर्भर करता है! एक के लिए समस्या विनिर्देश ध्यान दें कि ग्रिड वास्तव में आकार का होना नहीं है Ω ( एन ) ; इसमें पूर्णांक n (आकार lg n ) और कुछ संख्याओं के पूर्णांक ( x i , y i , w i ) होते हैं : x i , y i$n\times n$$\Omega(n)$$n$$\lg n$ कह रही है कि निर्देशांक के साथ सेल ( एक्स मैं , y मैं ) महत्व है डब्ल्यू मैं ; इन तीनो में से प्रत्येक के आकार की है एलजी n + एलजी n + एलजी एन 2 = 4 एलजी n ∈ हे ( एलजी n ) , तो जब तक आप कम से कम Ω ( एन ) प्रारंभिक मान के साथ तीन बच्चों निर्दिष्ट फिर अपने कुल निवेश के आकार वास्तव में हो सकता है ओ ( $(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$$(x_i, y_i)$$w_i$$\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$$\Omega(n)$ ।$o(n)$

यह बहुत संभव है कि आपको कम से कम कोशिकाओं को एक अनूठा समाधान प्राप्त करने की आवश्यकता है, और इसलिए किसी भी विनिर्देश के साथ कम से कम कई givens को हाथ से खारिज किया जा सकता है, लेकिन (ए) कि आप के बारे में पूछ रहे हैं अनुमान अद्वितीय समाधान 'समस्या का एक संस्करण' मौजूद होने के बजाय समस्या का प्रकार, और (बी) यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि प्रतिबंध भी सच है; मुझे यकीन नहीं है कि मैं इसे साबित करने की कोशिश करूँगा।$\Omega(n)$

(इसी तरह के मुद्दों की चर्चा के लिए, cstheory.SE साइट पर संक्षिप्त नुरिकाबे की जटिलता पर कुछ समय पहले का मेरा प्रश्न देखें ।)

Comments

यूनिरी में बोर्ड के आकार को निर्दिष्ट नहीं करना मुझे एक अनुचित व्याख्या के रूप में प्रभावित करता है।

— डेविड आइसेनस्टैट

@DavidEisenstat यह प्राकृतिक व्याख्या जरूरी नहीं है , लेकिन यह मुझे पूरी तरह से मान्य लगता है।

— स्टीवन स्टडनिक

@StevenStadnicki: मैं आपसे सहमत हूं, मैंने बाइनरी पहेली की एनपी-पूर्णता के प्रमाण में एक समान नोट किया है जिसे मैंने हाल ही में cstheory.stackexchange.com पर पोस्ट किया है। हालांकि गैर-एकता प्रतिनिधित्व वास्तव में इतना उचित नहीं है :-)। मैं अपने उत्तर पर एक नोट जोड़ूंगा। और मुझे समाधान की समस्या की विशिष्टता को भी संबोधित करना चाहिए; क्योंकि मुझे लगता है कि मूल नियम कहते हैं कि समाधान अद्वितीय होना चाहिए।

— वोर