एक निश्चित प्रभाव मॉडल में समय अपरिवर्तनीय चर कैसे रखें

Question

मेरे पास एक बड़ी इतालवी फर्म के कर्मचारियों के दस साल से अधिक के आंकड़े हैं और मैं यह देखना चाहूंगा कि समय के साथ पुरुष-महिला आय में लिंग अंतर कैसे बदल गया है। इस प्रयोजन के लिए मैं जमा OLS चलाएँ:

$$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$$ जहां $y$ , प्रति वर्ष लॉग कमाई है $X_{it}$ शामिल covariates जो अलग-अलग और समय के अनुसार अलग-अलग होते हैं, $d_t$साल dummies कर रहे हैं और ${\rm male}_i$ एक के बराबर होती है, तो एक कार्यकर्ता पुरुष है और शून्य अन्यथा है।

अब मुझे इस बात की चिंता है कि कुछ सहसंयोजक असंबंधित निश्चित प्रभावों के साथ सहसंबद्ध हो सकते हैं। लेकिन जब मैं निर्धारित प्रभाव (भीतर) आकलनकर्ता या पहले अंतर का उपयोग करता हूं तो मैं लिंग डमी खो देता हूं क्योंकि यह चर समय के साथ नहीं बदलता है। मैं यादृच्छिक प्रभाव अनुमानक का उपयोग नहीं करना चाहता क्योंकि मैं अक्सर लोगों को यह कहते हुए सुनता हूं कि यह ऐसी धारणाएं रखता है जो बहुत अवास्तविक हैं और धारण करने की संभावना नहीं है।

क्या लिंग डमी रखने और एक ही समय में निश्चित प्रभावों को नियंत्रित करने के लिए कोई उपाय हैं? यदि कोई रास्ता है, तो क्या मुझे लिंग चर पर परिकल्पना परीक्षणों के लिए त्रुटियों के साथ क्लस्टर करने या अन्य समस्याओं की देखभाल करने की आवश्यकता है?

Answer 1

लिंग डमी को एक निश्चित प्रभाव प्रतिगमन में रखने के लिए आपके लिए कुछ संभावित तरीके हैं।

अनुमानक के भीतर
मान लीजिए कि आपके जमा OLS मॉडल है जो है की तुलना में एक समान मॉडल है जहां चर के रूप में पहले कर रहे हैं। अब ध्यान दें कि β 1 और β 1 + γ 1 ( मीटर एक एल ई मैं ) नहीं पहचाना जा सकता क्योंकि आकलनकर्ता के भीतर उन्हें तय प्रभाव से भेद नहीं कर सकते ग मैं । यह देखते हुए कि β 1 आधार वर्ष के लिए अवरोधन है टी = 1 , γ 1 इस अवधि में आय पर लिंग प्रभाव है। क्या हम इस मामले में की पहचान कर सकते हैं γ 2 , । ।

$$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$$ $\beta_1$$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$$c_i$$\beta_1$$t=1$$\gamma_1$ क्योंकि वे आपके समय की डमी के साथ बातचीत करते हैं और वे पहली बार की अवधि के सापेक्ष आपके लिंग चर के आंशिक प्रभावों में अंतर को मापते हैं। इसका मतलब है आप अपने में वृद्धि का पालन करता है, तो γ 2 , । । । , γ 10 समय के साथ यह पुरुषों और महिलाओं के बीच कमाई के अंतर को बढ़ाने के लिए एक संकेत है।$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$$\gamma_2,...,\gamma_{10}$

पहली अंतर अनुमानक
आप समय के साथ पुरुषों और महिलाओं के बीच के अंतर के समग्र प्रभाव जानना चाहते हैं, तो आपको निम्न मॉडल की कोशिश कर सकते हैं: जहां चर टी = 1 , ।

$$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$$ समय-अपरिवर्तनीय लिंग डमी के साथ बातचीत की जाती है। अब अगर आप ले पहले मतभेद बीटा 1 और सी मैं ही अपनी पढ़ाई छोड़ और आप प्राप्त y मैं टी - y मैं ( टी - 1 ) = 10 Σ टी = 3 β टी ( घ टी - घ ( टी - 1 ) ) + γ ( टी ⋅ m a l e i$t = 1, 2,...,10$$\beta_1$$c_i$ फिर γ ( टी ⋅ मीटर एक एल e i - [ ( t - १ ) m $$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$$ और आप लिंग भेद की पहचान कर सकते आय में गामा । तो अंतिम प्रतिगमन समीकरण होगा: Δ y मैं टी = 10 Σ टी = 3 β टी Δ घ टी + मीटर एक एल ई मैं ) $\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$$\gamma$ और आप अपनी रुचि के प्रभाव मिलता है। अच्छी बात यह है कि यह किसी भी सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर में आसानी से लागू हो जाता है, लेकिन आप एक समय अवधि खो देते हैं। $$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$$

$c_i$$1$$c_i$$2$

$$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$$ $\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$$\hat{\theta}_i$$\overline{X}_{1i}$$2$$c_i$$\tilde{X}_{2it}$$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$$\overline{X}_{1i}$ , तो आप और अधिक समय-अलग समय-अपरिवर्तनीय चर कम होना चाहिए।

यह सब थोड़ा जटिल लग सकता है लेकिन इस अनुमानक के लिए डिब्बाबंद पैकेज हैं। उदाहरण के लिए, स्टैटा में संबंधित कमांड है xthtaylor। इस विधि के बारे में अधिक जानकारी के लिए आप कैमरन और त्रिवेदी (2009) "माइक्रोएकोमेट्रिक्स यूजिंग स्टाटा" पढ़ सकते हैं। अन्यथा आप केवल दो पिछले तरीकों से चिपक सकते हैं जो थोड़ा आसान है।

अपने परिकल्पना परीक्षणों के लिए इंजेक्शन वहाँ बहुत कुछ है कि आप एक निश्चित प्रभाव प्रतिगमन में वैसे भी क्या करने की आवश्यकता होगी के अलावा अन्य विचार करने की जरूरत नहीं है। आपको त्रुटियों में स्वत :संबंध के लिए ध्यान रखने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए व्यक्तिगत आईडी चर पर क्लस्टर करके। यह समूहों (व्यक्तियों) के बीच एक मनमानी सहसंबंध संरचना के लिए अनुमति देता है जो स्वायत्तता से संबंधित है। एक संदर्भ के लिए फिर से कैमरन और त्रिवेदी (2009) देखें।

Answer 2

लिंग डमी रखने के लिए आपके लिए एक और संभावित तरीका मुंड्लक का (1978) दृष्टिकोण है , जो एक निश्चित प्रभाव मॉडल के लिए समय अपरिवर्तनीय चर है। मुंडलाक का दृष्टिकोण यह बताता है कि लिंग प्रभाव को समय-भिन्न चर के समूह साधनों पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

मुंडलाक, वाई। 1978: टाइम सीरीज़ और क्रॉस सेक्शन डेटा के पूलिंग पर। इकोनोमेट्रिक 46: 69-85।

Answer 3

दूसरी चर समीकरण में टाइम-इनवेरिएंट गुणांक का अनुमान लगाने के लिए एक और विधि है, आश्रित चर के रूप में माध्य त्रुटि का उपयोग करना।

सबसे पहले, FE के साथ मॉडल का अनुमान लगाएं। यहां से आपको अनुमान मिलता है$\beta$ तथा $\gamma_{t}$। सरलता के लिए, आइए हम वर्ष-प्रभावों के बारे में भूल जाएं। अनुमान त्रुटि को परिभाषित करें$\hat{u}_{it}$ पहले जैसा:

$$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$$

रैखिक भविष्यवक्ता $\bar{u}_{i}$ है:

$$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$$

अब, निम्नलिखित दूसरे चरण के समीकरण पर विचार करें:

$$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$$

यह मानते हुए कि लिंग असम्बद्ध कारकों से असंबद्ध है $c_{i}$। फिर, का OLS आकलनकर्ता$\delta$निष्पक्ष और समय-संगत है (यह है, यह तब है जब यह सुसंगत है$T \rightarrow \infty$).

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To prove the above, replace the original model into the estimator $\bar{u}_{i}$:

$$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$$

The expectation of this estimator is:

$$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$$

If assumptions for FE consistency hold, $\hat{\beta}$ is an unbiased estimator of $\beta$, and $E(\epsilon_{it}) = 0$. Thus:

$$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$$

This is, our predictor is an unbiased estimator of the time-invariant components of the model.

Regarding consistency, the probability limit of this predictor is:

$$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$$

Again, given FE assumptions, $\hat{\beta}$ is a consistent estimator of $\beta$, and the error term converges to its mean, which is zero. Therefore:

$$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$$

Again, our predictor is a consistent estimator of the time-invariant components of the model.

Answer 4

मुंडलाक चैंबर उपकरण इसके लिए एक आदर्श उपकरण है। इसे आमतौर पर सहसंबद्ध यादृच्छिक प्रभाव मॉडल के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि यह यादृच्छिक प्रभाव मॉडल का उपयोग करता है ताकि समय वेरिएंट चर के लिए निश्चित प्रभावों का अनुमान लगाया जा सके, जबकि समय अपरिवर्तनीय चर के लिए यादृच्छिक प्रभावों का अनुमान लगाया जाता है।

हालाँकि, सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर्स में, आप इसे रैंडम इफ़ेक्ट मॉडल के रूप में लागू करते हैं, लेकिन आपको हर समय वैरिएंट कॉवरिएट्स के साधनों को जोड़ना होगा।