मात्रात्मक प्रतिगमन अनुमानक सूत्र

मैंने मात्रात्मक प्रतिगमन अनुमानक के दो अलग-अलग अभ्यावेदन देखे हैं जो हैं

Q (β_{q}) = \sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

और

Q (β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} ρ_{q} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}), ρ_{q} (u) = u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

जहाँ । क्या कोई मुझे बता सकता है कि इन दो भावों की समानता कैसे दिखाई जाए? दूसरी अभिव्यक्ति से शुरू करते हुए मैंने अब तक की कोशिश की। $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})) + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}))] (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ लेकिन इस बात से मैं आगे बढ़ने के तरीके पर अटक गया। कृपया नहीं कि यह एक होमवर्क या असाइनमेंट प्रश्न नहीं है। बहुत धन्यवाद।

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
स्रोत

यदि आपको याद है, तो OLS वर्ग के अवशेषों का योग जबकि माध्य प्रतिगमन पूर्ण अवशिष्टों के योग को । माध्य या कम से कम पूर्ण विचलन (LAD) अनुमानक क्वांटाइल प्रतिगमन का एक विशेष मामला है जिसमें आपके पास । क्वांटाइल रिग्रेशन में हम पूर्ण त्रुटियों की एक राशि को कम करते हैं जो अंडरप्रेडिक्शन के लिए असममित भार और अंडरप्रेडिक्शन के लिए प्राप्त करता है । आप LAD प्रतिनिधित्व से शुरू कर सकते हैं और इसे उस डेटा के अंश के योग के रूप में बढ़ा सकते हैं, जो और द्वारा भारित किया जाता है ने उनके मूल्य को , और निम्नानुसार कार्य करें: $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (u) & = 1 (u_{i} > 0) q ∣ u_{i} ∣ + 1 (u_{i} \leq 0) (1 - q) ∣ u_{i} ∣ \\ = 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} > 0) q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ यह सिर्फ इस तथ्य का उपयोग करता है कि और फिर आप संकेतक फ़ंक्शन को टिप्पणियों के योग के रूप में फिर से लिख सकते हैं - जो संकेतक की शर्तों को पूरा करते हैं। । यह पहला अभिव्यक्ति देगा जो आपने क्वांटाइल रिग्रेशन अनुमानक के लिए लिखा था।

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + (1 - q) \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (1 - q) \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) + q \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - \sum_{i = 1}^{n} 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (q - 1 (u_{i} \leq 0)) u_{i} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

दूसरी पंक्ति समनियों से भार निकालती है। तीसरी पंक्ति पूर्ण मूल्यों से मुक्त हो जाती है और उन्हें वास्तविक मूल्यों से बदल देती है। जब भी परिभाषा नकारात्मक होती है , इसलिए इस पंक्ति में साइन परिवर्तित होता है। चौथी पंक्ति कई गुणा । तब आपको पता चलता है कि और संबंधित सूचक द्वारा मध्य रेखा के योग को चौथी पंक्ति में प्रतिस्थापित करना आप पाँचवीं पंक्ति में आते हैं। और फिर जगह $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) + q \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
इससे पता चलता है कि दो भाव कैसे समतुल्य हैं।

— एंडी
स्रोत