PCA में वास्तव में "प्रमुख घटक" किसे कहा जाता है?

Question

मान लीजिए वेक्टर है कि डिजाइन मैट्रिक्स के साथ डेटा के प्रक्षेपण के विचरण अधिकतम है एक्स ।$u$$X$

अब, मैंने उन सामग्रियों को देखा है जो डेटा के मुख्य घटक के रूप में संदर्भ देते हैं , जो कि सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू के साथ आइजनवेक्टर भी है।$u$

हालाँकि, मैंने यह भी देखा है कि डेटा का प्रमुख घटक ।$X u$

जाहिर है, और एक्स यू अलग-अलग चीजें हैं। क्या कोई यहाँ मेरी मदद कर सकता है और मुझे बता सकता है कि मुख्य घटकों की इन दो परिभाषाओं में क्या अंतर है?$u$$Xu$

Comments

Eigenvector u अक्ष की दिशा है (u के मान मूल अक्षों के सापेक्ष दिशा कोसाइन हैं)। जू स्वयं डेटा है, प्रमुख घटक के मूल्य, पूर्वोक्त अक्ष पर निर्देशांक)।

— ttnphns

Answer 1

आप यह देखने में बिल्कुल सही हैं कि भले ही (सहसंयोजक मैट्रिक्स के eigenvectors में से एक, उदाहरण के लिए पहले वाला) और X u ( यू द्वारा प्रायोजित 1-आयामी उप-स्थान पर डेटा का प्रक्षेपण ) दो अलग-अलग चीजें हैं, दोनों उन्हें अक्सर "प्रमुख घटक" कहा जाता है, कभी-कभी एक ही पाठ में भी।$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$$\mathbf{u}$

ज्यादातर मामलों में यह संदर्भ से स्पष्ट है कि वास्तव में क्या मतलब है। कुछ दुर्लभ मामलों में, हालांकि, यह वास्तव में काफी भ्रामक हो सकता है, उदाहरण के लिए जब कुछ संबंधित तकनीकों (जैसे विरल पीसीए या सीसीए) पर चर्चा की जाती है, जहां विभिन्न दिशाएं होती हैं$\mathbf{u}_i$ ओर्थोगोनल होने की जरूरत नहीं है। इस मामले में "घटक ऑर्थोगोनल हैं" जैसे एक बयान के आधार पर बहुत अलग अर्थ हैं कि क्या यह कुल्हाड़ियों या अनुमानों को संदर्भित करता है।

मैं बुला वकालत होगा एक "मुख्य धुरी" या एक "प्रिंसिपल दिशा", और एक्स यू एक "प्रमुख घटक"।$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$

मैंने को "प्रमुख घटक वेक्टर" भी कहा है।$\mathbf u$

$\mathbf u$$\mathbf{Xu}$

दो सम्मेलनों का सारांश:

$$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$$

---

नोट: गैर-शून्य eigenvalues ​​के अनुरूप सहसंयोजक मैट्रिक्स के केवल eigenvectors को प्रमुख निर्देश / घटक कहा जा सकता है। यदि सहसंयोजक मैट्रिक्स कम रैंक है, तो इसमें एक या अधिक शून्य eigenvalues ​​होंगे; संबंधित eigenvectors (और संबंधित शून्य जो निरंतर शून्य हैं) को प्रमुख निर्देश / घटक नहीं कहा जाना चाहिए ।मेरे उत्तर में कुछ चर्चा यहाँ देखें।

Comments

कन्वेंशन 2 को गैरकानूनी घोषित किया जाना चाहिए। यह शुरुआती लोगों के लिए भ्रम का कोई अंत नहीं बनाने की क्षमता है क्योंकि यह आधार वैक्टर और डेटा वैक्टर के घटकों को आधार के संबंध में बताता है।

— conjectures

लोडिंग परिभाषा के बारे में क्या? क्या ईजनवेक्टर यू के व्यक्तिगत मूल्यों को लोड कर रहे हैं?

— makis

@sera आँकड़े देखें ।stackexchange.com / questions

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@amoeba धन्यवाद! एक आखिरी सवाल। एसवीडी में, एक्स = यूएसवीएच (वीएच: वी ट्रांसपोज्ड) के लिए यदि आइगेनवेक्टर यू के कॉलम हैं, तो क्या मैं वीएच को लोडिंग कह सकता हूं?

— माईक

@sera No. आँकड़े देखें ।stackexchange.com

— अमीबा का कहना है कि मोनिका