क्या एक सामान्यीकृत रैखिक मॉडल (GLM) के लिए विहित लिंक फ़ंक्शन हमेशा मौजूद होता है?

Question

GLM में, pdf साथ अंतर्निहित वितरण के लिए एक और मान लिया गया। यह दिखाया जा सकता है कि । यदि लिंक फंक्शन निम्न को संतुष्ट करता है, जहां रैखिक भविष्यवक्ता है, तो को इसके लिए विहित लिंक फ़ंक्शन कहा जाता है नमूना।θ च Y ( y | θ , τ ) = ज ( y , τ ) exp ( θ y - एक ( θ $Y$$\theta$μ=ई(वाई)=एक'(θ)जी(⋅)जी(μ)=θ=एक्स'βएक्स'βजी(⋅

$$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$$ $\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$$g(\cdot)$ $$g(\mu)=\theta = X'\beta$$ $X'\beta$$g(\cdot)$

मेरा सवाल है, क्या एक GLM के लिए विहित लिंक फ़ंक्शन हमेशा मौजूद होता है? दूसरे शब्दों में, क्या हमेशा उल्टा हो सकता है? एक विहित लिंक फ़ंक्शन के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तें क्या हैं?$A'(\theta)$

Answer 1

इन वितरणों के लिए औरएक " ( θ ) = वी एक आर ( वाई ) / घ ( τ $A'(\theta) = E(Y)$$A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

चूंकि विचरण और फैलाव पैरामीटर गैर-शून्य हैं (और यहां तक ​​कि सकारात्मक) $A'(\theta)$ एक सख्ती से बढ़ रहा है और उल्टा होना चाहिए।

हालांकि, मुझे यकीन नहीं है कि इस परिवार के वितरण हैं जिनमें एक अनंत विचरण है। मुझे ऐसे उदाहरण नहीं मिल रहे थे।