आर में सकारात्मक स्थिर वितरण

Question

सकारात्मक स्थिर वितरण चार मापदंडों द्वारा वर्णित हैं: तिरछा पैरामीटर $\beta\in[-1,1]$पैमाने पर पैरामीटर $\sigma>0$स्थान पैरामीटर $\mu\in(-\infty,\infty)$, और तथाकथित सूचकांक पैरामीटर $\alpha\in(0,2]$। कब$\beta$ वितरण शून्य के आसपास सममित है $\mu$, जब यह पॉजिटिव (रेस्पॉन्सिव) होता है, तो वितरण दाईं ओर तिरछा होता है। स्थिर वितरण वसा पूंछ की अनुमति देता है जब$\alpha$ घट जाती है।

कब $\alpha$ कड़ाई से एक से कम है और $\beta=1$ वितरण का समर्थन प्रतिबंधित करता है $(\mu,\infty)$।

घनत्व फ़ंक्शन में मापदंडों के लिए मूल्यों के कुछ विशेष संयोजनों के लिए केवल एक बंद-प्रपत्र अभिव्यक्ति है। कब$\mu=0$, $\alpha<1$, $\beta=1$, तथा $\sigma=\alpha$यह है (सूत्र देखें (4.4) यहाँ ):

$f(y) = -\frac{1}{\pi y} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma(k\alpha+1)}{k!} (-y^{-\alpha})^k \sin(\alpha k \pi)$

इसका अनंत अर्थ और भिन्नता है।

सवाल

मैं उस घनत्व का उपयोग आर। में उपयोग करना चाहूंगा

> alpha <- ...
> dstable(y, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)

जहां dstable फ़ंक्शन fBasics पैकेज के साथ आता है।

क्या आप पुष्टि कर सकते हैं कि आर में उस घनत्व की गणना करने का यह सही तरीका है?

आपका अग्रिम में ही बहुत धन्यवाद!

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एक कारण है कि मुझे संदेह है कि, आउटपुट में, डेल्टा का मूल्य इनपुट से अलग है। उदाहरण:

> library(fBasics)
> alpha <- 0.4
> dstable(4, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
stable   0.4    1   0.4 0.290617  1

Answer 1

संक्षिप्त उत्तर है कि आपका $\delta$ ठीक है, लेकिन आपकी $\gamma$गलत है। आर में अपने सूत्र द्वारा दिए गए सकारात्मक स्थिर वितरण को प्राप्त करने के लिए, आपको सेट करने की आवश्यकता है

$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}.$$

सबसे पहला उदाहरण मैं आपके द्वारा दिए गए सूत्र (फेलर, 1971) में पा सकता था, लेकिन मैंने केवल उस पुस्तक को भौतिक रूप में पाया है। हालाँकि (लुआगार्ड, 1986) लैप्लस परिवर्तन के साथ एक ही सूत्र देता है

$$\mathrm{L}(s) = \mathrm{E}\left[\exp(-sX)\right] = \exp\left(-s^\alpha\right).$$ से stabledistमैनुअल ( stabledistमें प्रयोग किया जाता है fBasics), pm=1parameterization (Samorodnitsky और Taqqu, 1994), एक और संसाधन जिसका ऑनलाइन प्रजनन मुझे नहीं मिल पाया है से है। हालाँकि (Weron, 2001) Samorodnitsky में विशेषता कार्य करता है और इसके लिए Taqqu के मानकीकरण$\alpha \neq 1$ होने के लिए $$\varphi(t) = \mathrm{E}\left[\exp(i t X) \right] = \exp\left[i \delta t - \gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \beta \mathrm{sign}(t) \tan{\frac{\pi \alpha}{2}} \right) \right].$$ मैंने Weron के पेपर से कुछ मापदंडों का नाम बदला है जिसका उपयोग हम नोटेशन के साथ कर रहे हैं। वह उपयोग करता है$\mu$ के लिये $\delta$ तथा $\sigma$ के लिये $\gamma$। किसी भी स्थिति में, प्लग इन करना$\beta=1$ तथा $\delta=0$, हमें मिला $$\varphi(t) = \exp\left[-\gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \mathrm{sign}(t) \tan \frac{\pi \alpha}{2} \right) \right].$$

ध्यान दें कि $(1 - i \tan (\pi \alpha / 2)) / |1 - i \tan(\pi \alpha / 2)| = \exp(-i \pi \alpha / 2)$ के लिये $\alpha \in (0, 1)$ और वह $i^\alpha = \exp(i \pi \alpha / 2)$। औपचारिक रूप से,$\mathrm{L}(s)=\varphi(is)$, इसलिए सेटिंग करके $\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}$ में $\varphi(t)$ हमें मिला

$$\varphi(is) = \exp\left(-s^\alpha\right) = \mathrm{L}(s).$$ एक दिलचस्प बात यह है कि ध्यान दें $\gamma$ से मेल खाती है $\alpha=1/2$ भी है $1/2$, तो अगर आप कोशिश कर रहे थे $\gamma=\alpha$ या $\gamma=1-\alpha$, जो वास्तव में एक बुरा सन्निकटन नहीं है, आप इसके लिए बिल्कुल सही हैं $\alpha=1/2$।

शुद्धता की जांच करने के लिए R में एक उदाहरण यहां दिया गया है:

library(stabledist)

# Series representation of the density
PSf <- function(x, alpha, K) {
  k <- 1:K
  return(
    -1 / (pi * x) * sum(
      gamma(k * alpha + 1) / factorial(k) * 
        (-x ^ (-alpha)) ^ k * sin(alpha * k * pi)
    )
  )
}

# Derived expression for gamma
g <- function(a) {
  iu <- complex(real=0, imaginary=1)
  return(abs(1 - iu * tan(pi * a / 2)) ^ (-1 / a))
}

x=(1:100)/100
plot(0, xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 2), pch='', 
     xlab='x', ylab='f(x)', main="Density Comparison")
legend('topright', legend=c('Series', 'gamma=g(alpha)'),
       lty=c(1, 2), col=c('gray', 'black'),
       lwd=c(5, 2))
text(x=c(0.1, 0.25, 0.7), y=c(1.4, 1.1, 0.7), 
     labels=c(expression(paste(alpha, " = 0.4")),
              expression(paste(alpha, " = 0.5")),
              expression(paste(alpha, " = 0.6"))))

for(a in seq(0.4, 0.6, by=0.1)) {
  y <- vapply(x, PSf, FUN.VALUE=1, alpha=a, K=100)
  lines(x, y, col="gray", lwd=5, lty=1)
  lines(x, dstable(x, alpha=a, beta=1, gamma=g(a), delta=0, pm=1), 
        col="black", lwd=2, lty=2)
}

$\hskip1in$

1. फेलर, डब्ल्यू। (1971)। संभावना थ्योरी और इसके अनुप्रयोगों का एक परिचय , 2 , 2 एड। न्यूयॉर्क: विली।
2. होआगार्ड, पी। (1986)। सर्जिकल वितरण से व्युत्पन्न विषम आबादी के लिए जीवन रक्षा मॉडल , बायोमेट्रिक 73 , 387-396।
3. समोरोडनिट्सकी, जी।, टाकुक्, एमएस (1994)। स्थिर गैर-गाऊसी यादृच्छिक प्रक्रियाएं , चैपमैन एंड हॉल, न्यूयॉर्क, 1994।
4. वेरन, आर। (2001)। लेवी-स्टेबल डिस्ट्रीब्यूशन फिर से किया गया: टेल इंडेक्स> 2 लेवी-स्टेबल रिजीम, इंटरनेशनल जर्नल ऑफ मॉडर्न फिजिक्स C, 2001, 12 (2), 209-223 को बाहर नहीं करता है ।

Comments

मेरा सौभाग्य। सकारात्मक स्थिर मापदंडों के विषय ने इस वर्ष की शुरुआत में मेरे लिए बहुत सिरदर्द पैदा किया (यह वास्तव में एक गड़बड़ है), इसलिए मैं पोस्ट कर रहा हूं कि मैं क्या लेकर आया हूं। यह विशेष रूप से जीवित रहने के विश्लेषण में उपयोगी है क्योंकि लाप्लासियन का रूप आनुपातिक खतरों के मॉडल में सशर्त और सीमांत प्रतिगमन मापदंडों के बीच एक सरल संबंध की अनुमति देता है जब एक सकारात्मक स्थिर वितरण के बाद एक कमजोर अवधि होती है (होउगार्ड के पेपर देखें)।

— पी श्नेल

Answer 2

मुझे लगता है कि ऐसा हो रहा है कि आउटपुट में deltaआंतरिक स्थान मान की रिपोर्टिंग हो सकती है, जबकि इनपुट deltaमें बदलाव का वर्णन है। [ gammaजब के साथ एक समान मुद्दा लगता है pm=2।] तो अगर आप 2 को शिफ्ट बढ़ाने की कोशिश करते हैं

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1)
[1] 0.06569375
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 2.290617  1

तब आप स्थान मान में 2 जोड़ते हैं।

के साथ beta=1और pm=1आपके पास 0 पर कम वितरण के साथ एक सकारात्मक यादृच्छिक चर है।

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=1))
[1] 0.002666507

2 से शिफ्ट करें और निचली बाउंड समान राशि से बढ़े

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1))
[1] 2.003286

लेकिन अगर आप चाहते हैं कि deltaइनपुट शिफ्ट या लोअर बाउंड के बजाय आंतरिक स्थान मूल्य हो, तो आपको मापदंडों के लिए एक अलग विनिर्देशन का उपयोग करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए यदि आप निम्नलिखित प्रयास करते हैं (साथ pm=3और कोशिश कर रहे हैं delta=0और delta=0.290617आपको पहले मिल गया है), तो आपको समान deltaऔर बाहर की प्राप्ति होती है। के साथ pm=3और delta=0.290617आपको 0.02700602 का समान घनत्व मिलता है, जो आपको पहले मिला था और 0. कम पर बाउंड हुआ था pm=3और delta=0आपको एक निगेटिव लोअर बाउंड मिला है (वास्तव में -0.290617)।

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3)
[1] 0.02464434
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma delta pm
 stable   0.4    1   0.4     0  3
> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 0.290617  3
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3))
[1] -0.2876658
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3))
[1] 0.004303485

आप इसे आसानी से अनदेखा कर सकते हैं delta आउटपुट में , और जब तक आप रखते हैं beta=1तब इनपुट में pm=1साधनों का उपयोग deltaकरना वितरण को कम करता है, जो ऐसा लगता है कि आप 0 होना चाहते हैं।

Answer 3

नोट का भी: मार्टिन माचलेर ने केवल स्थिर वितरित के लिए कोड को फिर से सक्रिय किया और कुछ सुधार जोड़े।

उनके नए पैकेज स्टैब्लिस्टिस्ट का उपयोग एफबासिक्स द्वारा भी किया जाएगा, इसलिए आप इसे एक रूप देना चाह सकते हैं।