एकाधिक प्रतिगमन में "अन्य सभी के बराबर" का क्या अर्थ है?

जब हम कई प्रतिगमन करते हैं और कहते हैं कि हम चर में परिवर्तन के लिए चर में औसत परिवर्तन देख रहे हैं , तो अन्य सभी चर को स्थिर रखते हुए, हम अन्य चर को किस मान पर स्थिर रख रहे हैं? उनका मतलब? शून्य? कोई मान? $y$ $x$

मुझे लगता है कि यह किसी भी मूल्य पर है; सिर्फ स्पष्टीकरण के लिए देख रहे हैं। अगर किसी के पास कोई सबूत था, तो वह भी बहुत अच्छा होगा।

— EconStats
स्रोत

मुझे यह समझने में पीटर कैनेडी के पेपर में उदाहरण 10 बहुत मददगार लगा।

— दिमित्री वी। मास्टरोव

हाँ, वर्ग फुट को स्थिर रखते हुए कमरों की संख्या बढ़ाने के बारे में एक बहुत ही चौकस बिंदु है। वह कागज वास्तव में उपयोगी विचारों की एक सोने की खान है, यह पीएचडी नोट्स में जा रहा है।

— इकोस्टेट्स

यह वास्तव में एक बहुत ही दिलचस्प सवाल है, मुझे आश्चर्य है कि अगर अर्थशास्त्री खुद से पूछते हैं कि "क्रेटरिस पेरिबस" का क्या मतलब है।

— 18'15

तुम सही हो। तकनीकी रूप से, यह कोई भी मूल्य है । हालाँकि, जब मैं यह सिखाता हूं तो मैं आमतौर पर लोगों को बताता हूं कि आपको में एक इकाई परिवर्तन का प्रभाव मिल रहा है $X_j$ जब अन्य सभी चर अपने संबंधित साधनों पर आयोजित किए जाते हैं। मेरा मानना है कि यह समझाने का एक सामान्य तरीका है जो मेरे लिए विशिष्ट नहीं है।

मैं आमतौर पर चले जाते है कि अगर आप किसी भी बातचीत की जरूरत नहीं है, का उल्लेख में एक एक इकाई परिवर्तन का प्रभाव क्या होगा कोई बात नहीं क्या अपने अन्य चरों के मान रहे हैं। लेकिन मैं औसत सूत्रीकरण के साथ शुरुआत करना पसंद करता हूं। कारण यह है कि एक प्रतिगमन मॉडल में कई चर सहित दो प्रभाव होते हैं। सबसे पहले, आपको को अन्य चर के लिए नियंत्रित करने का प्रभाव मिलता है (मेरा उत्तर यहां देखें )। दूसरा यह है कि अन्य चर (आम तौर पर) की उपस्थिति मॉडल के अवशिष्ट विचरण को कम करती है, जिससे आपके चर ( सहित $\beta_j$ $X_j$ $X_j$ $X_j$ ) 'अधिक महत्वपूर्ण'। लोगों के लिए यह समझना मुश्किल है कि यह कैसे काम करता है यदि अन्य चर में वे मान हैं जो सभी जगह हैं। ऐसा लगता है कि यह परिवर्तनशीलता को किसी तरह बढ़ाएगा । यदि आप प्रत्येक डेटा को एक-दूसरे चर के मान के लिए ऊपर या नीचे समायोजित करने के बारे में सोचते हैं, जब तक कि शेष सभी चर को उनके संबंधित साधनों में नहीं ले जाया जाता है, तो यह देखना आसान है कि अवशिष्ट परिवर्तनशीलता कम हो गई है। $X$

जब तक मैंने एक से अधिक प्रतिगमन की मूल बातें पेश नहीं की हैं, तब तक मुझे कक्षा या दो तक बातचीत नहीं मिलती है। हालांकि, जब मैं उनसे मिलता हूं, तो मैं इस सामग्री पर लौटता हूं। जब बातचीत नहीं होती है तो उपरोक्त लागू होता है । जब बातचीत होती है, तो यह अधिक जटिल होती है। उस स्थिति में, इंटरेक्टिंग वैरिएबल [s] पर स्थिर (विशेष रूप से) आयोजित किया जा रहा है , और किसी अन्य मूल्य पर नहीं। $0$

यदि आप यह देखना चाहते हैं कि यह बीजगणितीय तरीके से कैसे खेलता है, तो यह सीधा-सीधा है। हम बिना बातचीत के मामले से शुरुआत कर सकते हैं। आइए में परिवर्तन को निर्धारित करें जब अन्य सभी चर अपने संबंधित साधनों पर स्थिर रहते हैं। सामान्यता के नुकसान के बिना, मान लें कि तीन चर हैं और हम यह समझने में रुचि रखते हैं कि में एक यूनिट परिवर्तन के साथ in कैसे परिवर्तन से जुड़ा हुआ है , और को उनके संबंधित साधनों पर स्थिर रखते हैं: $\hat Y$ $X$ $\hat Y$ $X_3$ $X_1$ $X_2$

\begin{aligned} {\hat{Y}}_{i} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} X_{3 i} \\ {\hat{Y}}_{i^{'}} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} (X_{3 i} + 1) \\ subtracting the first equation from the second: \\ {\hat{Y}}_{i^{'}} - {\hat{Y}}_{i} & = {\hat{β}}_{0} - {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} - {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} - {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} (X_{3 i} + 1) - {\hat{β}}_{3} X_{3 i} \\ Δ Y & = {\hat{β}}_{3} X_{3 i} + {\hat{β}}_{3} - {\hat{β}}_{3} X_{3 i} \\ Δ Y & = {\hat{β}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align} \hat Y_i &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3X_{3i} \\ \hat Y_{i'} &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) \\ ~ \\ &\text{subtracting the first equation from the second:} \\ ~ \\ \hat Y_{i'} - \hat Y_i &= \hat\beta_0 - \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 - \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 - \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_3X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_3 - \hat\beta_3X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3 \end{align}$

अब यह स्पष्ट है कि हम पहले दो समीकरणों में और लिए कोई भी मूल्य रख सकते थे , इसलिए जब तक हम दोनों में ( ) के लिए समान मान नहीं । यही कारण है कि, जब तक हम और स्थिर हैं । $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$

दूसरी ओर, यदि आपके पास बातचीत है, तो यह इस तरह से काम नहीं करता है। यहां मैं वह मामला दिखाता हूं जहां इंटरैक्शन टर्म है: $X_1X_3$

\begin{aligned} {\hat{Y}}_{मैं} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{एक्स}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{एक्स}}_{2} + {\hat{β}}_{3} {एक्स}_{3 मैं} + {\hat{β}}_{4} {\bar{एक्स}}_{1} {एक्स}_{3 मैं} \\ {\hat{Y}}_{{मैं}^{'}} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{एक्स}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{एक्स}}_{2} + {\hat{β}}_{3} ({एक्स}_{3 मैं} + 1) + {\hat{β}}_{4} {\bar{एक्स}}_{1} ({एक्स}_{3 मैं} + 1) \\ दूसरे से पहला समीकरण घटाना: \\ {\hat{Y}}_{{मैं}^{'}} - {\hat{Y}}_{मैं} & = {\hat{β}}_{0} - {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{एक्स}}_{1} - {\hat{β}}_{1} {\bar{एक्स}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{एक्स}}_{2} - {\hat{β}}_{2} {\bar{एक्स}}_{2} + {\hat{β}}_{3} ({एक्स}_{3 मैं} + 1) - {\hat{β}}_{3} {एक्स}_{3 मैं} + \\ {\hat{β}}_{4} {\bar{एक्स}}_{1} ({एक्स}_{3 मैं} + 1) - {\hat{β}}_{4} {\bar{एक्स}}_{1} {एक्स}_{3 मैं} \\ Δ Y & = {\hat{β}}_{3} {एक्स}_{3 मैं} + {\hat{β}}_{3} - {\hat{β}}_{3} {एक्स}_{3 मैं} + {\hat{β}}_{4} {\bar{एक्स}}_{1} {एक्स}_{3 मैं} + {\hat{β}}_{4} {\bar{एक्स}}_{1} - {\hat{β}}_{4} {\bar{एक्स}}_{1} {एक्स}_{3 मैं} \\ Δ Y & = {\hat{β}}_{3} + {\hat{β}}_{4} {\bar{एक्स}}_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \hat Y_i &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3X_{3i} \quad\quad\ \! + \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \hat Y_{i'} &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) + \hat\beta_4\bar X_1(X_{3i}\!+\!1) \\ ~ \\ &\text{subtracting the first equation from the second:} \\ ~ \\ \hat Y_{i'} - \hat Y_i &= \hat\beta_0 - \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 - \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 - \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_3X_{3i} + \\ &\quad\ \hat\beta_4\bar X_1(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_3 - \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_4\bar X_1 X_{3i} + \hat\beta_4\bar X_1 - \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3 + \hat\beta_4\bar X_1 \end{align}$

इस मामले में, अन्य सभी को स्थिर रखना संभव नहीं है। क्योंकि इंटरैक्शन शब्द और का एक फ़ंक्शन है , इसलिए बिना इंटरेक्शन टर्म के भी बदलना संभव नहीं है । इस प्रकार, एक इकाई परिवर्तन से जुड़े in में केवल में परिवर्तन के होता है, जब इंटरैक्शन चर ( ) को (या किसी अन्य मान लेकिन ) के बजाय पर आयोजित किया जाता है , जिसमें अंतिम समीकरण में अंतिम शब्द बाहर हो जाता है। $X_1$ $X_3$ $X_3$ $\hat\beta_3$ $\hat Y$ $X_3$ $X_1$ $0$ $\bar X_1$ $0$

इस चर्चा में, मैंने बातचीत पर ध्यान केंद्रित किया है, लेकिन आम तौर पर, मुद्दा तब होता है जब कोई चर होता है जो किसी अन्य का कार्य होता है जैसे कि दूसरे चर के संबंधित मूल्य को बदले बिना पहले के मूल्य को बदलना संभव नहीं है। । ऐसे मामलों में, का अर्थ अधिक जटिल हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास और साथ एक मॉडल था , तो व्युत्पन्न सभी को समान रूप से पकड़े हुए है, और पकड़े हुए है (मेरा उत्तर यहां देखें )। अन्य, अभी भी अधिक जटिल योगों के रूप में संभव है। $\hat\beta_j$ $X_j$ $X_j^2$ $\hat\beta_j$ $\frac{dY}{dX_j}$ $X_j=0$

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका
स्रोत

धन्यवाद गंग, यह जवाब कुछ स्तरों पर महान है। सबसे पहले यह मुख्य बिंदु का जवाब देता है जिसमें मैं रुचि रखता था। दूसरी बात, आपने भविष्यवाणी की थी कि मेरे अनुवर्ती प्रश्न क्या होंगे, क्योंकि मैं यह पूछने जा रहा था कि अंतःक्रियात्मक शब्दों की शुरुआत के साथ यह कैसे बदल गया। गणित के लिए भी धन्यवाद। मुझे पता है कि यह सवाल बुनियादी है लेकिन मुझे लगता है कि आप कभी भी इन अवधारणाओं से स्पष्ट नहीं हो सकते।

— EconStats

आपका स्वागत है, @EconStats। गणित सहित कोई समस्या नहीं है, कभी-कभी यह समझना आसान हो जाता है कि क्या चल रहा है।

— गूँज - मोनिका

वैसे मेरा कहना है कि जब आपने पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाया तो अंत में इसने मेरे मूल विचारों की पुष्टि की कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि और के मूल्य क्या हैं, जब तक कि दोनों समीकरणों में समान हैं। यह मेरे लिए इतना स्पष्ट लगता है, लेकिन मैंने पहले कभी इस तरह से गणना के बारे में नहीं सोचा था । मेरे लिए निश्चित प्रकाश बल्ब का क्षण।

X_{2}

$X_2$

X_{3}

$X_3$

β

$\beta$

— EconStats 0

आप wrt का व्युत्पन्न भी ले सकते हैं और यह आपको उसी स्थान पर पहुंचा देगा, लेकिन यह आसान गणित (मूल रूप से हाई-स्कूल बीजगणित) है, इसलिए यह व्यापक दर्शकों के लिए सुलभ होगा।

Y

$Y$

X_{j}

$X_j$

— गूँग - मोनिका

@beetroot, अगर मैं आपको सही तरीके से समझता हूं, तो आप इसे एक निर्दिष्ट स्तर पर पकड़ते हैं। (अन्यथा, आप इस एक नया सवाल के रूप में पूछ सकते हैं।)

— को पुनः स्थापित मोनिका - गुंग

गणित सरल है, बस 2 मॉडल के बीच के अंतर को x चर 1 में से एक के साथ बदल दें और आप देखेंगे कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अन्य चर क्या हैं (कोई अंतर्क्रिया, बहुपद या अन्य जटिल शब्द नहीं हैं)।

एक उदाहरण:

$y_{[1]} = b_0 + b_1 \times x_1 + b_2 \times x_2$

$y_{[2]} = b_0 + b_1 \times (x_1 + 1) + b_2 \times x_2$

$y_{[2]} - y_{[1]} = b_0 - b_0 + b_1\times x_1 - b_1\times x_1 + b_1 \times 1 + b_2 \times x_2 - b_2 \times x_2 = b_1$

— ग्रेग हिमपात
स्रोत

मेरा मानना है कि आप ( ) पर निर्भरता की बात कर रहे हैं । तो अगर मॉडल है के प्रभाव पर अन्य सभी चीज़ें एक समान होगा किसी भी के लिए अन्य सभी साथ किसी भी मूल्य पर स्थिर। $X_i$

Y = β_{0} + β_{1} {एक्स}_{1} + β_{2} {एक्स}_{2}

$Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_1+\beta_{2}X_2$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

\frac{Δ Y}{Δ X_{i}}

$\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$

Δ X_{i}

$\Delta{X_i}$

X_{j}

$X_j$

ध्यान रखें कि और निर्भर हैं (आवश्यक रूप से एक दूसरे के कार्य) बिना आवश्यक रूप से रैखिक मॉडल ( in ) में एक महत्वपूर्ण सहभागिता दिखाए बिना )। $X_1$ $X_2$ $\beta_{12}=0$ $Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_1+\beta_{2}X_2+\beta_{12}X_1X_2$

बस एक दिलचस्प स्पर्शरेखा के रूप में यहाँ एक उदाहरण है: और फिर स्पष्ट रूप से में कोई भी परिवर्तन को प्रभावित करेगा । हालाँकि दोनों के बीच सह-अस्तित्व शून्य है। $X_1\sim N(0,\sigma_1^2)$ $X_2=X_1^{2}+N(0,\sigma_2^2)$ $X_1$ $X_2$

सी ओ v ({एक्स}_{1}, {एक्स}_{2}) = ए ({एक्स}_{1} {एक्स}_{2}) - ए ({एक्स}_{1}) ए ({एक्स}_{2})

$cov(X_1,X_2)=E(X_1X_2)-E(X_1)E(X_2)$

= ए [{एक्स}_{1} ({एक्स}_{1}^{2} + ए)] - ए ({एक्स}_{1}) । ए ({एक्स}_{1}^{2} - ए) w मैं टी ज ए ~ एन (0, σ_{2}^{2})

$=E[X_1(X_1^2+a)]-E(X_1).E(X_1^2-a)\,with\,a\sim N(0,\sigma_2^2)$

= ए ({एक्स}_{1}^{3}) - ए ({एक्स}_{1} । ए) - 0। ए ({एक्स}_{1}^{2} - ए) = 0 - 0 - 0 = 0

$=E(X_1^3)-E(X_1.a)-0.E(X_1^2-a)=0-0-0=0$

तो वास्तविकता में में एक परिवर्तन में एक परिवर्तन के साथ जुड़ा हो जाएगा और कहा कि को कवर नहीं होगा क्या वास्तव में अगर आप बदलने घटित होता । लेकिन अभी भी सभी चीजों के बराबर होने के कारण पर का प्रभाव बताया जाएगा । $X_1$ $X_2$ $\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$ $X_1$ $\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$ $X_i$ $Y$

यह एक पूर्ण समीकरण में एक पूर्ण व्युत्पन्न और एक आंशिक व्युत्पन्न ( ) के अंतर के है। $\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$

— हंस रोगन
स्रोत

धन्यवाद हंस, मैं वास्तव में उस बिंदु पर पहुंचने की कोशिश कर रहा था जो कि बना हुआ था लेकिन यह दो चर पर निर्भर होने के लिए एक अच्छा उदाहरण है।

— EconStats