घनत्व फ़ंक्शन की ज्यामिति से संबंधित वितरण का कुर्टोसिस कैसे होता है?

Question

कुर्तोसिस एक वितरण की चरमता और समतलता को मापने के लिए है। वितरण का घनत्व कार्य, यदि यह मौजूद है, तो इसे वक्र के रूप में देखा जा सकता है, और इसके आकार से संबंधित ज्यामितीय विशेषताएं (जैसे वक्रता, उत्तलता, ...) है।

तो मुझे आश्चर्य है कि क्या वितरण का कुर्तोसिस घनत्व फ़ंक्शन के कुछ ज्यामितीय विशेषताओं से संबंधित है, जो कुर्तोसिस के ज्यामितीय अर्थ को समझा सकता है?

Comments

मैं घनत्व वक्र के कुछ ज्यामितीय मात्रा के सूत्र में कुछ संबंध के लिए पूछ रहा हूं, न कि केवल अस्पष्ट अर्थ जो मैंने अपनी पोस्ट में बताया है। या यह ठीक है कि कर्टोसिस का ज्यामितीय अर्थ क्यों है, इसकी कुछ व्याख्या है

— टिम

@Peter जो सच्चाई से बहुत दूर है। एक पीडीएफ के ग्राफ की ज्यामिति को लगभग किसी भी निर्दिष्ट (उसके परिमित समय) को बदले बिना मनमाने ढंग से संशोधित कर सकते हैं।

— whuber

आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com/ questions/ 25010 / … पर बारीकी से संबंधित प्रश्न बताता है कि इस प्रश्न का सही उत्तर क्या होना चाहिए।

— whuber

@ जब भी मैं सहमत हूं और उस उदाहरण के लिए धन्यवाद करता हूं, तो मुझे भी आश्चर्य होता है कि क्या यह पीडीएफ के उस विशेष परिवार की उल्लेखनीय संपत्ति के बारे में अधिक नहीं कहता है, जो सामान्य रूप से कुर्तोसिस के बारे में करता है।

— user603

@ user603 यह आश्चर्य की बात है। हालांकि, यह कथन इस विशेष परिवार के बारे में नहीं है: यह सिर्फ इसलिए होता है कि लॉगनॉर्मल वितरण के लिए एक ही क्षणों के साथ वैकल्पिक पीडीएफ के एक वर्ग का एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व उत्पन्न कर सकता है। यह है विशेष है कि सभी क्षणों में से एक ही हैं, लेकिन एक तरह से सबसे वितरण perturbing कि सुधारों को उनके क्षणों की एक सीमित संख्या मुश्किल नहीं है। (यह इस तरह के Bernoulli के रूप में कुछ असतत वितरण, के लिए मुश्किल है, लेकिन वे पीडीएफ़ जरूरत नहीं है।)

— whuber

Answer 1

एक निरंतर वितरण के क्षण, और उनमें से कर्टोसिस जैसे कार्य, आपको इसके घनत्व फ़ंक्शन के ग्राफ के बारे में बहुत कम बताते हैं।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित ग्राफ पर विचार करें।

इनमें से प्रत्येक गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन का ग्राफ एकीकृत है : वे सभी पीडीएफ हैं। इसके अलावा, उन सभी के बिल्कुल समान क्षण हैं - उनमें से हर अंतिम अनंत संख्या। इस प्रकार वे एक सामान्य कुर्टोसिस साझा करते हैं (जो समान बराबर होता है ।)- 3 + 3 ई 2 + 2 ई 3 + ई $1$$-3+3 e^2+2 e^3+e^4$

इन कार्यों के सूत्र हैं

$$f_{k,s}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\left(-\frac{1}{2}(\log(x))^2\right)\left(1 + s\sin(2 k \pi \log(x)\right)$$

के लिए और- 1 ≤ रों ≤ 1 , कश्मीर ∈ जेड$x \gt 0,$ $-1\le s\le 1,$$k\in\mathbb{Z}.$

यह आंकड़ा बाईं ओर मान और शीर्ष पर मान प्रदर्शित करता है । बाएं हाथ का कॉलम मानक लॉगनॉर्मल वितरण के लिए पीडीएफ दिखाता है।$s$$k$

केंडल के एडवांस्ड थ्योरी ऑफ स्टैटिस्टिक्स (स्टुअर्ट एंड ऑर्ड, 5 वें संस्करण) में व्यायाम 6.21 पाठक को यह दिखाने के लिए कहता है कि इन सभी का एक ही क्षण है।

इसी तरह किसी भी पीडीएफ को मौलिक रूप से अलग आकार के एक और पीडीएफ बनाने के लिए संशोधित किया जा सकता है, लेकिन एक ही दूसरे और चौथे केंद्रीय क्षणों (कहना) के साथ, जिसके कारण एक ही कुर्तोसिस होगा। इस उदाहरण से अकेले यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट होना चाहिए कि कर्टोसिस समरूपता, असमानता, द्विपादता, उत्तलता या वक्र के किसी अन्य परिचित ज्यामितीय लक्षण वर्णन का आसानी से व्याख्या या सहज उपाय नहीं है।

क्षणों के कार्य, इसलिए (और एक विशेष मामले के रूप में कर्टोसिस) पीडीएफ के ग्राफ के ज्यामितीय गुणों का वर्णन नहीं करते हैं। यह सहज रूप से समझ में आता है: क्योंकि एक पीडीएफ क्षेत्र के माध्यम से संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करता है , हम पूर्व-निर्दिष्ट क्षणों के किसी भी परिमित संख्या को ठीक करते हुए, लगभग संभावना को एक स्थान से दूसरे स्थान तक, मौलिक रूप से पीडीएफ की उपस्थिति को बदल सकते हैं।

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"अकेले इस उदाहरण से यह बहुतायत से स्पष्ट होना चाहिए ... एक वक्र का कोई अन्य परिचित ज्यामितीय लक्षण।" मैं समझता हूं कि आपका क्या मतलब है, लेकिन यहां व्याख्या में उचित विचलन के लिए जमीन है। एक और व्याख्या डार्लिंगटन की है, जो दिखाती है कि एक सममित वितरण से कैसे शुरू होता है, कुछ बिंदुओं को विशिष्ट बिंदुओं पर ले जाने से कर्टोसिस बढ़ जाता है / कम हो जाता है (फिर से, आपके उदाहरण का विरोधाभास नहीं, बस एक अधिक 'सकारात्मक' समझ)।

— user603

@ user603 मैं असहमत नहीं हूं, लेकिन मुझे लगता है कि "सकारात्मक" दृष्टिकोण बहुत ही विशेष धारणाओं को नजरअंदाज करता है जो कि इसके लिए काम करने के लिए निहित रूप से बनाई गई हैं। एक अत्यंत असममित पीडीएफ के ग्राफ के साथ भी शुरू हो सकता है जिसका तिरछा होना शून्य है (वे निर्माण के लिए कठिन नहीं हैं)। इस प्रकार वह सकारात्मक दृष्टिकोण केवल यह बताता है कि जब द्रव्यमान को चारों ओर ले जाया जाता है, तो कुछ बहुत ही विशेष PDF का क्या होता है। यद्यपि यह अंतर्ज्ञान के लिए काफी उपयोगी हो सकता है, लेकिन ऐसा लगता है कि वर्तमान प्रश्न पर कोई तार्किक असर नहीं है।

— whuber

मैं तिरछेपन के लिए सहमत हूं (और सामान्य रूप से आपके उत्तर के लिए)। लेकिन कर्टोसिस, एक फ़ंक्शन के रूप में, एक न्यूनतम है। यह चीजों को थोड़ा और दिलचस्प बनाता है।

— user603

@ user603 धन्यवाद; यह एक व्यावहारिक अंतर है। मुझे नहीं लगता कि यह किसी भी वर्तमान निष्कर्ष को महत्वपूर्ण तरीकों से बदलता है लेकिन यह निश्चित रूप से अंतर्ज्ञान और बिंदुओं को समान और विषम क्षणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर में मदद करता है।

— whuber

Answer 2

सममित वितरण के लिए (यह वह है जिसके लिए समकालिक क्षण सार्थक हैं) कुर्तोसिस अंतर्निहित पीडीएफ की एक ज्यामितीय विशेषता को मापता है। यह सच नहीं है कि किसी वितरण की चरम सीमा तक कुर्तोसिस के उपाय (या सामान्य रूप से संबंधित) हैं। इसके बजाय, कर्टोसिस यह मापता है कि अंतर्निहित वितरण सममित और द्विपादिक होने से कितना दूर है (बीजगणितीय रूप से, एक पूर्ण रूप से सममित और बिमोडल वितरण में 1 का कुर्तोसिस होगा, जो कुर्तोसिस का सबसे छोटा संभव मूल्य हो सकता है] [0]।

संक्षेप में [1], यदि आप परिभाषित करते हैं:

$$k=E(x-\mu)^4/\sigma^4$$

साथ , तो$E(X)=\mu,V(X)=\sigma^2$

$$k=V(Z^2)+1\ge1$$

के लिए ।$Z=(X-\mu)/\sigma$

इसका तात्पर्य यह है कि को के फैलाव के एक उपाय के रूप में देखा जा सकता है इसकी अपेक्षा 1. दूसरे शब्दों में, यदि आपके पास विचरण और अपेक्षा की ज्यामितीय व्याख्या है, तो कर्टोसिस इस प्रकार है।Z $k$$Z^2$

[०] आरबी डार्लिंगटन (१ ९ Dar०)। कर्टोसिस वास्तव में "पीकनेस?" है। अमेरिकी सांख्यिकीविद्, वॉल्यूम। २४, नंबर २।

[१] जेजे मूर (१ ९ 1986६)। कर्टोसिस का अर्थ: डार्लिंगटन रेक्सामाइंड। द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन, वॉल्यूम 40, अंक 4।

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हर जगह आप "बिमोडल" लिखते हैं क्या आपका मतलब "अनिमॉडल" है?

— whuber

हां, ये उदाहरण सममित वितरण के लिए काम करते हैं। एक स्पष्ट छद्म लॉगऑनॉर्मल परिवारों से एक का निर्माण किया जा सकता है: उन में से एक (असीम रूप से मोडल) pdfs को मतलब से लें और एक नए पीडीएफ को रूप में परिभाषित करें।एक न्यूनतम-कर्टोसिस वितरण के साथ की थोड़ी मात्रा में मिश्रण करके आप पाते हैं कि असीम रूप से कई मोड के साथ वितरण होते हैं जिनके कुर्तोसिस मनमाने ढंग से के न्यूनतम मूल्य के करीब हैं । इस प्रकार, कम से कम, कर्टोसिस कहते हैं कि कोई भी व्यक्ति जैव-विविधता के बारे में कुछ भी नहीं कहता है। चूँकि यह पीडीएफ की ज्यामितीय संपत्ति का वर्णन नहीं करता है, ठीक है? $f$$\mu$$g(x) = (f(x)+f(2\mu-x))/2.$$g$$1$

— whuber

हमें में चैट इस चर्चा जारी रखने के लिए

— whuber

कर्टोसिस बिमोडिटी को इंगित नहीं करता है, सिवाय चरम मामले में जहां यह अपने न्यूनतम के पास है, जहां यह दो-बिंदु परिवर्तनीय वितरण के समान कुछ इंगित करता है। कुर्तोसिस के हर संभव मूल्य के साथ आपके पास बिमोडल वितरण हो सकता है। उदाहरण के लिए ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753 देखें ।

— पीटर वेस्टफॉल

हाँ; मैंने जो पेपर जोड़ा है उसे देखें। डेकार्लो के सार का पहला वाक्य बिल्कुल गलत है। यदि आप मेरे पेपर को नहीं पढ़ना चाहते हैं, तो यहां गणित है: किसी भी सममित बिमोडल वितरण को लें और इसे अधिक व्यापक सममित वितरण के साथ मिलाएं जिसमें बिमोडल के समान माध्यिका हो। मिश्रण छोटे लिए सममित और बिमोडल है । व्यापक वितरण और मिक्सिंग को ट्विस्ट करके, आप कुर्तोसिस रेंज को अनंत तक बना सकते हैं। और आप कर्टोसिस को जितना चाहें उतना छोटा कर सकते हैं। 5N (-1, v) + .5N (1, v) का उपयोग करके, । सभी कर्टोसिस के लिए सिमेट्रिक और बिमोडल पीडीएफ का निर्माण आसान है। $p$$p$$v \rightarrow 0$

— पीटर वेस्टफॉल

Answer 3

[एनबी यह साइट पर एक और सवाल के जवाब में लिखा गया था; उत्तर को वर्तमान प्रश्न में मिला दिया गया था। यही कारण है कि यह जवाब एक अलग तरह के शब्द के सवाल का जवाब देता है। हालांकि पोस्ट का अधिकांश हिस्सा यहां प्रासंगिक होना चाहिए।]

कर्टोसिस वास्तव में वितरण के आकार को नहीं मापता है। शायद कुछ वितरण परिवारों के भीतर, आप कह सकते हैं कि यह आकार का वर्णन करता है, लेकिन आमतौर पर कुर्तोसिस आपको वास्तविक आकार के बारे में बहुत कुछ नहीं बताता है। आकार कई चीजों से प्रभावित होता है, जिसमें कर्टोसिस से संबंधित चीजें भी शामिल हैं।

यदि कोई कर्टोसिस के लिए छवि खोजता है, तो इस तरह की कुछ छवियां दिखाई देती हैं:

जिसके बजाय कर्टोसिस बढ़ने के बजाय बदलते हुए बदलाव दिख रहे हैं। तुलना के लिए, यहां तीन सामान्य घनत्व हैं जिन्हें मैंने बस (आर का उपयोग करके) विभिन्न मानक विचलन के साथ किया है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह पिछले चित्र के समान दिखता है। इन सभी में बिल्कुल एक ही तरह का कुर्ता है। इसके विपरीत, यहाँ एक उदाहरण है जो संभवतः उस आरेख के निकट है जो आरेख के लिए लक्ष्य था

हरे रंग की वक्र दोनों अधिक नुकीली और भारी होती है (हालांकि यह प्रदर्शन यह देखने के लिए अनुकूल नहीं है कि वास्तव में पूंछ कितनी भारी है)। नीली वक्र कम नुकीली है और इसमें बहुत हल्की पूंछ है (वास्तव में इसका मतलब है कि मानक विचलन से परे कोई पूंछ नहीं है)।$\sqrt{6}$

यह आमतौर पर लोगों का मतलब है जब वे कर्टोसिस के बारे में बात करते हैं जो घनत्व के आकार का संकेत देते हैं। हालांकि, कर्टोसिस सूक्ष्म हो सकता है - यह उस तरह काम नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, दिए गए विचरण में उच्च कर्टोसिस वास्तव में कम चोटी के साथ हो सकता है।

किसी को भी प्रलोभन से सावधान रहना चाहिए (और कुछ किताबों में यह खुले तौर पर कहा गया है) कि शून्य अतिरिक्त कर्टोसिस का मतलब सामान्यता है। अतिरिक्त कर्टोसिस 0 के साथ वितरण होते हैं जो सामान्य की तरह कुछ भी नहीं हैं। यहाँ एक उदाहरण है:

दरअसल, यह पिछले बिंदु को भी दर्शाता है। मैं आसानी से सामान्य की तुलना में उच्च कुर्तोसिस के साथ समान दिखने वाले वितरण का निर्माण कर सकता था, लेकिन जो अभी भी केंद्र में शून्य है - चोटी की पूर्ण अनुपस्थिति।

साइट पर कई पोस्ट हैं जो कुर्तोसिस का वर्णन करते हैं। एक उदाहरण यहाँ है ।

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पर मैंने कहा नहीं? किताब कहती है?

— स्टेट टिशियन

मुझे पता है। मैंने कभी नहीं कहा कि आपने यह कहा। आप कैसे सुझाव देंगे कि मैं आपके द्वारा पूछे गए गलत बयानों का जवाब दूं? सिर्फ दिखावा करते हैं कि वे गलत नहीं हैं?

— Glen_b -रिटनेट मोनिका

@Glen_b चित्र पुस्तक से नहीं हैं। पुस्तक दृष्टांत नहीं देती है। मैंने इन चित्रों के लिए गूगोल चित्र खोज का उपयोग किया।

— स्टेट टिशियन

कुछ लेखक कुर्तोसिस को चोटी के रूप में लिखते हैं और कुछ इसे पूंछ के वजन के रूप में लिखते हैं, लेकिन कुतर्क की व्याख्या यह है कि कुर्तोसिस जो भी है वह केवल पूरी तरह से सुरक्षित कहानी है। इरविंग कपलान्स्की (1945) द्वारा दिए गए संख्यात्मक उदाहरण अकेले यह दिखाने के लिए पर्याप्त हैं कि कुर्तोसिस न तो असमान रूप से व्याख्या करता है। (कापलेन्स्की का पेपर कुछ ऐसा है जो उन्होंने 1940 के मध्य में संभाव्यता और आंकड़ों पर लिखा था। वह बहुत बेहतर एक प्रतिष्ठित बीजगणितज्ञ के रूप में जाने जाते हैं।) पूर्ण संदर्भ और अधिक के भीतर stata-journal.com/sppdf.html?articlenum=st0204

— निक कॉक्स

ऐसी पुस्तकें और कागजात हैं जो दावा करते हैं कि कुर्तोसिस चरमता है, इसलिए मेरा पहला खंड सही है और साथ ही साथ साहित्य में जो कुछ भी है उस पर एक बयान के रूप में सहायक है। क्या अधिक महत्वपूर्ण है कि कैसे एक कप्लान्स्की के उदाहरणों और तर्कों को मानता है।

— निक कॉक्स

Answer 4

कर्टोसिस वितरण की ज्यामिति से संबंधित नहीं है, कम से कम वितरण के मध्य भाग में नहीं है। वितरण के मध्य भाग में ( रेंज के भीतर) ज्यामिति एक अनंत शिखर, एक सपाट शिखर, या उभयलिंगी चोटियों को दिखा सकती है, दोनों ही मामलों में जहां कुर्तोसिस अनंत है, और उन मामलों में जहां कुर्तोसिस है सामान्य वितरण से कम है। कर्टोसिस केवल पूंछ व्यवहार (आउटलेयर) को मापता है। Https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/ देखें$\mu \pm \sigma$

संपादित करें 11/23/2018: इस पोस्ट को लिखने के बाद से, मैंने कुर्तोसिस पर कुछ ज्यामितीय दृष्टिकोण विकसित किए हैं। एक यह है कि अतिरिक्त कर्टोसिस को सामान्य रूप से सामान्य क्वांटाइल-क्वांटाइल प्लॉट की पूंछ में अपेक्षित 45 डिग्री लाइन से विचलन के संदर्भ में ज्यामितीय रूप से देखा जा सकता है; देखें कि क्या यह QQ प्लॉट लेप्टोकोर्टिक या प्लैटीक्यूरिक वितरण को इंगित करता है?

की एक और (शायद ज्यामितीय की तुलना में अधिक भौतिक) व्याख्या यह है कि को वितरण के संतुलन के बिंदु के रूप में देखा जा सकता है , जहां । ध्यान दें कि का गैर-अतिरिक्त) कर्टोसिस बराबर है । इस प्रकार, के कुर्तोसिस पर शेष राशि का वितरण ।$p_V(v)$$V = \{(X - \mu)/\sigma \}^4$$X$$E(V)$$V$$X$

एक अन्य परिणाम जो दर्शाता है कि रेंज में ज्यामिति लगभग कर्टोसिस के लिए अप्रासंगिक है जो इस प्रकार दी गई है। चौथे क्षण में किसी भी आरवी के पीडीएफ पर विचार करें । (इस प्रकार परिणाम सभी अनुभवजन्य वितरणों पर लागू होता है।) एक नया वितरण प्राप्त करने के लिए मनमाने ढंग से रेंज के भीतर द्रव्यमान (या ज्यामिति) को बदलें , लेकिन परिणामी वितरण का औसत और मानक विचलन और के बराबर रखें मूल । फिर ऐसे सभी प्रतिस्थापनों के लिए कर्टोसिस में अधिकतम अंतर । दूसरी ओर, यदि आप बाहर द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करते हैं$\mu \pm \sigma$$X$$\mu \pm \sigma$$\mu$$\sigma$$X$$\le 0.25$$\mu \pm \sigma$श्रेणी, केंद्र द्रव्यमान के साथ-साथ , नियत रखते हुए, ऐसे सभी प्रतिस्थापनों के लिए कर्टोसिस में अंतर अनबाउंड है।$\mu$$\sigma$

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अपनी अधिकांश पोस्टों में लोगों को केवल एक पेपर का हवाला देते रहने के बजाय, क्या आप यहाँ के तर्कों को संक्षेप में बताएंगे? "हमेशा लिंक के लिए संदर्भ प्रदान करें " के तहत यहां सहायता देखें , विशेष रूप से जहां यह कहता है "हमेशा महत्वपूर्ण भाग उद्धृत करें"। जरूरी नहीं कि यह शाब्दिक रूप से उद्धृत किया जाए जहां तर्क व्यापक है, लेकिन कम से कम तर्क के सारांश की आवश्यकता है। आप बस कुछ व्यापक बयान करते हैं और फिर एक पेपर से लिंक करते हैं। बयान है कि कुकुदता उपायों पूंछ व्यवहार (अनुपस्थित संदर्भ) गुमराह (प्रमाण्य तो) है

— Glen_b -Reinstate मोनिका

... लेकिन उन तर्कों से असहमत होना असंभव है जो आप यहां प्रस्तुत नहीं करते हैं, और शायद अधिक बारीक निष्कर्ष पर पहुंचते हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मेरे तर्क स्पष्ट रूप से यहाँ दिए गए हैं: en.wikipedia.org/wiki/… टिप्पणियाँ स्वागत है! Btw, कुकुदता है पूंछ वजन का एक उपाय, सिर्फ दूसरों कि विचार किया गया है के रूप में ही नहीं। यह ई (जेड ^ 4) के माध्यम से पूंछ के वजन को मापता है, जो मूल्यों के बाद से पूंछ के वजन का एक उपाय है। Z | <1 इसे बहुत कम योगदान देता है। इसी तर्क से, E (Z ^ n), उच्चतर शक्तियां n के लिए, पूंछ वजन उपाय भी हैं।

— पीटर वेस्टफॉल

हाय पीटर, कृपया अपने खातों को मर्ज करने के लिए कृपया आँकड़े .stackexchange.com/help/merging-accounts पर जाएँ ताकि आप अपनी पुरानी पोस्टों को संशोधित कर सकें।

— whuber

Answer 5

एक अलग तरह का उत्तर: हम http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm : चित्रमय क्षणों से विचारों का उपयोग करते हुए, ज्यामितीय रूप से कर्टोसिस का वर्णन कर सकते हैं।

की परिभाषा के साथ शुरू करें: जहाँ , का घनत्व क्रमशः प्रत्याशा और विचरण है। अभिन्न संकेत के तहत nonnegative फ़ंक्शन कुर्तोसिस को एकीकृत करता है, और लगभग से कर्टोसिस में योगदान देता है । हम इसे कर्टोसिस घनत्व कह सकते हैं , और इसे साजिश रचने से यह कर्टोसिस को रेखांकन से दिखाता है। (ध्यान दें कि इस पोस्ट में हम अतिरिक्त का उपयोग नहीं कर रहे हैं )।

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} k = \E \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^4 =\int (\frac{x-\mu}{\sigma})^4 f(x) \; dx$$ $f$$X$$\mu, \sigma^2$$x$कश्मीर ई = कश्मीर - 3 $k_e=k-3$

निम्नलिखित में मैं कुछ सममितीय वितरण के लिए ग्राफिकल कुर्तोसिस की एक साजिश दिखाऊंगा, सभी शून्य पर केंद्रित है और 1 विचरण करने के लिए स्केल किया गया है।

केंद्र से कुर्तोसिस में योगदान की आभासी अनुपस्थिति पर ध्यान दें, यह दर्शाता है कि कुर्तोसिस का "चरमता" के साथ बहुत कुछ नहीं है।

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बिल्कुल सही। आपके द्वारा -1 से +1 तक दिखाए जाने वाले वक्रों के क्षेत्र सभी वितरणों के लिए 0 और 1 के बीच हैं, और सभी निरंतर वितरणों के लिए 0 और 0.5 के बीच हैं, जिसके लिए का घनत्व [0,1] सीमा पर घट रहा है । मेरे पेपर ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753 में वे दो प्रमेय सिद्ध हैं । एक तीसरा प्रमेय साबित हुआ है कि, वितरण के किसी भी क्रम के लिए, जिसके लिए कर्टोसिस अनन्तता को जाता है, प्रत्येक फिक्स्ड लिए से तक सीमा के तहत क्षेत्र का अनुपात शून्य हो जाता है । - बी + बी $Z^2$$-b$$+b$$b$

— पीटर वेस्टफॉल