मुझे पता है कि रैखिक बीजगणित और विश्लेषण (विशेष रूप से माप सिद्धांत) महत्वपूर्ण हैं। क्या वास्तविक और जटिल विश्लेषण में स्नातक स्तर के पाठ्यक्रम लेना सहायक है? क्या मुझे परिचयात्मक पाठ्यक्रमों से परे अमूर्त बीजगणित में पाठ्यक्रम लेना चाहिए, उदाहरण के लिए, स्मारक बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति?
जवाबों:
मेरी राय में, स्नातक स्तर पर जांच करने के लिए कुछ विकल्प हो सकते हैं: कार्यात्मक विश्लेषण (सांख्यिकीय योगों के लिए एक प्राकृतिक ढांचा), स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं, स्टोकेस्टिक नियंत्रण (अनुक्रमिक विश्लेषण इष्टतम रोक है), पीडीई के विभिन्न स्वाद (कई संभाव्य समस्याएं) के रूप में तैयार की जाती हैं। परवलयिक और nonlinear PDE की)। बहुत ज्यादा इन सभी को एक अंडरग्रेड स्तर पर वास्तविक विश्लेषण की आवश्यकता होती है। यदि आप सैद्धांतिक सामग्री में रुचि रखते हैं, तो इन विषयों के पूर्ण उपचार के लिए एक शर्त के रूप में माप सिद्धांत लेना भी बहुत महत्वपूर्ण है। जटिल विश्लेषण का कुछ उपयोग होगा, लेकिन उपरोक्त से कम; संभावना (यानी हार्मोनिक कार्यों) के लिए कनेक्शन हैं, लेकिन यह बहुत अच्छी तरह से इसके लायक नहीं हो सकता है
कम्यूटेटिव बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति बहुत उपयोगी नहीं होगी (एक कनेक्शन जो मैं सोच सकता हूं कि बीजगणितीय आँकड़े हैं, जो व्यापक रूप से सिखाया नहीं जाता है)। गणित में ठोस पृष्ठभूमि के बिना ये विषय भी बहुत चुनौतीपूर्ण होंगे।
वास्तविक विश्लेषण प्राप्त करें, लेकिन जिस तरह से मैं लोगों को ऐसा करते हुए नहीं देखता हूं। जब हम गणित का साक्षात्कार लेते हैं, तो वे वास्तविक विश्लेषण के साधनों में महारत हासिल नहीं करते हैं, सरल चीजें जैसे इंटीग्रल उनमें से अधिकांश के लिए पहुंच से बाहर हैं। मुझे अभी भी समझ नहीं आया कि क्यों। तो, मेरी सलाह: सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों पर ध्यान दें।
इसके अलावा ODE और PDE पाठ्यक्रम, और कार्यात्मक विश्लेषण और अंतर ज्यामिति प्राप्त करें। रैखिक बीजगणित और दसियों, ज़ाहिर है, भी। सभी अनुप्रयोगों पर ध्यान केंद्रित के साथ।
कम्यूटेटिव बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति के संबंध में, जो विषय अन्य उत्तरों में कम से कम संबोधित किए जाते हैं, मेरी धारणा यह है कि जब तक आप बीजीय आंकड़ों से बचते हैं, आप उनके बिना पूरी तरह से प्राप्त कर सकते हैं। भविष्य में बीजीय आंकड़ों से बचना अधिक से अधिक कठिन हो सकता है, क्योंकि इसमें मशीन / सांख्यिकीय सीखने के साथ बहुत सारे अनुप्रयोग और चौराहे हैं, जो वर्तमान अनुसंधान में बहुत महत्वपूर्ण है, साथ ही साथ अन्य क्षेत्रों में भी। बीजगणितीय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति वे विषय हैं जिन्हें आप विशेष रूप से बीजगणितीय सांख्यिकी के लिए सीखना चाहते हैं, उदाहरण के लिए इस प्रश्न के उत्तर देखें: सांख्यिकी के लिए बीजगणितीय ज्यामिति
इसके विपरीत, आँकड़ों के सभी उपक्षेत्र विश्लेषण का उपयोग करते हैं। (हालांकि इतना जटिल विश्लेषण नहीं है, हालांकि यह विशेषता कार्यों को समझने के लिए उपयोगी हो सकता है, एक ऐसा बिंदु जो अभी तक नहीं उठाया गया है।) मुझे लगता है कि स्नातक स्तर के माप के सिद्धांत शायद पर्याप्त होंगे, क्योंकि मैं पेशेवर सांख्यिकीविदों (जैसे प्रोफेसरों) से मिला हूं शीर्ष विभागों में) जो माप सिद्धांत को देखते हैं, लेकिन यदि आप वास्तव में माप सिद्धांत को समझना चाहते हैं, तो वास्तविक विश्लेषण में स्नातक स्तर का पाठ्यक्रम एक बड़ी मदद है। स्नातक उपाय सिद्धांत वास्तविक रेखा पर विशेष रूप से लेब्सेग माप पर ध्यान केंद्रित करता है, जिसमें बहुत सारे अच्छे गुण होते हैं जो सामान्य उपाय जरूरी नहीं हो सकते हैं, और इसके अलावा एक अनंत उपाय है। इसके विपरीत, एक स्नातक स्तर के वास्तविक विश्लेषण पाठ्यक्रम में अमूर्त उपायों पर अधिक जोर दिया जाएगा, जो समझने के लिए सामान्य रूप से संभाव्यता उपायों को बनाते हैं, और निरंतर और असतत संभावना उपायों के बीच संबंध को भी स्पष्ट करते हैं - दूसरे शब्दों में, आप पहली बार दोनों विषयों को अपने दिमाग में एक फ्रेमवर्क के भीतर एक साथ देख पाएंगे। इसी तरह, कोई इस तरह के पाठ्यक्रम में कोलमोगोरोव एक्सटेंशन प्रमेय साबित कर सकता है। और निरंतर समय में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की कठोर समझ के लिए अमूर्त उपायों की समझ वास्तव में अपरिहार्य है। यह असतत समय में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को समझने के लिए भी उपयोगी है, हालांकि निरंतर मामले की तुलना में कम महत्वपूर्ण है। आप पहली बार अपने दिमाग में एक ही ढांचे के भीतर दोनों विषयों को एक साथ देख पाएंगे। इसी तरह, कोई इस तरह के पाठ्यक्रम में कोलमोगोरोव एक्सटेंशन प्रमेय साबित कर सकता है। और निरंतर समय में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की कठोर समझ के लिए अमूर्त उपायों की समझ वास्तव में अपरिहार्य है। यह असतत समय में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को समझने के लिए भी उपयोगी है, हालांकि निरंतर मामले की तुलना में कम महत्वपूर्ण है। आप पहली बार अपने दिमाग में एक ही ढांचे के भीतर दोनों विषयों को एक साथ देख पाएंगे। इसी तरह, कोई इस तरह के पाठ्यक्रम में कोलमोगोरोव एक्सटेंशन प्रमेय साबित कर सकता है। और निरंतर समय में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की कठोर समझ के लिए अमूर्त उपायों की समझ वास्तव में अपरिहार्य है। यह असतत समय में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को समझने के लिए भी उपयोगी है, हालांकि निरंतर मामले की तुलना में कम महत्वपूर्ण है।