पी-वैल्यू को मिलाते समय, औसत ही क्यों?

मैंने हाल ही में फिशर की विधि के बारे में सीखा है जो पी-वैल्यू को जोड़ती है। यह तथ्य यह है कि अशक्त के तहत पी-मूल्य और एक समान वितरण इस प्रकार है, कि पर आधारित है जो मुझे लगता है प्रतिभाशाली है। लेकिन मेरा सवाल यह है कि इस जटिल तरीके से क्यों चल रहा है? और क्यों नहीं (क्या गलत है) केवल पी-वैल्यू के माध्यम का उपयोग करके और केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग करें? या मंझला? मैं इस भव्य योजना के पीछे आरए फिशर की प्रतिभा को समझने की कोशिश कर रहा हूं।

- 2 \sum_{i = 1}^{n} \log X_{i} \sim χ^{2} (2 n), given X \sim Unif (0, 1)

$-2\sum_{i=1}^n{\log X_i} \sim \chi^2(2n), \text{ given } X \sim \text{Unif}(0,1)$

— Alby
स्रोत

यह संभाव्यता के एक मूल स्वयंसिद्ध के लिए नीचे आता है: पी-मान संभाव्य हैं और स्वतंत्र प्रयोगों के परिणामों के लिए संभाव्यताएं जोड़ते नहीं हैं, वे गुणा करते हैं। निश्चित ही: जहां गुणा का संबंध है, लघुगणक राशि के लिए एक उत्पाद को आसान बनाने

से आता है। (यह एक ची-चुकता वितरण है तो एक अयोग्य गणितीय परिणाम है।) दूर से शुरू "दृढ़," यह शायद सबसे सरल और सबसे स्वाभाविक (वैध) प्रक्रिया है।

\sum \log (X_{i})

$\sum\log(X_i)$

— whuber

मान लें कि मेरे पास एक ही जनसंख्या से 2 स्वतंत्र नमूने हैं (मान लीजिए कि हमारे पास एक नमूना टी-परीक्षण है)। नमूना माध्य की कल्पना करें और मानक विचलन केवल उसी के बारे में हैं। तो पहले नमूने के लिए पी-मान 0.0666 है और दूसरे नमूने के लिए 0.0668 है। समग्र पी-मान क्या होना चाहिए? खैर, यह 0.0667 होना चाहिए? वास्तव में, यह काफी स्पष्ट है कि यह छोटा होना चाहिए। इस मामले में "सही" करने के लिए नमूनों को गठबंधन करना है, अगर हमारे पास है। हमारे पास समान माध्य और मानक विचलन के बारे में होगा, लेकिन दो बार नमूना आकार । एसटीडी। माध्य की त्रुटि छोटी है, और p- मान छोटा होना चाहिए।

— Glen_b

पी-मूल्यों को संयोजित करने के अन्य तरीके हैं, ज़ाहिर है, हालांकि उत्पाद इसे करने का सबसे प्राकृतिक तरीका है। उदाहरण के लिए पी-मान जोड़ सकते हैं; संयुक्त अशक्त के तहत उनके योग का त्रिकोणीय वितरण होना चाहिए। या कोई पी-वैल्यू को जेड-वैल्यू में बदल सकता है और उन्हें जोड़ सकता है (और यदि आप समान आकार से परिणाम नहीं जोड़ रहे थे, तो एक सामान्य आबादी से बहुत छोटे नमूने, यह बहुत समझ में आता है)। लेकिन उत्पाद आगे बढ़ने का स्पष्ट तरीका है; यह हर बार तार्किक समझ में आता है।

— Glen_b

ध्यान दें कि फिशर की विधि उत्पाद पर आधारित है, जिसे मैं प्राकृतिक के रूप में वर्णित कर रहा हूं - क्योंकि आप उनकी संयुक्त क्षमता को खोजने के लिए स्वतंत्र संभावनाओं को गुणा करते हैं। जीएम को ध्यान में रखते हुए वास्तव में उत्पाद के अलावा अन्य से अलग नहीं है, तो यह पता लगाने में एक अतिरिक्त कदम है कि संबंधित संयुक्त पी-मूल्य क्या है क्योंकि उत्पाद को लेकर जीएम (

, कहते हैं) काम कर रहा है, आपको तब देखने की आवश्यकता होगी

संयुक्त पी-मूल्य प्राप्त करें। कहने का मतलब यह है कि आप संयुक्त पी-वैल्यू खोजने के लिए लॉग लेने से पहले जीएम को उत्पाद में वापस परिवर्तित करेंगे।

g

$g$

- 2 n \log g = - 2 \log (g^{n})

$-2n \log g=-2 \log (g^n)$

— ग्लेन_ बी

मैं पूछूंगा कि हर एक ने "द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन" में डंकन मर्डोक के टुकड़े "पी-वैल्यूज़ रैंडम वेरिएबल्स" को पढ़ा। मुझे ऑनलाइन एक प्रति मिल गई है: hypergeometric.files.wordpress.com/2013/09/…

— DWIN

जवाबों:

आप पूरी तरह से मतलब का उपयोग कर सकते -value। $p$

फिशर विधि सेट एक सीमा सेट पर , इस तरह है कि अगर शून्य परिकल्पना : सभी -values हैं रखती है, तो से अधिक है संभावना के साथ । खारिज कर दिया जाता है। $s_\alpha$ $-2 \sum_{i=1}^n \log p_i$ $H_0$ $p$ $\sim U(0,1)$ $-2 \sum_i \log p_i$ $s_\alpha$ $\alpha$ $H_0$

आम तौर पर ले जाता है और के quantile द्वारा दिया जाता है । तुल्य, एक उत्पाद पर काम कर सकते जो तुलना में कम है संभावना के साथ । यहाँ, , अस्वीकृति क्षेत्र (लाल रंग में) दिखाने वाला ग्राफ़ (यहाँ हम उपयोग करते हैं । अस्वीकृति क्षेत्र का क्षेत्रफल = 0.05 है। $\alpha = 0.05$ $s_\alpha$ $\chi^2(2n)$ $\prod_i p_i$ $e^{-s_\alpha/2}$ $\alpha$ $n=2$ $s_\alpha = 9.49$

मछुआ

अब आप पर काम करना चुन सकते हैं ${1\over n} \sum_{i=1}^n p_i$ $\sum_i p_i$ $t_\alpha$ $\sum p_i$ $t_\alpha$ $\alpha$ $t_\alpha$ $n$ $n = 2$ $t_\alpha = (2\alpha)^{1\over 2}$

पी मानों का योग

जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, अस्वीकृति क्षेत्र के लिए कई अन्य आकृतियाँ कब्ज़े हैं, और प्रस्तावित की गई हैं। यह एक प्राथमिकता स्पष्ट नहीं है जो बेहतर है - यानी जिसमें अधिक शक्ति है।

$p_1$ $p_2$ $z$

> p1 <- pchisq( rnorm(1e4, 1, 1)**2, df=1, lower.tail=FALSE )
> p2 <- pchisq( rnorm(1e4, 1, 1)**2, df=1, lower.tail=FALSE )

आइए लाल बिंदुओं के साथ स्कैप्लेटोट पर एक नज़र डालें, जिसके लिए अशक्त परिकल्पना को खारिज कर दिया गया है।

स्कैटर प्लॉट

फिशर की उत्पाद विधि की शक्ति लगभग है

> sum(p1*p2<exp(-9.49/2))/1e4
[1] 0.2245

$p$

> sum(p1+p2<sqrt(0.1))/1e4
[1] 0.1963

तो फिशर की विधि जीतती है - कम से कम इस मामले में।

— एल्विस
स्रोत

n = 2

$n=2$

t_{α} = \sqrt{2 α}

$t_\alpha=\sqrt{2\alpha}$

n = 3

$n=3$

n > 3

$n > 3$

0.5 * n

$0.5*n$

n / 12

$n/12$

p

$p$

$p$

$p$

फिर भी एक कर सकते हैं उन्हें जोड़ें। वास्तव में, यह सटीक रूप से एडिंग्टन (1972) द्वारा सुझाया गया था, स्वतंत्र प्रयोगों (भुगतान-दीवार के तहत) से संभाव्यता मूल्यों के संयोजन के लिए एक योजक विधि , और कभी-कभी एडिंग्टन की विधि के रूप में संदर्भित किया जाता है। 1972 का पेपर यह दावा करता है कि

Additive विधि को गुणक विधि की तुलना में अधिक शक्तिशाली दिखाया गया है, जब वास्तव में उपचार के प्रभाव होते हैं, तो महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त करने के गुणक विधि की तुलना में अधिक संभावना होती है।

लेकिन यह देखते हुए कि यह विधि अपेक्षाकृत अज्ञात है, मुझे संदेह है कि यह कम से कम ओवरसिम्प्लीफिकेशन था। उदाहरण के लिए एक हालिया अवलोकन कजिन्स (2008) कॉम्बिनेशन ऑन द पीप्स ऑफ द कुछ पेपर्स ऑन कॉम्बिनेशन साइनिंग या पी-वैल्यूज में एजिंगटन के तरीके का बिल्कुल भी जिक्र नहीं है और ऐसा लगता है कि इस शब्द का कभी भी क्रॉसविलेज पर उल्लेख नहीं किया गया है।

$p$ $z^2$ $z$

इसलिए किसी भी "दृढ़" विधि का उपयोग करने के बारे में सामान्य प्रश्न का उत्तर, यह है कि कोई भी शक्ति प्राप्त कर सकता है।

जेकिन एट अल (2002) पी-वैल्यू के संयोजन के लिए छंटनी की गई उत्पाद विधि कुछ सिमुलेशन चलाती है और तुलना में एडिंग्टन की विधि शामिल है, लेकिन मैं निष्कर्ष के बारे में निश्चित नहीं हूं।

$n=2$

पी-वैल्यू का संयोजन

यह सब कहने के बाद, मुझे लगता है कि अभी भी एक सवाल बना हुआ है कि एडिंग्टन की विधि (अक्सर?) को क्यों अपनाया जाएगा, क्योंकि यह अस्पष्ट है।

$n=2$ $p_1 = 0.4$ $p_2$ $\alpha=0.05$ $p_2 = 0.00000001$

$p$ $p=0.001$ $p=0.00000001$

$p$

$p$
$S = p_{1} + \dots + p_{k},$ $S = p_1 + \cdots + p_k,$ $S$ $S$ $p$ हालांकि, इस प्रक्रिया की लगभग कोई संख्यात्मक जांच नहीं हुई है।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका को बहाल करो
स्रोत

धन्यवाद, @Glen_b! मुझे खुशी है कि इस धागे को कुछ अतिरिक्त और अच्छी तरह से योग्य दृश्यता मिली। वैसे, मुझे यह जानकारी नहीं थी कि इस प्रक्रिया को "एडिंग्टन की विधि" कहा जाता है जब तक कि मैंने इस उत्तर पर शोध शुरू नहीं किया।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

इसलिए यदि आपने समान आकार के तीन अध्ययन किए और तीनों अवसरों पर 0.05 का पी-मान प्राप्त किया, तो आपका अंतर्ज्ञान यह है कि "सही मूल्य" 0.05 होना चाहिए? मेरा अंतर्ज्ञान अलग है। कई इसी तरह के परिणाम महत्व को अधिक बनाने के लिए प्रतीत होते हैं (और इसलिए पी-मान ~~जो संभाव्यताएं~~ कम होनी चाहिए)। पी-वैल्यू वास्तव में संभावनाएं नहीं हैं। वे एक विशेष परिकल्पना के तहत मनाया मूल्यों के नमूना वितरण के बारे में बयान हैं। मेरा मानना है कि इसने इस धारणा को समर्थन दिया होगा कि कोई इनका गलत इस्तेमाल कर सकता है। मुझे लगता है कि जोर देकर पछतावा हो रहा है।

किसी भी दर पर, बिना किसी अंतर के अशक्त परिकल्पना के तहत, कई चरम पी-मान प्राप्त करने की संभावना अधिक संभावना नहीं होगी। हर बार जब मैं यह कथन देखता हूं कि पी-वैल्यू को समान रूप से 0-1 से वितरित किया गया है, तो मैं इसे परिकल्पना के साथ परीक्षण करने के लिए मजबूर महसूस कर रहा हूं, और अब तक यह कथन लगता है। मैं स्पष्ट रूप से एक लघुगणकीय पैमाने पर होशपूर्वक नहीं सोचता, हालांकि कम से कम मेरे मस्तिष्क तंत्रिका जाल का हिस्सा होना चाहिए।

आप इस अंतर्ज्ञान अंदाजा लगाना चाहते हैं, सूत्र आप की पेशकश की (मामूली संशोधन के साथ) विकिपीडिया पृष्ठ में प्रकट होता है: http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher%27s_method , और संबद्ध ग्राफिक आप नेत्रहीन और अर्द्ध यों की सुविधा देता है मात्रात्मक रूप से समग्र महत्व पर दो छोटे पी-मान प्राप्त करने का प्रभाव। उदाहरण के लिए, रंग कोडित ग्राफिक से पढ़ना, 0.05 के साथ-साथ पी-मान .02 के आसपास एक सिंथेटिक पी-मूल्य देगा। आप अपने नमूना आकार को दोगुना करने के टी-आँकड़ों पर पड़ने वाले प्रभाव की भी जाँच कर सकते हैं। नमूना आकार 1 / sqrt (n-1) के रूप में नमूना t-आँकड़ा में प्रवेश करता है, इसलिए आप 50 से 100 तक जाने के परिणामस्वरूप उस कारक के प्रभाव को देख सकते हैं। (R :)

 plot(1:100, 1/sqrt(1:100) ,ylim=c(0,1) )
 abline(h=1/sqrt(c(50,100)))

वे दो दृष्टिकोण अलग-अलग मात्रात्मक परिणाम देते हैं, क्योंकि अनुपात 1 / sqrt (n) मान 50 और 100 के लिए 0.05 के अनुपात 0.02 के समान नहीं हैं। दोनों दृष्टिकोण मेरे अंतर्ज्ञान का समर्थन करते हैं, लेकिन अलग-अलग डिग्री तक। शायद कोई और इस विसंगति को हल कर सकता है। फिर भी एक तीसरा दृष्टिकोण "ट्रू" के दो यादृच्छिक ड्रॉ होने की संभावना पर विचार करना होगा जब प्रत्येक ड्रॉ की द्विपदीय संभावना .05 थी। (एक अत्यंत अनुचित पासा) उस संयुक्त घटना में .05 * .05 = .002 की संभावना होनी चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप फिशर अनुमान के "दूसरे पक्ष" पर विचार किया जा सकता है। मैंने सिर्फ 50,000 युगपत t.tests के सिमुलेशन को चलाया। यदि आप परिणामों की साजिश करते हैं तो यह कॉस्मिक बैकग्राउंड रेडिएशन फील्ड के नक्शे की तरह ही दिखता है ... यानी। ज्यादातर यादृच्छिक।

 t1 <- replicate(50000, t.test(rnorm(50))$p.value )
     t2 <- replicate(50000, t.test(rnorm(50))$p.value )
 table(t1 < 0.05, t2 < 0.05)
 plot(t1, t2, cex=0.1)
#        FALSE  TRUE
#  FALSE 45099  2411
#  TRUE   2380   110
 110/(50000-110)
#[1] 0.002204851

— DWin
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। आपके द्वारा उल्लिखित अंतर्ज्ञान वास्तव में समझ में आता है। मैं उन मामलों पर विचार करूंगा जिनका आपने अधिक महत्वपूर्ण उल्लेख किया है। लेकिन क्या इस विचार को अधिक गणितीय रूप से कठोरता से व्यक्त करने का एक तरीका है?

— अलबी

p

$p$

a l p h a

$alpha$

मैंने उसे देखा। आश्वस्त नहीं था।

— डीडिन

p_{1} = 0.05

$p_1 = 0.05$

p_{2} = 0.05

$p_2 = 0.05$

औसत विधि "जोर देती है" या यौगिक परिकल्पना को वजन करती है जिसे दोनों व्यक्तिगत परिकल्पनाओं को एक साथ खारिज कर दिया जाता है। यह एक अडिग अवरोध प्रतीत होता है।

— डीडिन