बूटस्ट्रैप नमूने के नमूने का भिन्न अर्थ

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चलो अलग टिप्पणियों (कोई संबंध) हो। चलो निरूपित एक बूटस्ट्रैप नमूना (अनुभवजन्य CDF से एक नमूना) और जाने । खोजें और । $X_{1},...,X_{n}$ $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ $E(\bar{X}_{n}^{*})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

मेरे पास अब तक जो है प्रत्येक में प्रायिकता so और जो $X_{i}^{*}$ $X_{1},...,X_{n}$ $\frac{1}{n}$

E (X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} E (X_{1}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

E (X_{i}^{* 2}) = \frac{1}{n} E (X_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}^{2}) = \frac{n (μ^{2} + σ^{2})}{n} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$

V a r (X_{i}^{*}) = E (X_{i}^{* 2}) - (E (X_{i}^{*}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

फिर, और के बाद से ' s स्वतंत्र हैं। इससे

E ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i}^{*}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = V a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r (X_{i}^{*})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

हालाँकि, जब मैं शर्त लगाता और सशर्त विचरण के लिए सूत्र का उपयोग नहीं करता, तो मुझे एक ही उत्तर नहीं मिलता है : $X_{1},\ldots,X_{n}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (V a r ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, . . ., X_{n})) + V a r (E ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, \dots, X_{n})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ और तो ऊपर दिए गए सूत्र में इनको प्लग करना (कुछ बीजगणित के बाद) । $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$

क्या मुझसे यहां कुछ गलत हो रहा है? मेरी भावना यह है कि मैं सशर्त विचरण सूत्र का सही उपयोग नहीं कर रहा हूं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है। किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।

— rrruss
स्रोत

शायद आपके V (E (X | X1..Xn)) की सही गणना नहीं की गई है। उत्तर समान होना चाहिए।

आप शायद सही हैं - लेकिन यह उत्तर बहुत जानकारीपूर्ण नहीं लगता है। शायद आप इशारा कर सकें कि कौन सा हिस्सा सही नहीं है?

— whuber

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सही उत्तर । समाधान यहाँ # 4 है $\frac{n-1}{n^2}S^2$

— ग्रेग
स्रोत

4

यह एक देर से उत्तर हो सकता है, लेकिन आपकी गणना में क्या गलत है निम्नलिखित है: आपने मान लिया है कि बिना शर्त आपके बूटस्ट्रैप का नमूना आईआईडी है। यह गलत है: आपके नमूने पर सशर्त, बूटस्ट्रैप नमूना वास्तव में iid है, लेकिन बिना शर्त आप स्वतंत्रता खो देते हैं (लेकिन आप अभी भी पहचान योग्य यादृच्छिक चर वितरित करते हैं)। यह अनिवार्य रूप से लैरी Wasserman में व्यायाम 13 है nonparametric आँकड़ों के सभी ।

— एम टरगेन
स्रोत