माध्य और माध्य गुण

Question

क्या कोई मुझे समझा सकता है कि गणितीय तर्क दो बयानों (ए) और (बी) को एक साथ जोड़ देगा? आइए हम मानों (कुछ वितरण) का एक सेट करें। अभी,

ए) मेडियन हर मूल्य पर निर्भर नहीं करता है [यह सिर्फ एक या दो मध्य मूल्यों पर निर्भर करता है]; बी) मेडियन इससे प्राप्त होने वाले न्यूनतम योग-निरपेक्ष विचलन का ठिकाना है।

और इसी तरह, और इसके विपरीत,

a) (अंकगणित) माध्य हर मूल्य पर निर्भर करता है; बी) मीन से न्यूनतम राशि का वर्ग-विचलन है।

मेरी यह समझ अब तक सहज है।

Comments

: यह एक ही प्रश्न के एक पुराने संस्करण की समीक्षा करने के सार्थक stats.stackexchange.com/questions/2547/... और, मजबूत आंकड़े का एक विवरण: en.wikipedia.org/wiki/Robust_statistics

— bill_080

तो आप पहली जोड़ी के लिए क्या कर रहे हैं, यह एक प्रमाण है कि माध्यिका, जैसा कि आमतौर पर मध्य-रैंक मान के रूप में परिभाषित किया जाता है (किसी भी तरह के मानों की एक विषम संख्या के लिए, सबसे सरल मामले के साथ शुरू करने के लिए) भी वह मूल्य है जो योग को न्यूनतम करता है पूर्ण विचलन के? अधिमानतः एक प्रमाण जो कुछ सहज ज्ञान युक्त अंतर्दृष्टि भी देता है? मुझे स्वयं किसी भी प्रमाण का पता नहीं है, इसलिए यह एक अच्छा प्रश्न है, और एक मुझे इसका उत्तर भी जानना होगा।

— onestop

आप मुझे सही ढंग से महसूस करते हैं। (ए) और (बी) दोनों आंकड़ों के लिए वर्तमान में मेरे दिमाग में अलग-अलग पहलू / गुण हैं; लेकिन अंतर्ज्ञान से पता चलता है कि दो पहलू बंधे हैं। मैं जानना चाहता हूं - वे कैसे बंधे हुए हैं, इसे गहराई से समझने के लिए।

— tnnphns

Answer 1

यह दो प्रश्न हैं: एक यह है कि माध्य और माध्य हानि के कार्यों को कैसे कम करते हैं और दूसरा डेटा के लिए इन अनुमानों की संवेदनशीलता के बारे में है । दो प्रश्न जुड़े हुए हैं, जैसा कि हम देखेंगे।

कम से कम नुकसान

संख्या के बैच के केंद्र का एक सारांश (या अनुमानक) सारांश मान को बदलने और यह कल्पना करने से बनाया जा सकता है कि बैच में प्रत्येक संख्या उस मूल्य पर एक पुनर्स्थापना बल प्रदान करती है। जब बल कभी किसी संख्या से मूल्य को दूर नहीं धकेलता है, तो यकीनन कोई भी बिंदु जिस पर बल संतुलन बैच का "केंद्र" होता है।

द्विघात ( $L_2$ ) नुकसान

उदाहरण के लिए, यदि हम सारांश और प्रत्येक संख्या के बीच एक शास्त्रीय वसंत ( हुक के नियम ) का पालन करते हैं, तो बल प्रत्येक वसंत की दूरी के लिए आनुपातिक होगा। स्प्रिंग्स इस तरह से सारांश को खींच लेंगे और अंततः, न्यूनतम ऊर्जा के एक अद्वितीय स्थिर स्थान पर बस जाएंगे।

मैं थोड़े स्लीट-ऑफ-द-हैंड को नोटिस देना चाहूंगा जो अभी हुआ है: ऊर्जा चुकता दूरी के योग के लिए आनुपातिक है । न्यूटोनियन यांत्रिकी हमें सिखाता है कि बल ऊर्जा के परिवर्तन की दर है। एक संतुलन प्राप्त करना - ऊर्जा को कम करना - बलों को संतुलित करने में परिणाम। ऊर्जा में परिवर्तन की शुद्ध दर शून्य है।

चलो इसे " $L_2$ सारांश", या "चुकता नुकसान सारांश।"

पूर्ण ( $L_1$ ) नुकसान

मान और डेटा के बीच की दूरी की परवाह किए बिना, पुनर्स्थापना बलों के आकार को स्थिर करके एक और सारांश बनाया जा सकता है । हालाँकि, बल स्वयं स्थिर नहीं हैं, क्योंकि उन्हें हमेशा प्रत्येक डेटा बिंदु की ओर मूल्य खींचना चाहिए। इस प्रकार, जब मान डेटा बिंदु से कम होता है तो बल को सकारात्मक रूप से निर्देशित किया जाता है, लेकिन जब मूल्य डेटा बिंदु से अधिक होता है तो बल को नकारात्मक रूप से निर्देशित किया जाता है। अब ऊर्जा मूल्य और डेटा के बीच की दूरी के लिए आनुपातिक है। आमतौर पर एक संपूर्ण क्षेत्र होगा जिसमें ऊर्जा स्थिर है और शुद्ध बल शून्य है। इस क्षेत्र में कोई भी मूल्य हम " सारांश" या "पूर्ण नुकसान सारांश " कह सकते हैं ।$L_1$

ये भौतिक उपमाएँ दो योगों के बारे में उपयोगी अंतर्ज्ञान प्रदान करती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम डेटा बिंदुओं में से एक को स्थानांतरित करते हैं, तो सारांश का क्या होता है? में जुड़ी स्प्रिंग्स के साथ मामला है, एक डेटा बिंदु या तो हिस्सों या उसके वसंत को आराम घूम रहा है। परिणाम सारांश पर बल में परिवर्तन है, इसलिए इसे प्रतिक्रिया में बदलना होगा। लेकिन एल 1 मामले में, ज्यादातर समय डेटा बिंदु में परिवर्तन सारांश के लिए कुछ नहीं करता है, क्योंकि बल स्थानीय रूप से स्थिर है। डेटा बिंदु के सारांश में जाने के लिए बल को बदलने का एकमात्र तरीका है।$L_2$$L_1$

(वास्तव में, यह स्पष्ट होना चाहिए कि एक मूल्य पर शुद्ध बल उससे अधिक अंकों की संख्या से दिया जाता है - जो इसे ऊपर की ओर खींचते हैं - इससे कम अंक की संख्या - जो इसे नीचे की ओर खींचती है। इस प्रकार। सारांश किसी भी स्थान जहां डाटा मानों की संख्या से अधिक यह वास्तव में यह कम से कम डेटा मानों की संख्या के बराबर होती है पर होने चाहिए।)$L_1$

नुकसान का चित्रण

चूँकि दोनों बलों और ऊर्जाओं को जोड़ते हैं, इसलिए किसी भी स्थिति में हम डेटा बिंदुओं से व्यक्तिगत योगदान में शुद्ध ऊर्जा को विघटित कर सकते हैं। सारांश मूल्य के कार्य के रूप में ऊर्जा या बल को रेखांकन करके, यह क्या हो रहा है की एक विस्तृत तस्वीर प्रदान करता है। सारांश एक ऐसा स्थान होगा, जिस पर ऊर्जा (या सांख्यिकीय समानता में "हानि") सबसे छोटी है। समान रूप से, यह एक ऐसा स्थान होगा, जिस पर बल दिया जाता है: डेटा का केंद्र होता है जहां नुकसान में शुद्ध परिवर्तन शून्य होता है।

यह आंकड़ा छह मूल्यों के छोटे डेटासेट (प्रत्येक भूखंड में बेहोश ऊर्ध्वाधर लाइनों द्वारा चिह्नित) के लिए ऊर्जा और बल दिखाता है। धराशायी काले वक्र व्यक्तिगत मूल्यों से योगदान दिखाने वाले रंगीन घटता के योग हैं। एक्स-एक्सिस सारांश के संभावित मूल्यों को इंगित करता है।

समांतर माध्य यह ऊपरी बाएँ साजिश में काला परवलय के शिखर (नीचे) पर स्थित होगा: एक बिंदु है जहां वर्ग नुकसान को कम से कम किया जाता है। यह हमेशा अनोखा होता है। मंझला एक बिंदु है जहां पूर्ण नुकसान को कम से कम किया जाता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह डेटा के बीच में होना चाहिए। यह जरूरी नहीं कि अद्वितीय हो। यह ऊपरी दाईं ओर टूटे हुए काले वक्र के नीचे स्थित होगा। (नीचे वास्तव में के बीच एक छोटा फ्लैट अनुभाग के होते हैं और - 0.17 , इस अंतराल में किसी भी मूल्य एक मंझला है।)$-0.23$$-0.17$

संवेदनशीलता का विश्लेषण

पहले मैंने वर्णन किया कि जब डेटा बिंदु विविध होता है तो सारांश का क्या हो सकता है। यह किसी भी एक डेटा बिंदु को बदलने के जवाब में सारांश कैसे बदलता है, यह साजिश करने के लिए शिक्षाप्रद है। (ये भूखंड अनिवार्य रूप से अनुभवजन्य प्रभाव कार्य हैं । वे सामान्य परिभाषा से भिन्न होते हैं कि वे अनुमानों के वास्तविक मूल्यों को दिखाते हैं बजाय कि उन मूल्यों को कितना बदल दिया जाता है।) सारांश का मूल्य y पर "अनुमान" द्वारा लेबल किया गया है। यह याद दिलाने के लिए -axes कि यह सारांश अनुमान लगा रहा है कि डेटासेट का मध्य कहां है। प्रत्येक डेटा बिंदु के नए (परिवर्तित) मान उनके एक्स-एक्सिस पर दिखाए जाते हैं।

यह आंकड़ा बैच में प्रत्येक डेटा मान (पहले आंकड़े में एक ही विश्लेषण किया गया) को अलग-अलग परिणाम प्रस्तुत करता है । प्रत्येक डेटा वैल्यू के लिए एक प्लॉट होता है, जिसे उसके प्लॉट पर नीचे की धुरी के साथ एक लंबी काली टिक के साथ हाइलाइट किया जाता है। (शेष डेटा मान शॉर्ट ग्रे टिक्स के साथ दिखाए गए हैं।) ब्लू वक्र L 2 सारांश का पता लगाता है - अंकगणित माध्य - और लाल वक्र L 1 का पता लगाता है$-1.02, -0.82, -0.23, -0.17, -0.08, 0.77$$L_2$$L_1$सारांश - मंझला। (चूंकि अक्सर माध्यिका मूल्यों की एक सीमा होती है, उस सीमा के मध्य में साजिश रचने की परंपरा का पालन यहां किया जाता है।)

नोटिस:

1. माध्य की संवेदनशीलता अबाधित है: वे नीली रेखाएँ असीम रूप से दूर और ऊपर तक फैली हुई हैं। माध्यिका की संवेदनशीलता बंधी हुई है: लाल घटता की ऊपरी और निचली सीमाएं हैं।

2. हालांकि मंझला बदलता है, हालांकि, यह माध्य की तुलना में बहुत तेजी से बदलता है। प्रत्येक ब्लू लाइन की ढलान है (आम तौर पर यह है 1 / n के साथ एक डेटासेट के लिए n , मान) जबकि लाल लाइनों के झुके हुए भागों की ढलानों सब कर रहे हैं 1 / 2 ।$1/6$$1/n$$n$$1/2$

3. माध्य हर डेटा बिंदु के प्रति संवेदनशील है और इस संवेदनशीलता में कोई सीमा नहीं है (जैसा कि पहले आंकड़े के निचले बाएँ प्लॉट में सभी रंगीन रेखाओं की गैर-अक्षीय ढलानों से संकेत मिलता है)। हालांकि माध्यिका प्रत्येक डेटा बिंदु के प्रति संवेदनशील है, संवेदनशीलता बाउंड है (यही कारण है कि पहले आंकड़े के निचले दाएं भूखंड में रंगीन वक्र शून्य के आसपास एक संकीर्ण ऊर्ध्वाधर सीमा के भीतर स्थित हैं)। ये, निश्चित रूप से, मूल बल (हानि) कानून के दृश्य दोहराव हैं: माध्य के लिए द्विघात, माध्य के लिए रैखिक।

4. जिस अंतराल को बदलने के लिए माध्य बनाया जा सकता है, वह डेटा बिंदुओं के बीच भिन्न हो सकता है। यह हमेशा डेटा के बीच -बीच के दो मूल्यों से घिरा होता है जो अलग-अलग नहीं होते हैं । (ये सीमाएँ ऊर्ध्वाधर ऊर्ध्वाधर धराशायी लाइनों द्वारा चिह्नित हैं।)

5. मंझला के परिवर्तन की दर हमेशा होता है क्योंकि , राशि है जिसके द्वारा यह इसलिए भिन्न हो सकता है डेटासेट के पास मध्यम मूल्यों के बीच इस अंतर की लंबाई से निर्धारित होता है।$1/2$

हालांकि केवल पहला बिंदु आमतौर पर नोट किया जाता है, सभी चार बिंदु महत्वपूर्ण हैं। विशेष रूप से,

• यह निश्चित रूप से गलत है कि "मंझला हर मूल्य पर निर्भर नहीं करता है।" यह आंकड़ा एक प्रतिधारण प्रदान करता है।

• फिर भी, मध्यमान "भौतिक रूप से" हर मूल्य पर इस अर्थ में निर्भर नहीं करता है कि हालांकि व्यक्तिगत मूल्यों को बदलने से मंझला बदल सकता है, परिवर्तन की मात्रा डेटासेट में निकट-मध्य मानों के बीच अंतराल द्वारा सीमित है। विशेष रूप से, परिवर्तन की मात्रा बाध्य है । हम कहते हैं कि मध्यिका एक "प्रतिरोधी" सारांश है।

• हालांकि माध्य प्रतिरोधी नहीं है , और जब भी कोई डेटा मान परिवर्तित किया जाता है, तो बदल जाएगा, परिवर्तन की दर अपेक्षाकृत छोटी है। डेटासेट जितना बड़ा होगा, परिवर्तन की दर उतनी ही छोटी होगी। समान रूप से, एक बड़े डेटासेट के माध्यम से एक भौतिक परिवर्तन का उत्पादन करने के लिए, कम से कम एक मूल्य को अपेक्षाकृत बड़े बदलाव से गुजरना होगा। यह बताता है कि माध्य के गैर-प्रतिरोध केवल (ए) छोटे डेटासेट या (बी) डेटासेट के लिए चिंता का विषय है जहां एक या एक से अधिक डेटा बैच के मध्य से बहुत दूर मान हो सकते हैं।

ये टिप्पणी - जो मुझे उम्मीद है कि आंकड़े स्पष्ट करते हैं - नुकसान फ़ंक्शन और आकलनकर्ता की संवेदनशीलता (या प्रतिरोध) के बीच एक गहरा संबंध प्रकट करता है । इसके बारे में अधिक जानकारी के लिए, एम-अनुमानकों पर विकिपीडिया लेखों में से एक से शुरू करें और फिर उन विचारों को आगे बढ़ाएँ, जहाँ तक आप चाहते हैं।

---

कोड

इस Rकोड ने आंकड़े तैयार किए और किसी भी अन्य डेटासेट का उसी तरह से अध्ययन करने के लिए आसानी से संशोधित किया जा सकता है: बस yसंख्याओं के किसी भी वेक्टर के साथ यादृच्छिक रूप से बनाए गए वेक्टर को बदलें ।

#
# Create a small dataset.
#
set.seed(17)
y <- sort(rnorm(6)) # Some data
#
# Study how a statistic varies when the first element of a dataset
# is modified.
#
statistic.vary <- function(t, x, statistic) {
  sapply(t, function(e) statistic(c(e, x[-1])))
}
#
# Prepare for plotting.
#
darken <- function(c, x=0.8) {
  apply(col2rgb(c)/255 * x, 2, function(s)  rgb(s[1], s[2], s[3]))
}
colors <- darken(c("Blue", "Red"))
statistics <- c(mean, median); names(statistics) <- c("mean", "median")
x.limits <- range(y) + c(-1, 1)
y.limits <- range(sapply(statistics, 
                         function(f) statistic.vary(x.limits + c(-1,1), c(0,y), f)))
#
# Make the plots.
#
par(mfrow=c(2,3))
for (i in 1:length(y)) {
  #
  # Create a standard, consistent plot region.
  #
  plot(x.limits, y.limits, type="n", 
       xlab=paste("Value of y[", i, "]", sep=""), ylab="Estimate",
       main=paste("Sensitivity to y[", i, "]", sep=""))
  #legend("topleft", legend=names(statistics), col=colors, lwd=1)
  #
  # Mark the limits of the possible medians.
  #
  n <- length(y)/2
  bars <- sort(y[-1])[ceiling(n-1):floor(n+1)]
  abline(v=range(bars), lty=2, col="Gray")
  rug(y, col="Gray", ticksize=0.05);
  #
  # Show which value is being varied.
  #
  rug(y[1], col="Black", ticksize=0.075, lwd=2)
  #
  # Plot the statistics as the value is varied between x.limits.
  #
  invisible(mapply(function(f,c) 
    curve(statistic.vary(x, y, f), col=c, lwd=2, add=TRUE, n=501),
    statistics, colors))
  y <- c(y[-1], y[1])    # Move the next data value to the front
}
#------------------------------------------------------------------------------#
#
# Study loss functions.
#
loss <- function(x, y, f) sapply(x, function(t) sum(f(y-t)))
square <- function(t) t^2
square.d <- function(t) 2*t
abs.d <- sign
losses <- c(square, abs, square.d, abs.d)
names(losses) <- c("Squared Loss", "Absolute Loss",
                   "Change in Squared Loss", "Change in Absolute Loss")
loss.types <- c(rep("Loss (energy)", 2), rep("Change in loss (force)", 2))
#
# Prepare for plotting.
#
colors <- darken(rainbow(length(y)))
x.limits <- range(y) + c(-1, 1)/2
#
# Make the plots.
#
par(mfrow=c(2,2))
for (j in 1:length(losses)) {
  f <- losses[[j]]
  y.range <- range(c(0, 1.1*loss(y, y, f)))
  #
  # Plot the loss (or its rate of change).
  #
  curve(loss(x, y, f), from=min(x.limits), to=max(x.limits), 
        n=1001, lty=3,
        ylim=y.range, xlab="Value", ylab=loss.types[j],
        main=names(losses)[j])
  #
  # Draw the x-axis if needed.
  #
  if (sign(prod(y.range))==-1) abline(h=0, col="Gray")
  #
  # Faintly mark the data values.
  #
  abline(v=y, col="#00000010")
  #
  # Plot contributions to the loss (or its rate of change).
  #
  for (i in 1:length(y)) {
    curve(loss(x, y[i], f), add=TRUE, lty=1, col=colors[i], n=1001)
  }
  rug(y, side=3)
}

Comments

गुणवत्ता के अलावा, उत्तर के श्रमसाध्य, अस्वास्थ्यकर शैली के कारण, मैं एक इनाम दे रहा हूं।

— ttnphns 21

धन्यवाद! इस पोस्ट के लिए आपकी प्रशंसा सबसे अधिक संतुष्टिदायक है।

— whuber

Answer 2

माध्यिका की गणना के लिए, डेटा होने दें। सादगी के लिए मान लें, कि n सम है, और बिंदु अलग हैं! Y कुछ संख्या होने दें । चलो च ( y ) की '-के-योग निरपेक्ष विचलन' हो y अंक x मैं । इसका मतलब है कि f ( y ) = | x 1 - y | + | x 2 - y | + $x_1,x_2,\ldots,x_n$$n$$y$$f(y)$$y$$x_i$। आपका लक्ष्य उस y को खोजना है जो f ( y ) को कम करता है। चलो एल की संख्या हो एक्स मैं तुलना में कम कर रहे हैं या वास्तव में करने के लिए बराबर y समय में एक भी बिंदु पर, और आर = n - एल संख्या कि सख्ती से अधिक हैं हो y । बहाना करें कि आप 'दाईं ओर y चल रहे हैं', यानी y को थोड़ाबढ़ाएं। क्या होता है f ( y ) ?$f(y) = |x_1 - y| + |x_2 - y| + \ldots + |x_n - y|$$y$$f(y)$$l$$x_i$$y$$r = n - l$$y$$y$$y$$f(y)$

आप की राशि जोड़ने मान लीजिए के लिए y । उन x i के लिए जो y से कम या बराबर हैं , हमारे पास | x i - y | Δ y से बढ़ता है । और y से बड़े लोगों के लिए , हमारे पास | x i - y | द्वारा कम हो जाती है Δ y । (यह मान लिया गया है Δ y इतना छोटा है कि y अंक के किसी भी पार नहीं करता है)। इस प्रकार में परिवर्तन च ( y ) है $\Delta y$$y$$x_i$$y$$|x_i - y|$$\Delta y$$y$$|x_i - y|$$\Delta y$$\Delta y$$y$$f(y)$ । ध्यान दें कि f ( y ) में यह परिवर्तन x i के मूल्यों पर निर्भर नहीं करता है,लेकिन केवल y के बाएं और दाएं की संख्या परनिर्भर करता है। परिभाषा के अनुसार, y एक औसत मान है जब इसे बाईं या दाईं ओर ले जाने से f ( y ) बढ़ता या घटता नहीं है। इसका मतलब यह होगा कि l - r = 0 , और इस प्रकार x i की संख्याबाईं ओर$l\Delta y - r \Delta y = (l-r)\Delta y$$f(y)$$x_i$$y$$y$$f(y)$$l-r = 0$$x_i$ के अधिकार के लिए संख्या के बराबर है y । और इस प्रकार माध्य x i के मानों पर निर्भर नहीं करता है, बस उनके स्थान।$y$$y$$x_i$

संपादित मतलब के लिए: समारोह हो जाता है च ( y ) = ( एक्स 1 - y ) 2 + ... + ( एक्स एन - y ) 2 । जाहिर है में परिवर्तन च ( y ) में एक छोटा सा परिवर्तन के लिए y अब के परिमाण पर निर्भर करता है एक्स मैं ही नहीं, छोड़ दिया और के अधिकार के लिए संख्या y ।$f(y)$$f(y) = (x_1 - y)^2 + \ldots + (x_n - y)^2$$f(y)$$y$$x_i$$y$

ध्यान दें कि 'छोटे परिवर्तन' के बारे में यह व्यवसाय के व्युत्पन्न के लिए सिर्फ गुप्त बात है ...$f(y)$

Comments

जब आप अगले मान से टकराते हैं, तो यह गलीचा के नीचे कुछ सामान स्वीप करता है , लेकिन वांछित हैंडवॉई प्रूफ के काफी करीब है, मुझे लगता है, कम से कम माध्यिका के लिए। $x_i$

— shabbychef

सुरुचिपूर्ण अन्वेषण के लिए धन्यवाद। हालाँकि, यह मुझे ऐसा लगता है: "वह संख्या y जो छोटा परिवर्तन कार्य नहीं बदलता है Sum | x_i-y | प्रत्येक x_i पर निर्भर नहीं करता है और इसे माध्यिका कहा जाता है"। यह एक भी की औसत पर एक दिलचस्प टिप्पणी है n डेटा। लेकिन मैं इसे साबित करने के लिए कह रहा था: "वह संख्या y जो फ़ंक्शन को कम करती है Sum | x_i-y | प्रत्येक x_i पर निर्भर नहीं है और इसे माध्यिका कहा जाता है"। और इसी तरह: "वह संख्या y जो कार्य को घटाती है Sum (x_i-y) ^ 2 प्रत्येक x_i पर समान रूप से निर्भर करती है और इसे माध्य कहा जाता है"।

— ttnphns

मुझे 'माध्यिका कहा जाता है' भाग कैसे सिद्ध करना चाहिए? वह पागल है।

— shabbychef

यह एक कारण है। यह हिस्सा साबित करने के लिए नहीं है, मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे।

— tnnphns

क्या पूर्ण विचलन के योग के बजाय पूर्ण विचलन के मध्य के लिए एक समान परिणाम है ? क्योंकि मेडियन से मेडियन एब्सोल्यूट डिविएशन भी फैलाव का एक दिलचस्प उपाय है।

— samthebest

Answer 3

• $x_{(n)}$$2 * x_{(n)}$, say, it does not change the median. But it does change the arithmetic mean. This shows, in simple terms, that the median does not depend on every value while the mean does. Actually, the median only depends on the ranks. The mathematical logic behind this simply arises from the mathematical definitions of the median and the mean.
• Now, it can be shown that, for any $a \in \mathbb{R}$

$\sum_{i=1}^{n} |x_{i} - median| \leq \sum_{i=1}^{n} |x_{i} - a|$

and

$\sum_{i=1}^{n} (x_{i} - mean)^{2} \leq \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - a)^{2}$

Comments

Well, as an experienced statistician lacking fundamental maths education I still know about Mean and Median differences and applications a lot. What I need here is somebody to DRAW - logically or mathematically - either (a) from (b) or (b) from (a), for me. I feel I can't harmonize (a) with (b) rationally myself. Marco, I find very difficult understanding your notation. If your formulas is the deduction I need please could you "chew over" the idea less technically for me?

— ttnphns

P.S. As long as your two inequalities got finally displayed correctly on my screen I see it's merely my (b) statements. You write, "it can be shown that...". So do show me that. I need a kind of mathematical proof put in terms that are intelligible for data analyst who is not a professional mathematician.

— ttnphns

@ttnphns: your request for a mathematical, rather than an intuitive, answer seems incompatible with your request for something less technical than what people have offered.

— rolando2

Can we simplify the situation to 2 or three points and ask whether the median in the double summation non-strict inequality above has a unique value? With two points it would seem to be satisfied by any point between the 2.

— DWin

Answer 4

Hey here is a contribution, after I read about it a bit. Probably a bit late for the person who asked, but maybe worth for someone else.

For the mean case :

Consider the problem $argmin_x \sum_{i=1}^n (y_i - x)$

Introduce $f(x) = \sum_{i=1}^n(y_i - x)^2$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow 2 \sum_{i=1}^n (y_i - x ) = 0$

$f'(x)=0\Leftrightarrow \sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n x$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x = \frac{\sum_{i=1}^n}{n}$

As the function is convex, this is a minimum

For the median case

Consider the problem $argmin_x \sum_{i=1}^n |y_i - x|$

Introduce $f(x) = \sum_{i=1}^n|y_i - x|$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n sgn(y_i - x ) = 0$

(where $sgn(x)$ is the sign of x : $sgn(x)=1$ if $x >0$ and $sgn(x)=-1$ if $x<0$)

$f'(x)=0\Leftrightarrow \# \{y_i / y_i >x \} - \# \{y_i / y_i <x \} = 0$

(where $\#{}$ is the cardinal of the space, so in this discrete case, the number of elements in it)

$f'(x)=0\Leftrightarrow x$ is the median if n is odd (you have to refine a bit if it is even, but the principle is the same).

As the function is convex too, this is a minimum again.

Comments

Thanks. It may be helpful for me and others. Can you add some comments in words for main of your expressions - for somebody who is not quite fluent in understanding formulas. In particularly, your last by one line - what does it mean and what is #?

— ttnphns

Is it clear now ? I have defined the two less usual functions

— Anthony Martin